УДК 620.179.14
ПРОСТАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФЕРРОМАГНИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)
ГЛ. Бурцев
Предложена простая и достаточно точная аппроксимация, позволяющая существенно упростить расчеты частотых и переходных характеристик ферромагнитных стержней из электропроводящего материала с различной формой поперечного сечения.
Сведения о динамических магнитных проницаемостях и переходных характеристиках ферромагнитных тел (стержней) представляют определенный интерес для теории и практики вихретокового неразрушающего контроля. При очевидной простоте физических процессов перемагничи-вания контролируемых изделий в форме стержней, прутков, труб, пластин и т. п. в переменных магнитных полях расчет указанных характеристик даже в линейной модели ((J. = const) по известным формулам [1] не всегда прост и удобен для практики. В данной работе предложена и рассмотрена простая и достаточно точная аппроксимация, позволяющая упростить необходимые расчеты и сделать искомые результаты более наглядными.
1. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Ниже подтверждено, что многие частотные зависимости усредненной динамической комплексной магнитной проницаемости jl длинных стержней из электропроводного ферромагнитного материала перемагничивае-мых в пространственно-однородном и синусоидальном во времени внешнем магнитном поле, могут быть удовлетворительно аппроксимированы относительно простой, единой общей формулой
•
£=-7=4=, (1.1)
■sj 1 + Лгсот
где (I — относительная магнитная проницаемость материала стержня; со — угловая частота (рад/с); i — мнимая единица; А — вспомогательный коэффициент, зависимый от формы поперечного сечения стержня; т — постоянная времени стержня (с).
В этом случае для цилиндрического стержня т следует принять равным
2
х = ММ, (1.2)
с 4 v '
где rQ — радиус поперечного сечения стержня (м); а — удельная проводимость материала стержня (1/Ом-м); = 4л • Ю-7 Гн/м — магнитная постоянная.
Соответственно для стержня с прямоугольной формой поперечного сечения можно записать
(L3)
где 2а, 2b — размеры сторон прямоугольного поперечного сечения стержня (м).
Тогда для стержня с квадратным поперечным сечением (а = Ъ) будет
ЦЦ
4
т.= (1.4)
где 2а — сторона квадрата.
И, наконец, для пластины толщиной 2а (а « Ь)
\ = а^р. (1.5)
Рассмотрим, прежде всего вопрос о том, насколько формула^( 1.1) удовлетворяет условиям предельных переходов. При со = О имеем ¡1= ¡а, что и должно быть, поскольку в этом случае вихревые токи в стержне отсутствуют. При достаточно высокой частоте перемагничивания, когда Л сох » 1, получаем, асимптотическое значение комплексной магнитной проницаемости ц = ¡1, определяемое формулой
Если подставить сюда значения т., Х( и х , то получим асимптотические значения магнитной проницаемости
Д =
г:а
2ц
Агют^ццоа 2ц
л/ Ai(SM:
р.ц0а
(1.7)
(1.8)
/ ЛЛ , ■ d-9)
л/ Акйа цц0а
которые при А - 1 совпадают с соответствующими известными значениями [1]. Поскольку ниже для стержней с различными типами поперечных сечений "подгоночный коэффициент" А немного варьируется, то соответственно для очень высоких частот возникает некоторое расхождение асимптотических значений магнитной проницаемости, то есть возникает дополнительная погрешность аппроксимирующих формул (1.7—1.9), которая, однако, в обычном диапазоне частот может быть игнорирована.
Для определения значений коэффициента/! в исходной формуле (1.1) из условия приемлемого приближения к формулам строгого расчета (при ц = const) необходимо выделить в (1.1) действительную и мнимую составляющие комплексной магнитной проницаемости Д = Д, - /jX,, что выполняется общепринятым способом. Возводя обе части равенства в квадрат, получим сначала
(1.10)
1 + /Л сох
Умножая числитель и знаменатель дроби на 1 - /Лсох, получаем равенство
____ -2 р2-/Лсоц2х ,, 11Ч
1 + (Лсох)
Приравнивая друг другу здесь действительные и мнимые составляющие в обеих частях равенства, получаем, как обычно, систему уравнений относительно компонент магнитной проницаемости Д и Д,
—2 —2 ЦГ-^г
1
Ц2
1 + (Лсот)2' 2Д[Д2 _ Лсот
Ц2
1 + (Лсот)
2 '
(1.12) (1.13)
Решая полученные уравнения относительно Д,/ц и Д2/|л. и полагая Д, и Д, действительными положительными числами при выделении корней, получаем
»X 1
1 + л/1 + (Лсот)2 2 (1 + Л2со2т2)
И К
-1 + л/ 1 + (Лсот)2 2(1 + Л2со2Т2)
(1.14)
(1.15)
Расчеты по полученным формулам показывают, что, подбирая соответствующее значение коэффициента Л, можно достичь вполне удовлетворительного совпадения рассматриваемой аппроксимации со строгими расчетами во множестве интересующих нас случаев.
-Так, для цилиндрических стержней имеем известные выражения
Щ _ 2 ber 'xbeix- bei'хЪегх (J. х ber2.v + bei2x
(1.16)
ц2 _ 2 bei xbeLe + berxberx ¡1 х
ber2x + bei2x
(1-17)
где
• = Гд/ со|Д|10а = 2^ сотс;
(1.18)
berx, ber''х, bebe, bei'л — функции Кельвина [2, 3].
Оказалось, что при Л = 1 расчеты по (1.16), (1.17) и по (1.14), (1.15) согласуются весьма удовлетворительно (рис. 1).
Для стержней с квадратной формой поперечного сечения из формулы (6—35) [1, с. 169] при а - Ь, выделяя действительную и мнимую компоненты комплексной магнитной проницаемости, получим
Ц
_ 64 y
• т.п
1
2 2 т п
1 + -
256
к 4(т2 +и2)'
СО т.
(1.19)
64 у 16сот;/т12(т2+п2)
2 2 т я
1 + -
256 ^т 2
(1.20)
л4(т2+п2)
где т, п — нечетные индексы суммирования, т5 по (1.4)
Рис. ¡.Частотные характеристики магнит- Рис. 2. Частотные характеристики магнитной проницаемости цилиндрического ной проницаемости квадратного стержня:
Стержня: --- - строгий расчет; + — аппроксимация (А = 1,4).
--— строгий расчет; + — аппроксимация (А = 1).
В данном случае при А - 1,4 совпадение расчета по этим формулам дает также достаточно хорошее совпадение с предлагаемой аппроксимацией (рис. 2).
Теоретические формулы для расчета усредненной магнитной проницаемости пластины аналогичным образом получаем из известной формулы
- йгуа
|Х= Ц—!
уа
где У = ^
Следующие формулы для ¡1, и р^
р, = 1 зЬЛ/2ютр+5шЛ/2сотр р ^2сот;р сЬ^ 2тр ч-соб^ 2сохр
р2 1 БЬ^ 2ютр-5шЛ/2сотр
р ^ 2сохр сЬ^ 2©хр ч-соз^ 2сох
(1.21)
(1.22)
I1
Здесь совпадение результатов строгого расчета и аппроксимации при (А = 0,8), особенно для р,/р, несколько хуже, чем в двух предыдущих слу-
Рис. 3. Частотные характеристики магнитной проницаемости пластины:
■-- - строгий расчет; 4--аппроксимация (Л = 0,8).
чаях; однако и здесь лишь местами расхождение расчетов составляет около 15 %, что для технических оценок представляется вполне приемлемым (рис. 3).
2. ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Переходной характеристикой системы называется, как известно, временная зависимость отклика этой системы на воздействие в виде ступенчатой функции времени. Определению этих характеристик для ряда различных ферромагнитных стержней строгими методами математической физики уделено достаточно внимания в фундаментальной монографии K.M. Поливанова [1]. Рассмотренное выше упрощенное описание частотных характеристик перемагнйчиваемых стержней позволяет получить не менее простые решения для оценки их поведения в ступенчато изменяемом продольном намагничивающем поле, найти их переходные характеристики. Для этого достаточно воспользоваться методами операционного исчисления, преобразованием Лапласа—Карсона для функций времени/(г) в форме
f(p)= p\e-p,f(t)dt, (2.1)
о
где р = /со.
В этом случае для изображения функции ступенчатого намагничивающего поля H(t) имеем простое равенство
Hip) = Нт, (2.2)
где Нт — максимальное значение скачком включенного и постоянного далее магнитного поля.
Соответственно изображение функции устанавливающегося магнитного потока в стержне с поперечным сечением 5 имеет вид
Ф(р) = ц0рда/(р). (2.3)
Имея в виду, что выражение для установившегося магнитного потока в стержне есть Фш = др05Ят, и подставляя (2.2) и (1.1) в (2.3), получим
Ф{р) 1
Из справочных таблиц по операционному исчислению [4] известно, что
_^ 1
л/ а + р • -\Га
где
2 "г
ег£с = \е~г ск л {
еггЛ/ ш, (2.5)
— интеграл вероятностей, функция ошибок.
Поэтому для относительной величины магнитного потока в функции от времени из (2.4) и (2.5) находим
т -(2.6)
Естественно, что ход установления магнитного потока для всех трех вариантов рассмотренных стержней, рассчитанный по (2.6), дает доста-
Г/Хс
Рис. 4. Переходная характеристика магнитного потока в цилиндрическом стержне:
---строгий расчет; н--аппроксимация (Л = I).
точно хорошее совпадение со строгими расчетами (рис. 4—6). Остается лишь заметить, что известные строгие формулы из [1] много сложнее.
Для цилиндра
* №0
И)2
4 х.
(2.7)
где — корни функции J0(x).
1 2 t/Ъ
Рис. 5. Переходная характеристика магнитного потока в квадратном стержне:
--строгий расчет; i--аппроксимация (Л = 1,4).
Для стержня квадратного сечения
, 64 V
т=
ехр
-(т2+п2)
к t
16 х7
2 2 т п
(2.8)
где тип — нечетные индексы суммирования. 1
0,5
Рис. 6. Переходная характеристика магнитного потока в пластине:
--строгий расчет; + — аппроксимация (А = 0,8).
Для пластины (к = 0)
1 8 V 1
ф(0 =
л
-т
2 л2 t
16 X
РУ
(2.9)
t
+
о
:
г
Уральский НИИ метрологии Екатеринбург
Поступила в редакцию 10 декабря 2002 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поливанов K.M. Ферромагнетики.— М.—Л.: ГЭИ, 1957.
2. В атсон Г. Н. Теория Бесселевых функций, ч. 1.— М.: ИИЛ, 1949, с. 95.
3. Родигин Н.М. Индукционный нагрев стальных изделий.— Свердловск: Метал-лургиздат, 1950.
4. Диткин В. А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению.— М.: Высшая школа, 1965.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.