научная статья по теме ПРОГРАММНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «ПРОГРАММНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 2, с. 22-39

УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ^^^^^^^^ СИСТЕМАХ

УДК 62-40

ПРОГРАММНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*

© 2015 г. Э. Я. Рапопорт

Самара, Самарский государственный технический ун-т Поступила в редакцию 05.09.13 г., после доработки 30.10.14 г.

Исследуется проблема управляемости линейных многомерных динамических систем с распределенными параметрами на заданном множестве программных траекторий перевода объекта управления в желаемое конечное состояние. Устанавливаются непосредственно проверяемые по поведению этих траекторий в пространственно-временной области необходимые и достаточные условия существования технически реализуемых управляющих воздействий различного типа, обеспечивающих выполнение предъявляемых требований. Приводятся представляющие самостоятельный интерес примеры оценки предлагаемыми способами программной управляемости процессов нестационарной теплопроводности.

БО1: 10.7868/80002338815020110

Введение. Решение любой задачи автоматического управления становится возможным только в соответствующих постановочным аспектам условиях управляемости объекта, приобретающих тем самым первостепенную роль при определении принципиальной возможности достижения требуемого поведения управляемой величины [1].

Проблема управляемости оказывается наиболее сложной применительно к объектам с распределенными параметрами (ОРП) [2—5], для которых ее практическая значимость существенно возрастает ввиду неуправляемости ОРП в целом ряде случаев относительно типичных для приложений требуемых конечных состояний, в том числе по характерной причине их несогласованности с граничными условиями соответствующей краевой задачи [5, 6].

Понятие управляемости ОРП обычно сводится к существованию допустимых по априори фиксируемым условиям управляющих воздействий, переводящих объект за некоторое время на заданное целевое множество конечных состояний при любых возмущениях заранее заданного класса [3—5]. Подобное определение формулирует требования, обеспечивающие достижимость целевого множества, оставляя свободу выбора реализуемых алгоритмов их выполнения. Большое практическое значение имеет малоисследованная конкретизированная постановка (называемая далее задачей программной управляемости), в которой необходимо обеспечить перевод объекта в требуемое конечное состояние на заданном множестве программных траекторий в пространстве состояний ОРП [1].

Именно решение такой задачи открывает возможные пути синтеза замкнутых систем автоматического управления ОРП с обратными связями, реализующими требуемую динамику движения объекта к заданному целевому множеству.

Исследование задач управляемости в бесконечномерном пространстве состояний ОРП связано с серьезными теоретическими затруднениями, особенно для пространственно-многомерных моделей объекта. В частности, такие задачи во многих случаях сводятся к соответствующей бесконечномерной проблеме моментов с трудно проверяемыми достаточными условиями существования их решений [2, 7, 8].

В настоящей работе предлагается другая методика решения непосредственно задачи программной управляемости ОРП, использующая более простые условия ее разрешимости применительно к линейным моделям ОРП параболического типа различной пространственной размерности с внутренними и граничными управляющими воздействиями, в том числе с заданным по условиям технической реализации характером их пространственного распределения. Устанавливаются существенные зависимости достижимых областей пространственно-временного

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-01347).

распределения состояний ОРП от размерности пространственных аргументов управляющих воздействий.

Приводятся представляющие самостоятельный интерес примеры анализа предлагаемым способом задачи управляемости типичных процессов нестационарной теплопроводности.

1. Типовые модели объекта управления. Пусть управляемая величина Q(X, t) объекта с распределенными параметрами описывается в зависимости от времени t и пространственных координат X е V; X = (xt); i = 1, j; 1 < j < 3, в пределах заданной односвязной области V с кусочно-гладкой поверхностью S линейным неоднородным уравнением в частных производных параболического типа без смешанных производных и с постоянными во времени (стационарными) коэффициентами [9]

j 2 j

dQ = X a(X) ^ + X b(X) + c(X)Q + u(X , t) (1.1)

с начальными и граничными условиями

Q(X, 0) = /(X), X e V = V U S; (1.2)

Ig + KQ = g(X,t), X e S, (1.3)

dN

внутренним u(X, t) или (и) граничным g(X, t) управляющими воздействиями, где N — вектор внешней нормали к S; K = const > 0 и дифференциальный оператор в правой части (1.1) самосопряженный или может быть приведен к самосопряженной форме. Здесь / (X) и коэффициенты ai(X), b(X), c(X) являются известными достаточно гладкими функциями своих аргументов, причем не все aj в (1.1) одновременно равны нулю.

Общее решение краевой задачи (1.1)—(1.3), понимаемое в обобщенном смысле [10], может быть получено в следующем виде [9]:

t

Q(X, t) = J Ju(Y, т) G(X, Y, t - t) dYdт + J/(Y) G(X, Y, t) dY +

0 V V (1.4)

J Jg(Y, t) G(X, Y, t - t) dS dт,

t

+

0 S

где Y и т — переменные интегрирования соответственно по пространственным координатам и времени, и функция Грина 0(Х, Y, г - т) рассматриваемого ОРП определяется методом конечных интегральных преобразований [11, 12] в форме ее разложения в бесконечный сходящийся в среднем ряд по собственным функциям Ф„(X), Ф„(X) модели (1.1)—(1.3) [4, 7, 9, 11, 12]:

да

ОДX,г - т) = Xф„(Х)Ф„рГ(Х) ехр[-М2(г - т)]. (1.5)

„ = 1 ||ф „II

Здесь ||Ф „||2 — квадрат нормы собственной функции Ф„, г (X) — весовая функция конечного интегрального преобразования и М„ — собственные числа.

