ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2015, том 51, № 3, с. 338-345
УДК 551.515.3,571.122
ПРОСТАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СМЕРЧЕОБРАЗНЫХ ВИХРЕЙ
© 2015 г. М. В. Курганский
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер. 3 E-mail: kurgansk@ifaran.ru Поступила в редакцию 30.09.2014 г., после доработки 16.10.2014 г.
На основе соображений подобия предложена простая гидродинамическая модель смерчеобразных вихрей, которая с учетом "распада вихря" на некотором уровне над землей связывает максимальную азимутальную скорость в вихре, достигаемую у поверхности земли, с конвективной доступной потенциальной энергией, накопленной в предсмерчевых условиях в окружающей атмосфере. Оценена относительная доля разрушения (диссипации) спиральности (кинетической энергии) в зоне "распада вихря" и, соответственно, в приземном пограничном слое под вихрем. Эти рассуждения положены в основу динамико-статистического рассмотрения связи между интенсивностью смерча и запасами конвективной доступной потенциальной энергии в окружающей атмосфере.
Ключевые слова: смерч, соображения подобия, энергия, спиральность, модель.
Б01: 10.7868/80002351515030074
1. В работе изучается вихревое течение, которое моделирует влажно-конвективные смерчеоб-разные вихри в атмосфере. Смерч (торнадо) — это наиболее интенсивный и впечатляющий представитель семейства мелкомасштабных колоннообразных атмосферных вихрей, которое также включает водяные смерчи, пыльные вихри, огненные вихри и др. Интенсивные атмосферные вихри долгое время изучаются в метеорологической и гидродинамической литературе; см., например [1], где дан достаточно полный (на то время) обзор работ по теоретическому моделированию интенсивных атмосферных вихрей, а также по их лабораторному моделированию и натурным исследованиям. Современный обзор гидродинамики торнадо в тесной связи с наблюдениями и их лабораторными и численными аналогами дан в [2, 3].
Данное исследование в значительной степени было инспирировано двумя замечательными работами по теоретической метеорологии, посвященными смерчеобразным вихрям. Во-первых, это работа Л.Н. Гутмана [4] (она получила дальнейшее развитие в [5, 6]) и, во-вторых, статья [7]. Дополнительной мотивацией послужили попытки самого автора [8, 9] построить модель колон-нобразного вихря, основываясь на соображениях самоподобия (автомодельности), которые восходят к работе [10], где решалась математически сходная магнитостатическая задача.
Согласно наблюдениям, торнадо перемещаются вместе с материнским облаком за счет преобладающего ветра на верхних уровнях. Поэтому можно использовать цилиндрическую систему координат, которая движется вместе с ветром и рассматривать стационарную осесимметричную задачу, предполагая, что атмосфера покоится на достаточном расстоянии от вихря. Начало координат помещается на поверхность земли в центре вихря и вертикальная ^-координата направляется вдоль его оси. Поскольку тангенциальные скорости в смерче много больше самой скорости перемещения смерча (в среднем около 40 км/час; см. [11]), процессы взаимодействия вихря с поверхностью могут с хорошим приближением рассматриваться так, как если бы вихрь покоился относительно земли. Мы будем рассматривать смерчи как тонкие и высокие колоннообразные вихри; соответственно радиальная компонента уравнения баланса количества движения аппроксимируется уравнением циклострофического балан-1
са . Применяемый подход использует предположение автомодельности для установившегося кругового колоннообразного вихря и сводит задачу к одномерной с зависящими от г искомыми
1 В [8, 9] приближение циклострофического баланса не используется, что в принципе позволяет рассматривать вихри с сопоставимыми размерами как по вертикали, так и по радиусу.
функциями, взятыми на оси симметрии вихря. Хотя смерч сосуществует с турбулентным атмосферным окружением, мы вне приземного пограничного слоя пренебрегаем турбулентной вязкостью в уравнениях движения и рассматриваем эффективно невязкое вихревое решение.
2. Исходим из уравнения термодинамики влажного воздуха, которое линеаризовано относительно отклонений температуры Т = Те (г) + Т и давления р = ре (г) + р' от их значений Те и ре в окружающей вихрь атмосфере, зависящих лишь от высоты г (см. [4])
—Ь - В—та = а». вг Бг
(1)
(0, г )дЬ^ = а» (0, г).
дг
(2)
Первый аргумент в искомых функциях в (2) относится к расстоянию г до центра вихря. Использовано, что радиальная скорость и обращается в
нуль при г = 0. Деля обе части (2) на »(0, г) Ф 0 и интегрируя по высоте г, получаем
Ь (0, г) = |а (г') ¿г'.
