АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 84, № 2, с. 99-104
УДК 524.88-423
ПРОХОЖДЕНИЕ ФОТОНОВ ЧЕРЕЗ КРОТОВЫЕ НОРЫ И ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА КОЛИЧЕСТВО ФАНТОМНОЙ МАТЕРИИ
ВОКРУГ НИХ
© 2007 г. А. А. Шацкий
Астрокосмический центр Физического института им. П.Н. Лебедева, Москва, Россия Поступила в редакцию 20.11.2005 г.; после доработки 07.07.2006 г.
Рассмотрены статические (сферически-симметричные) и стационарные решения для кротовых нор. Найдены принципиальные и характерные особенности в электромагнитном излучении, проходящем через кротовые норы. Данные особенности позволят отличить кротовые норы от других объектов. Горизонт видимости, характеризующий отличие черных дыр от проходимых кротовых нор, определяется инвариантным образом. Доказывается, что вращение кротовых нор не влияет на количество фантомной материи, окружающей их.
PACS: 95.30.Sf
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время в релятивистской астрофизике усилился интерес к работам, в которых обсуждаются решения с проходимыми кротовыми норами (ПКН). Этот интерес вызван, в частности, строительством и проектированием высокоточных радиоинтерферометров, которые позволят в будущем отличать ПКН от других объектов (черных дыр, например).
Принципиальным и характерным свойством ПКН является ее горловина, через которую могут проходить физические тела. Пространство-время сильно искривлено около горловины. Эта кривизна достигает величины, соответствующей горизонту черной дыры с такой же массой. На основании результатов более ранних работ автора, во 2 и 3 разделах находится характерное распределение интенсивности света, проходящего через горловину ПКН, отличающее ПКН от черных дыр, например.
Необходимым условием, отличающим черную дыру от ПКН, является отсутствие горизонта видимости у последней. Поэтому в 4 разделе находится инвариантный критерий существования горизонта видимости у аксиально-симметричной системы.
Эти свойства ПКН поддерживает за счет экзотической материи, окружающей горловину. Экзотичность ее заключается в том, что около горловины ПКН давление вдоль радиуса меньше плотности энергии с отрицательным знаком: рц < — е (сверхжесткость уравнения состояния). Такая материя называется фантомной. В разделах с 4 по 7 доказывается, что вращение ПКН не влияет на
необходимое количество окружающей фантомной материи.
2. СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Решения для ПКН в сферически-симметричном случае были подробно изучены, например, в [1]. Как было показано в этой работе, сферически-симметричное решение для ПКН плавно переходит в решение с горизонтом1 , и ПКН становится непроходимой.
Практически интересным может быть случай малого отличия ПКН от электрически-заряженной (или магнитно-заряженной) черной дыры Рейснера—Нордстрема [2].
Рассмотрим материю с линейным уравнением состояния (p = const • е), когда коэффициенты перед плотностью энергии являются постоянными и равными по модулю:
w = 1 + 5 = -р\\/е = p±/e, x = r/rh, (1)
C(x) = e(r)/e(rh), y(x) = x • [1 + 1/g„(x)].
Здесь rh — радиус горизонта для черной дыры с такой же, как и у ПКН, полной массой. Выпишем метрику для ПКН, имеющую в общем случае вид
ds2 = ехр(2ф) • dt2 - (1 - y(x)/x)-1 • dr2 - (2) - r2 • (dd2 + sin2 9d<¿>2) .
1 Определение горизонта будет дано в разделе 4 для более
общего случая.
Рис. 1. (а) Отклонение фотонов, проходящих через горловину ПКН (числами показаны величины прицельных параметров). (б) Зависимость интенсивности света 1ь,, проходящего через горловину ПКН, от прицельного параметра h.
Соответствующие этой метрике уравнения могут быть записаны в следующем удобном виде [1]:
y(x) = 2 — £x2dx /w.