Подобное разложение управляемой величины 0(Х, г) в сходящийся в среднем бесконечный ряд по ортогональной системе функций Ф „(X):

да —

«х, г) = X „(Х); ё„(о = Í^(X, офф*гх** (1.6)

„ = 1 ИФ Л у ||Ф „II

приводит после подстановки (1.5), (1.6) в (1.4) к описанию модели объекта поведением бесконечного числа его временных мод «„(г):

Qn(t) = fne+ \(й„(т) + F,(1)(t)) e^-T)dx, n = 1,2,...

0

f = Jf (Y) ффГ r(Y) dY; ад =Ju(Y, t) фф^ r(Y) dV; (1.7)

V 11ф Л V 11ф nll

F(1)(t) = J g(Y, t) фф^ r(Y) dS,

где fn и Un — определяемые аналогично (1.6) модальные составляющие соответственно начального состояния f (X) и внутреннего управления u(X, t), которые восстанавливаются по этим составляющим в форме разложения в ряд, подобный (1.6):

да __да

fix) = у mm; u(x,t) =уUnrnxi. a.g)

n=i INI 11фnil

Дифференцирование равенств (1.7) по переменной t приводит к представлению ОРП бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений для модальных составляющих управляемой величины:

dQn = -М2Л + Fn(t); Qn(0) = fn; Fn(t) = un(t) + F(\t), (1.9)

at

где объемные и поверхностные интегралы в (1.7) должны быть найдены с учетом известных правил их вычисления в соответствующей системе пространственных координат [13].

При различных управляющих воздействиях g(Y, т) на разных гладких частях Si поверхности

q

S = У Si при q > 1 последнее слагаемое в решении (1.4) заменяется суммой [9]

i = 1 q t

У J JG(X, Y, t - T) gi(Y, T)dSaT. (1.10)

i =1 0 5

Имея в виду, что анализ управляемости рассматриваемого объекта должен быть выполнен отдельно для каждого из различающихся управлений gt (Y, т) в (1.10), будем считать далее, что в такой ситуации g(Y, т) в (1.4) задается только на одной из частей S р граничной поверхности S, полагая

в (1.10) gp(Y,т) = g(Y,т), в е {ITq}; gt(Y,т) = 0 для всех i ф р и S = Sp; G(X,Y, t - т) = Gp(X, Y,t - т) в (1.4).

2. Общая постановка и метод решения задачи программной управляемости. Полагая для простоты f (X) = 0 в (1.2) без потери общности получаемых далее результатов, запишем равенство (1.4) в изображениях Лапласа по переменной t отдельно для краевой задачи (1.1)—(1.3) с внутренним (при g(X, t) = 0) и граничным (при u(X, t) = 0) управлением:

((X, р) = У, Р) и(У, Р) йУ\ X, У е V; (2.1)

V

((X, Р) = р(Х, У, Р) Е(У, Р) йБ, X е V, У е Б, (2.2)

где р — комплексная переменная преобразования Лапласа и ((X, р), Cr(X, У, р), и(У, р) , g(У, р) — изображения функций соответственно ((X, ^, О^, У, ^, и(У, т), g(У, т).

Если граничная поверхность Б в (1.3) или ее часть Бр в (1.10), на которой действует управление g(X, задается в декартовой системе координат X = (х, у, I) в явной форме, например

уравнением I = /(х,у), то поверхностный интеграл первого типа в (2.2) сводится при У = (2,, п, V = /1(2,, п)) к вычислению обыкновенного двойного интеграла по области Б, являющейся проекцией Б на плоскость (х,у) [13]:

Q(X, p) = /вдг, , / п),p) № п), p)j + (|1J + (fi)2 (2.3)

Аналогичный результат имеет место и в любой другой системе криволинейных координат [12, 13].

Проблема программной управляемости сводится теперь к определению условий разрешимости относительно искомых управляющих воздействий u(Y, p) или g(Y, p) интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода [14], образуемых параметрически зависимыми от оператора р равенствами (2.1) или (2.3) для заданных в форме Q(X, p) программ изменения Q(X, t) на некотором временном интервале.

Согласно (1.5)

да

GX, Y, p) = X ,(X > У) , П. 11ф J (p +M2)

и интегральные уравнения (2.1), (2.2) записываются в форме

Q(X, p) = J ст(X, Y, p) и(1)(Y, p) dV; X, Y e V;

V

Q(X, p) = Jст(X, Y, p) g (1)(Y, p) dS; S; X e V, Y e S

S

с симметричным ядром

да

X,Y, p) = X ф .(X) ф '(Y)2 . ^ ||ф j| j( p+M)

где в роли неизвестных фигурируют "условные" воздействия

U(1)(Y, p) = r(Y) U(Y, p); g(1)(Y, p) = r(Y) g(Y, p), по которым непосредственно определяются искомые управления при заданной весовой функции r(Y) ^ const. В типичном случае r(Y) = const имеем ct(X,Y,p) = G(X,Y,p), U(1)(Y,p) = U(Y,p); g (1)(Y, p) = g(Y, p).

Интегральные уравнения (2.1) и (2.2) с симметричными или приводимыми к симметричным в силу сказанного ядрами имеют при интегрируемых с квадратом зависимостях Q(X, p) от ^"единственное решение в этом классе функций u(Y, p), g(Y, p) пространственных переменных,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком