АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 1, с. 10-20
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.2
ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ СЛОИСТЫЙ КОМПОЗИТ С КОМПОНЕНТАМИ ИЗ УПРУГОГО И ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛОВ
© 2015 г. А. С. Шамаев, В. В. Шумилова
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН 119526Москва, просп. Вернадского 101, корп. 1 E-mail: v.v.shumilova@mail.ru Поступила в редакцию 18.03.2014 г.
Рассматривается задача о прохождении плоской звуковой волны через плоский слой композита конечной толщины. Предполагается, что композит состоит из взаимно чередующихся слоев упругого и вязкоупругого изотропных материалов, причем все слои композита либо параллельны, либо перпендикулярны фронту падающей волны. Кроме того, толщина каждого отдельного слоя композита считается много меньше как длины акустической волны, так и толщины композита. Для исследования поставленной задачи применяется усредненная модель композита, с помощью которой находятся коэффициенты отражения и прозрачности, а также изменение уровня интенсивности звука при прохождении его через слой композита.
Ключевые слова: звуковая волна, слоистый композит, коэффициент прозрачности, интенсивность звука.
DOI: 10.7868/S0320791914060161
ВВЕДЕНИЕ
При построении математических моделей, описывающих физические процессы в композитных материалах, часто используется предположение о наличии в таких материалах периодической микроструктуры. В этом случае физические процессы описываются краевыми или начально-краевыми задачами для уравнений с периодическими, но быстро осциллирующими коэффициентами. Последнее обстоятельство приводит к тому, что непосредственное численное решение указанных задач (например, методом сеток или конечных элементов), как правило, довольно затруднительно даже при использовании современных компьютеров. Вместе с тем, во многих случаях для описания поведения композитных материалов можно использовать такие математические модели, которые содержат более простые уравнения с постоянными или медленно меняющимися коэффициентами [1—6]. Эти уравнения, называемые усредненными, должны удовлетворять основному требованию, налагаемому на них, — близости решений соответствующих краевых или начально-краевых задач для исходных и усредненных уравнений.
Самыми распространенными и доступными для исследования являются двухкомпонентные слоистые композиты с е-периодической структурой (е — суммарная толщина двух соседних слоев
композита). В качестве компонентов таких композитов часто рассматриваются упругие или вяз-коупругие изотропные материалы. Композит, у которого оба компонента — упругие (вязкоупру-гие) материалы, обычно называют упругим (вяз-коупругим). Если величина периода е мала по сравнению с характерным размером Ь образца композита, то эффективные характеристики такого композита определяются с помощью коэффициентов усредненных моделей, построенных при е ^ 0 и характеризующих некоторый предельный однородный материал. Усредненные модели для слоистых упругих композитов были построены в [1—4], а для слоистых вязкоупругих композитов — в [2]. Для слоистых "смешанных" композитов, состоящих из упругого и вязкоупру-гого материалов, соответствующие усредненные модели были выведены в [7, 8].
В механике композитных материалов важным классом задач является исследование прохождения звука через плоский слой композита некоторой фиксированной толщины Н. Актуальность таких задач вызвана потребностью современной промышленности в конструировании новых композитных материалов с высокими звукоизолирующими свойствами. Эти материалы, с одной стороны, должны обладать большой прочностью и жесткостью, а с другой стороны — небольшим удельным весом. С этой точки зрения наиболее перспективными представляются композиты, со-
стоящие из плотного упругого материала и достаточно легкого вязкоупругого полимера. В свою очередь, среди таких смешанных композитов преимуществом по степени быстроты поиска оптимального сочетания (по тем или иным характеристикам) компонентов обладают именно слоистые периодические композиты.
При решении динамических задач, описывающих распространение звука в слоистых композитах, применяются два основных подхода, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки [1—4, 9—19]. Первый подход основан на замене исходного композита на эквивалентный ему однородный материал, описываемый усредненной моделью. Однако необходимо иметь в виду, что такая замена математически обоснована только в том случае, когда величина периода е мала не только по сравнению с характерным размером Ь образца композита, но и по сравнению с длиной X звуковой волны. Основным достоинством подхода является то, что чем большее число слоев содержится в композите, тем точнее волна, распространяющаяся в усредненном материале, описывает волну, распространяющуюся в исходном композите (это связано с тем, что усредненная модель выводится при е ^ 0). Кроме того, такой подход позволяет избежать в явном виде анализа многочисленных отражений и преломлений, возникающих при прохождении волны через границы раздела внутренних слоев композита. Его недостаток — необходимость выполнения одновременно двух условий: е <§ Ь и е <§ X.