(3)
1 d£ 4 5 £x — y/x £ dx x 2w 1 — y/x
exp
x) = const/(£x4 )w/5
При 5 = 0 это решение переходит в содержащее горизонт решение Рейснера—Нордстрема: у(х)|5=0= = 2 - 1/х, £(х)|5=0 = 1/х4, ехр ф(х)|5=0 = 1 - 1/х.
Получим для решения (3) аналитическое выражение в первом приближении по малой поправке 5. Для этого обозначим г = 1 — 1/х. В линейном приближении по 5 уравнение (3) для £ переписывается в виде
д ln(£x4) д ln z
= — 5 •
(4)
дх дх
Отсюда, с учетом необходимости совпадения на бесконечности величины £ с величиной £|5=0, получаем:
£х4 = 1/г5, у (х) = 1 + г
exp ф = z1+5
(5)
Радиус горловины г0 = rh • х0 определяется трансцендентным уравнением у (х0) = х0. Из него можно получить параметр
5 = — 1п х0 / 1п(1 — 1/х0). (6)
При этом параметр 5 определяется уравнением состояния материи в ПКН с учетом квантовых
поправок: 5 = w — 1 > 0. Например, при x0 = 1.001 параметр 5 & 1.4 х 10-4.
3. ХАРАКТЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СВЕТА, ПРОХОДЯЩЕГО ЧЕРЕЗ ПКН
В работе [1] найдены углы отклонения фотонов, проходящих через горловину ПКН с параметром w = 2 (рис. 1а). Используя этот результат, можно построить угловую зависимость интенсивности света, проходящего через горловину ПКН.
Рассмотрим случай равномерного (в среднем) распределения световых источников с другой стороны ПКН (от наблюдателя). Тогда в сферически-симметричном случае горловина ПКН в среднем одинаково освещается с разных направлений.
Рассмотрим свет проходящий через горловину ПКН в экваториальной плоскости (т.е. в плоскости в = п/2). Со стороны наблюдателя интенсивность света, проходящего через горловину, будет зависеть от прицельного параметра h (h измеряется в единицах радиуса горловины r0).
Пусть р — угол отклонения фотона после прохождения горловины (в результате гравитационного линзирования), Itot — полная интенсивность света с разных направлений угла р, dItot/dp = = — плотность интенсивности, приходящаяся на единицу угла. В силу независимости интенсивности от направления света за горловиной имеем
= const. Тогда dItot/dh = Ih(h) = (dItot/dp) х х (dp/dh) = const • (dp/dh).
x
ПРОХОЖДЕНИЕ ФОТОНОВ ЧЕРЕЗ КРОТОВЫЕ НОРЫ
101
В работе [1] получена зависимость
h
v{K, = 2I Xyü
x2д/ (1 — y/x)[exp(-2ф) — h2/x2 ]
-dx.
(7)
Обозначая q = 1/х, получаем до
Ш = с ■ [-ехр(—-ш.
0 VI—ду ■ [ехр(—2ф) — д2^2]3/2
(8)
Это распределение интенсивности по h имеет минимум при нулевом прицельном параметре (ПП) и максимум при максимальных ПП, соответствующих ширине горловины ПКН. При этом данный результат не зависит от длины волны света, проходящего через ПКН.
Характерная кривая для 1ь,(Ь) представлена на рис. 1б. Она соответствует ПКН с метрикой (5). Таким образом, наблюдатель увидит кольцо света с резкими внешними краями и размытыми внутренними краями.
При достаточном разрешении наблюдательных приборов этот факт позволит отличить кротовые норы от черных дыр, например, в активных ядрах галактик.
