ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 5, с. 649-657
УДК 533.9;537.21
ПРОСТАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КУЛОНОВСКОГО КЛАСТЕРА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЛОВУШКЕ © 2015 г. Л. Г. Дьячков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва E-mail: dyachk@mail.ru Поступила в редакцию 20.01.2015 г.
Рассмотрен кластер классических одноименно заряженных частиц, удерживаемых в цилиндрически симметричной параболической ловушке. В пренебрежении дискретностью его структуры и в предположении однородного распределения частиц по его объему получены простые аналитические выражения для размера и потенциальной энергии кластера при произвольной анизотропии ловушки (соотношении между удерживающими силами в радиальном и аксиальном направлениях). Оценено влияние возможной неоднородности в распределении частиц и показано, что на потенциальную энергию это влияние очень слабое. Рассмотрен предельный случай двумерного кластера. Поскольку использованное приближение справедливо лишь при достаточно большом числе частиц в кластере, для распространения данной модели на небольшие кластеры в полученные выражения введены корректирующие факторы, основанные на аппроксимации данных численного моделирования.
Б01: 10.7868/80040364415050105
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к изучению систем, состоящих из сильно взаимодействующих заряженных частиц, проявляется с начала прошлого века [1]. В последние несколько десятилетий он особенно усилился, что в первую очередь связано с исследованиями ионных кристаллов и "ненейтральной плазмы" [2, 3], электронов над поверхностью жидкого гелия [4, 5] и в квантовых точках [6], коллоидных кристаллов [7], а также в значительной степени в связи с исследованиями пылевых структур в газоразрядной плазме [8—10]. Взаимодействие между ионами или между электронами в ненейтральной плазме является кулоновским. Взаимодействие между пылевыми частицами экранируется поляризующейся вокруг них плазменной средой, но на малых расстояниях (порядка межчастичного) также приближенно может рассматриваться как кулоновское. На расстояниях, больших длины дебаевского экранирования, если зарядка пылевых частиц происходит в столк-новительном режиме и на этих расстояниях можно пренебречь процессами объемной ионизации и рекомбинации, заряд частиц экранирован только частично; поэтому взаимодействие кулонов-ское, но с некоторым эффективным зарядом [11, 12]. Ионные кластеры и кристаллы, запертые в ловушках Пауля [13, 14] или Пеннинга [15], находятся в условиях цилиндрической симметрии, а удерживающий их потенциал с хорошей точностью
можно полагать гармоническим (удерживающая частицу сила пропорциональна ее отклонению от точки равновесия, поэтому потенциал также называют параболическим). Электростатические ловушки в ВЧ-разрядах и стратифицированных разрядах постоянного тока для пылевых частиц [8] также можно рассматривать как параболические, как и антипробкотронные магнитные ловушки для диамагнитных частиц [16, 17]. Большинство теоретических исследований кластеров выполнено для условий изотропных или предельно анизотропных ловушек, в которых кластеры становятся соответственно сферическими [18— 21] или плоскими [22—25]. Большое внимание также уделяется преобразованиям кластера при изменении анизотропных свойств ловушки (изменении соотношения между запирающими силами, действующими в радиальном и осевом направлениях), в частности структурным переходам, связанным с изменением размерности кластера: превращению объемной структуры в плоскую, а также в зигзагообразную или нитевидную цепочку [2, 26— 32]. Подобные исследования обычно проводятся методами численного моделирования. В то же время представляет интерес модель кластера, позволяющая делать простые оценки основных его характеристик в широком диапазоне условий анизотропии.
В данной работе для классических кулонов-ских кластеров в известном модельном прибли-
жении сплошной среды при однородной плотности [2, 23, 33] получены простые аналитические выражения для их размеров и потенциальной энергии в стационарных состояниях (т.е. формально при нулевой температуре) в зависимости от анизотропии ловушки и числа частиц N в кластере. Сделаны оценки влияния возможной неоднородности на эти величины. Рассмотрен предельный случай двумерного кластера. Несмотря на простоту модели, она неплохо соответствует действительности в случае достаточно больших кластеров, в центральных областях которых частицы образуют решеточную структуру (объемно-центрированную кубическую в трехмерных кластерах или гексагональную в двумерных) с однородным распределением (см., например, обзор [2]). Только в периферийной области их плотность снижается. При меньших размерах кластер состоит их концентрических оболочек, отстоящих друг от друга примерно на равных расстояниях, с равномерным распределением частиц по оболочкам. Поскольку использованное приближение адекватно лишь при достаточно больших значениях N, чтобы применить модель к малым кластерам, в полученные выражения вводится корректирующий фактор, основанный на сопоставлении результатов модели с данными численных расчетов.
Ради простоты в данной работе помимо куло-новских и удерживающих сил ловушки не учитываются другие силы, которые могут действовать на частицы кластера, например сила тяжести. Тем самым предполагается, что кластер находится в условиях микрогравитации или сила тяжести компенсирована каким-либо образом.
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОДНОРОДНОГО КЛАСТЕРА
Потенциальная энергия кластера является суммой энергии иЕ электростатического взаимодействия его частиц и энергии и{ их взаимодействия с полем ловушки: V = иЕ + V. При куло-новском взаимодействии частиц
N-1 N N
V V дду
UE = ХХ
R, - R,
1 Х^Ф E (x, y, Zt), (!)