В том случае, когда величину периода е нельзя считать малой по сравнению с длиной волны и характерным размером композита, должен применяться второй подход к решению задачи о распространении звуковой волны в композите. Этот подход уже не связан с теорией усреднения, и его основа — прямое исследование процессов отражения и преломления на каждой внутренней границе, разделяющей слои композита друг от друга. В результате звуковое поле внутри композита можно определить либо с применением матричных методов, либо с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений, связывающих амплитуды волн в соседних слоях. Достоинствами такого подхода являются универсальность (нет ограничений, налагаемых на е, Ь и X), возможность непосредственного численного расчета звукового поля внутри слоев композита, а также отсутствие требования периодичности. Его недостаток связан с тем, что увеличение числа слоев композита сопровождается увеличением числа волн, распространяющихся внутри композита. В связи с этим для многослойных композитов не представляется возможным вывести частотные зависимости отраженных и прошедших волн в компактном и удобном для анализа виде.
В данной работе исследуется задача о прохождении плоской звуковой волны через слой композита, находящегося в полосе 0 < х1 < к. Композит, в свою очередь, состоит из большого числа взаимно чередующихся слоев двух изотропных компонентов, причем все слои параллельны либо плоскости Ох2х3, либо плоскости Ох1х2. В качестве первого компонента композита рассматривается упругий материал, а в качестве второго — нестареющий вязкоупругий материал, у которого регулярные части ядер релаксации аппроксимированы либо одной экспонентой, либо суммой нескольких экспонент. Дополнительно предполагается, что длина звуковой волны много больше толщины одного слоя композита, а фронт падающей волны параллелен плоскости Ох2х3. Для исследования поставленной задачи применяется усредненная модель слоистого композита, полученная в [7]. С помощью усредненной модели находятся комплексные амплитуды волны, отраженной от границы х1 = 0, и волны, прошедшей через границу х1 = к, а также изменение уровня интенсивности звука при прохождении его через слой композита толщины к. Кроме того, приводится система уравнений для расчета точных коэффициентов отражения и прозрачности, с помощью которой на примере композита "сталь—полимер" исследуется погрешность коэффициента прозрачности, вычисленного для усредненной модели этого композита.
ИСХОДНАЯ И УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛИ КОМПОЗИТА
Рассмотрим область ^ = (0, к) х (—I, Г)2, целиком заполненную взаимно чередующимися слоями двух изотропных материалов: упругого и вяз-коупругого. Пусть толщина каждого вязкоупругого слоя равна еd (0 < А < 1; 0 < е <§ шт{к, /}), а толщина каждого упругого слоя равна е(1 — А). Дополнительно будем предполагать, что все слои параллельны либо плоскости Ох2х3, либо плоскости Ох1х2 (рис. 1).
Обозначим через П1е "упругую" часть области а через ^2е = ^\(^1Еиб^1Е) — "вязкоупругую" часть области Определяющие соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций в П1е и ^2е, имеют вид
= ацкьекь(иЕ), х е ^ = Ьтекк(иЕ) + йт0,) * екк(иЕ), х е
где иЕ(х, I) — вектор перемещений, стЕ- — компоненты тензора напряжений: аЕ- = ав (ж = = 1,2), екк(иЕ) — компоненты тензора деформаций,
(а)
x2
x2
Рис. 1. Модель слоистого композита: (а) слои параллельны плоскости Ох^х^; (б) слои параллельны плоскости ОХ1Х2.
екн(и= т
(
М | ди\
dxh dx
k у
g1(t) * g2(t) = \gl(t - s)g2(s)ds,
0
aijkh = ^fiifikh + H1(S«tS j + 5^5 jk X bijkh = ^ 2§у8 kh + И 2(SikS jh + SihS jk),
dx,-
dtA
+ f(x,t), x eQiE, s = 1,2,
[uE], = 0, [j], = 0,
(1)
(2)
где ^х, ?) — вектор объемной силы; — плотность среды в (« = 1,2); п — единичный вектор нормали к поверхности SE = квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе через Se.
Усредненная модель композита, соответствующая исходной модели (1), (2) и построенная при е ^ 0, имеет вид
dm(t) = -p(t) - 3 G(t)) SuSkh -- 2 G(t)(SikS jh + SihS jk).
Здесь by — символ Кронекера; Xs, |is (s = 1,2) — постоянные Ламе; G(t) и G^t) — регулярные части ядер сдвиговой и объемной релаксации соответственно [20], причем Gl(t) = r1G(t), где r1 = 0 или r1 = const > >1/3 [7]. В дальнейшем предполагается, что
N N
G(t) = exp(-Ynt), Y,- < K,
n=1 n=1 Yn
где vn, y„e К + (n = 1, ..., N), у,- Ф у при i Ф j; K = 2^ при r1 = 0 и K = min{3^2/(3r1 — 1), 2ц2} при r1 > 1/3 [7].
Уравнения совместного движения упругой и вязкоупругой частей композита записываются в виде
д 2щ _ доц
Р 0 dt2
dx:
+ fi(x,t), x ЁЙ
(3)
и описывает поведение сплошного вязкоупругого материала с плотностью р0 = р1(1 — + р2^ и определяющими соотношениями
= aykhekh(u) + gijkh(t) * ekh(u),
(4)
где постоянные коэффициенты аукН и ядра сверток gijkН(f) находятся с помощью решений вспомогательных периодиче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.