(3)
В качестве нижнего предела интегрирования г = к берется уровень свободной конвекции, где Ь (0, к) = 0. Далее используем взятую на оси симметрии вертикальную компоненту уравнения движения,
(0, г = + ь (0, г),
дг дг
Здесь В/ Вг — символ индивидуальной производной по времени; Ь = gT' / Те — плавучесть, где g — ускорение силы тяжести; та = р'/ (ре/ЯТе) — отклонение давления от равновесного, поделенное на плотность воздуха в окружающей атмосфере, причем Я — газовая постоянная сухого воздуха; ш — вертикальная скорость; а = -(g|Te)(ут + dTJdz) и в = = У т1Те; в двух последних формулах ут — влажно-адиабатический температурный градиент. Второе слагаемое в левой части (1) описывает расход тепла на расширение или сжатие воздуха при изменении его давления. Это слагаемое для большинства метеорологических процессов малого пространственного масштаба пренебрежимо мало по сравнению с первым слагаемым в левой части (1) и при решении задач не учитывается, в чем, в частности, состоит известное приближение Бусси-неска (например, [12], § 2.3) (приближение слабой в динамическом смысле сжимаемости атмосферного воздуха). Мы также ограничиваемся приближением Буссинеска и, соответственно, пренебрегаем то-членом в (1). Для вихревого решения, которое будет построено в данной работе, можно показать, что учет то-члена привел бы к малым поправкам порядка рДг 1, где кг — расстояние между уровнем свободной конвекции и уровнем нейтральной плавучести, см. также ниже.
3. Уравнение (1) решается совместно с уравнениями движения и уравнением неразрывности. Последнее в приближении Буссинеска сводится к V • V = 0, т.е. условию бездивергентности поля скорости V.
Рассмотрим установившееся невязкое осесим-метричное вихревое течение и возьмем уравнение (1) на оси симметрии, пренебрегая то-членом в его левой части (см. п. 2).
где слагаемое с вертикальным градиентом давления та определяет основной баланс сил, и предполагаем, что »(0, г) ^ 0, та (0, г) ^ 0 при г ^ да (или альтернативно на некоторой конечной, но достаточно большой высоте Н). Это ключевое предположение восходит к [10]; оно означает, что вихревое движение полностью затухает на достаточно большой высоте в атмосфере. Интегрируя по г, получаем
2 да
- »-М = та (0, г)+ \ь (0, г (4)
г
В качестве следующего шага интегрируем уравнение циклострофического баланса, которое замещает радиальную компоненту уравнения движения, по радиусу г от нуля до бесконечности и в предположении та (да, г) = 0 получаем
2
та (0, г) = - I —dг.
•> г
(5)
Здесь V — азимутальная скорость. Азимутальная компонента уравнения движения при этом тождественно удовлетворяется. В работе [13] величина 2/г)г в правой части (5) была названа "энергией смещения". После этого исключаем та (0, г) из (4) и (5),
2 да да
- + = Гь (0,
2 ^ г •>
(6)
и, наконец, исключаем Ь (0, г) из (3) и (6), чтобы получить уравнение
»2 (0, г)
+ ¡^-¿г = а
(7)
к
0
0
г
2
0
4. Предположим, что вихревое решение само-подобно и радиальный профиль азимутальной скорости отвечает вихрю Рэнкина на всех высотных уровнях, с твердотельным вращением внутри вихревого ядра при г < а (г) и потенциальным движением вне ядра. На каждом высотном уровне г максимум азимутальной скорости равен Г/ а (г) и удельный угловой момент Г всюду постоянен на границе вихревого ядра. Аксиальная скорость w не зависит от радиуса внутри вихревого ядра на всех высотных уровнях и отвечает восходящему
2
потоку; на периферии вихря w = 0 . В силу безди-вергентности поля скорости
*(0'г) " 2у(г);
па (г) п
у (г) = а— (г) является основной искомой функцией задачи; полный вертикальный объемный поток О не зависит от высоты. Для рассматриваемых в работе конвективных вихрей с теплым ядром их радиус монотонно растет с высотой, так что у(г) — монотонно убывающая функция г. Энергия смещения имеет вид
ад а ад
.2 2г 4 .р 2 ^
[^г = (-/^г + = Г2 у
^ г •> а г ^ г
0 0 а
и из (7) в частности получаем, что
Г 2y (h) - У2 (h) = Jdz" J a (z) dz.
(8)
который замещает г = да, совпадает с уровнем нейтральной плавучести. Математически наш подход означает, что у (г) ^ 0 при г ^ да. Физически, поскольку делается приближение тонких и высоких колоннобразных вихрей, радиус вихря на большой, но конечной высоте г = Н должен быть много больше, чем тот же радиус при г = К, но тем не менее он должен оставаться много меньшим самой высоты Н. Поэтому если интегрирование в правой части (8) производится до конечной высоты Н, то в левой части (8) появятся
2 О2 2
слагаемые -Г у (Н) + у (Н), вкладом которых
2п
в силу условия у (Н) <§ у (К) можно пренебречь. Таким образом, фактически рассматривается асимптотическое вихревое решение. Эквивалентным образом оно может рассматриваться в терминах "растянутой" вертикальной координаты, когда уровень нейтральной плавучести находится на эффективно бесконечно большой высоте.
В силу определения параметров Г, О и функции у (г), уравнение (8) переписывается в виде
= 2 + CAPE,
m 2
(9)
где Ут — максимальная азимутальная скорость в вихре, взятая на уровне свободной конвекции и Ж — соответствующая скорость восходящего движения в центре вихря. Уравнение (9) детализирует на случай вихря Рэнкина более общее уравнение
Величина в правой части (8) составляет конвективную доступную потенциальную энергию CAPE (Convective Available Potential Energy), например [16, 17]. В практических приложениях уровень z = h соответствует уровню свободной конвекции, в то время как верхний уровень z = H,
= lw2 +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.