N 2 Ut = Х ^ + az2). t=i 2
(2)
а — параметр анизотропии ловушки. Предположим, что все частицы идентичны: т, = ш, q¡ = q, ю,- = ю. Тогда, полагая число частиц N достаточно большим, в пренебрежении дискретной структурой кластера суммы в (1) и (2) заменим интегралами по объему Ус кластера:
U =
-д |рФЕйУ +1 ига21р(г2 + аг2)йУ. (3)
Ус Ус
В приближении однородного распределения частиц с плотностью р = N/Vc кластер имеет форму сфероида, ограниченного поверхностью г2/а2 +
+ г VЬ2 = 1, с радиусом а в плоскости х—у и полуосью Ь в направлении оси симметрии г [2]. Если а < 1, сфероид вытянут и отношение его полуосей в = Ь/а > 1; при а > 1 он сплюснут и в < 1. В изотропной ловушке (а = 1) он, очевидно, становится сферическим и в = 1. Электростатический потенциал в произвольной точке (г, г) внутри сфероида можно записать в виде интеграла [34]
Ф E(r, z) = npqa b x
i -
2 , a + s
ds
b2 + s ] (a2 + s)(b2 + s)1/2
(в [34] рассматривается гравитационный потенциал, но он имеет такую же зависимость от расстояния, как и кулоновский, и отличается только знаком). После интегрирования получаем
ФE(r, z) = 2npqa р в
7
1 -
2 т 2 Л
r - 2z
2a 2(1 -p2)J
S(P) +
+
2a2 (1 - p2)
r 2 - 2z
2
JA
(4)
где
S(P) =
arceosp
vi
-в2 inqe + yp2
-1)
№
-1
в< 1,
в> 1.
(5)
I=1 у=+1Г'' ' Л 1=1
где q¡, И,(х,у 1, г) — заряд и радиус-вектор ,-й частицы; Ф(х;,у, г) — потенциал, создаваемый в точке ее нахождения всеми другими частицами. В цилиндрически симметричной параболической (гармонической) ловушке
Формула (4) согласуется с полученными ранее в [33] уравнениями, но она значительно проще и удобнее. Вблизи значения в = 1, соответствующего сферической симметрии (а = 1), функцию (5) можно представить в виде ряда
S(p) = 1 + -^(р- 1)2 -...,
3 15
Здесь т 1 — масса ,-й частицы, ю 1 — частота ее гармонических осцилляций в плоскости х—у около положения равновесия (х = у = г = 0), г2 = х2 + у2,
справедливого как при в < 1, так и при в > 1. В случае сферической симметрии приходим к хорошо
известному результату ФЕ(К) = 2прд(а2 - Я2/з), где
„2 2 2 R = r + z .
да
0
Подставляя (4), (5) и
3N
(6)
(7)
4по3р
в (3), после интегрирования получим
и = 3 N2 +1 Шыа2 (1 +1 ар2 5 а 5 \ 2
Размер кластера определяется из условия минимума потенциальной энергии. Приравнивая к нулю производные ди/да и ди/др, получим систему уравнений относительно а и Р:
ОД)
2mo)2a3 = 3Nq2
2 3
тю a = -3Nq
1 + ар2 ¡2
2l dSP)
ар dp '
(8)
Исключая а и представляя производную dS/dp
как
Ж = рЛ(р) -1
dв 1 - р2 '
приходим к уравнению, выражающему зависимость Р(а) в неявном виде:
а = 21—PSP)
(9)
Р ОД)-р
После подстановки (9) в одно из уравнений (8) и его решения находим радиус
a =
(3Nq2 ОД) - р4^ 2тю2 1 - р2 у
(10)
Уравнения (9) и (10) представляют собой параметрически определенную функцию а(а) с параметром р. Подставляя их в (7), получим окончательное выражение для потенциальной энергии кластера в рамках модели однородного кластера
U = 9—ОД) =
10 a
= ^ N ^3(q 4mro2)^3S(P)
'1 -p2
(11)
V ОД) -Р;
которое вместе с (9) также является параметрической функцией и(а). В частном случае сферического кластера имеем хорошо известное соотноше-
ниеи = (9/10)N22/d, где ё = (#2/тю2)^3 — радиус Вигнера—Зейтца.
Для всех значений а точно выполняется соотношение иЕ/и, = 2, что согласуется также с результатами численного моделирования методом молекулярной динамики [32]. Это соотношение, как показано в приложении, следует из теоремы Эйлера об однородных функциях и выполняется в локальных экстремумах потенциальной энергии.
Достаточным условием минимума потенциальной энергии являются неравенства
5 2U
д2U > 0 dUdU da2 ' da2 др2 ^dadp
> 0
(12)
для значений а и Р, определяемых уравнениями (9) и (10). Для этих значений имеем
^ = 6 Nm»2-IÍ S(P), d!U 5V da2 5 ОД) -p
d 2U
4/3,5/3
24/33
N ^3(qm®2)
da2 др2 ^dadp. 2,4/3 (1 + 2р2)ОД) - 3p
25 " ' р(1 -р2)^3[£(Р) -Р]4 Нетрудно проверить, что неравенства (12) выполняются для всех значений а. Чтобы убедиться, что выполняется первое из них, достаточно показать, что
,4/3'
SPb_P> 0,
1 -р2
(13)
поскольку всегда ^(Р) > 0. При Р < 1 (т.е. a > 1) имеем ^(Р) = arceos Р — в/1 -Р2 > 0, так как dF/dp < 0 и F(1) = 0. Если р > 1 (a < 1), то G(3) = р^р2 -1 -
- ln(P + Vp2 -1) > 0, так как dG/dp > 0 и G(1) = 0. При Р = 1 левая часть (13) принимает значение 2/3. Таким об
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.