4. ВРАЩАЮЩИЕСЯ КРОТОВЫЕ НОРЫ
Метрический тензор вращающейся ПКН в простейшем случае может быть получен добавлением недиагонального члена к сферически симметричной метрике ПКН. Член при dr2 в (2) удобно заменить, введя новую переменную l, равную нулю на горловине:
dl2 = (1 — y(x)/x)-1dr2. (9)
Тогда метрика принимает вид
ds2 = gtt(l) • dt2 — dl2 — r2(l) x (10)
x (dd2 + sin2 9d^2) + 2/(l) • sin2 в • dt •
Метрика для ПКН может быть записана в виде (10) только при медленном вращении. В противном случае в метрические коэффициенты войдет зависимость от в, помимо того, что эта зависимость входит в gtv и gvv [6, 7].
Введем необходимые в дальнейшем обозначения для цилиндрической координаты р и модуля метрического тензора g:
р = r(l) sin в, g = gttr2p2 + r2gL
(11
Кроме этого, штрихом обозначим производную по l.
Необходимым условием для существования ПКН является отсутствие у нее горизонта видимости. Физический смысл горизонта видимости определен в работе [3].
Математическим определением горизонта видимости является нулевая гиперповерхность, обладающая свойством одностороннего пропускания мировых линий движущихся частиц [4]. Таким образом, элемент длины ds в направлении нормали к этой гиперповерхности должен быть равен нулю. Это свойство как раз и означает, что (направленные в будущее) мировые линии частиц или световых лучей могут пересекать эту гиперповерхность лишь в одну сторону.
Введем понятие инвариантной скорости V, которая совпадает с обычной трехмерной скоростью для движущейся частицы в нерелятивистском случае и равна единице на горизонте видимости независимо от выбранной системы отсчета.
Таким образом, определением для V, удовлетворяющим вышеописанным свойствам, может быть выражение
ds2
V2 s1 — % = 1 —
1
(Ut)2
(12)
где и — компоненты 4-скорости частицы. Отметим, что V2 — V2 при нерелятивистском пределе, где V — обычная нерелятивистская скорость.
Для выражения инвариантной скорости через компоненты метрики используем факт существования четырех интегралов движения для частицы в аксиально-симметричном поле [2]. Два из этих интегралов (для незаряженной частицы) есть иг и ир. иг = Е0/т выражает закон сохранения энергии, а ир = L/m — углового момента частицы.
Отсюда выражение (12) переписывается в виде
V2 = 1 -
m
1
EoJ (gtt + gbPL/Eo)2
(13)
Заметим, что это определение горизонта видимости справедливо для любой аксиально-симметричной метрики (в том числе и для метрики Ньюмана— Керра [2].
В случае кротовой норы (см. табл. 1) горизонт определяется как геометрическое место точек, для которых выполняется условие gtt + (/ sin в/r)2 = 0 или g = 0. Эта поверхность имеет форму яйца2 и вытянута вдоль оси вращения. При этом сферическая поверхность gtt(l) = 0 лежит вне горизонта, касается его в полюсах и является по своему смыслу внешней границей эргосферы.
' Преобразованием координат эту поверхность можно привести к сферической форме; при этом эргосфера будет иметь форму сплюснутого элипсоида.
2
Таблица 1. Метрический тензор
gik г 1 в V д1к г 1 в V
г ди 0 0 / sin2 в г г2р2/д 0 0 /Р2/д
1 0 — 1 0 0 1 0 —1 0 0
в 0 0 —г2 0 в 0 0 — 1/г2 0
V / sin2 в 0 0 —Р2 V /р2/д 0 0 —г2ди/д
Таблица 2. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в сопутствующей материи системе отсчета Тк = (е + + р)иuk — рдгк, и1 = {1/^дЦ, 0, 0,0}, щ = {^дЦ, 0, 0, д^/^дЦ}
Tiк у gik Т г 1 в V
г 2(е +3р)ди 0 0 2(е +
1 в 0 0 2(е—р) 0 0 2г2(е—р) 0 0
V 2<е - 0 0 (е + р)д%/да + 2 р2 (е — р)
Из всего вышесказанного следует, что горловина ПКН находится вне эргосферы и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.