Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 3, с. 216-225 © 2015 г. 10 августа
Простой контрпример для i^-классификации топологических изоляторов, основанной на соответствии объем—граница
С. Н. Молотков+* х1\ М. И. Рыжкин+ +Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия
* Академия криптографии РФ, 121552 Москва, Россия х Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ им. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 20 апреля 2015 г.
После переработки 23 июня 2015 г.
Ранее была предложена так называемая ¿^-классификация топологических изоляторов, основанная на соответствии объем-граница (bulk-boundary correspondence), которая считается общепринятой и сводится к следующим утверждениям: 1) nontrivial invariants imply the existence of gapless surface states, 2) the Z2 invariants can be deduced from the topological structure of the Bloch wave functions of the bulk crystal in the Brillouin zone (L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. В 76, 045302 (2007)). В данной работе приводится простой контрпример для ¿^-классификации. Показано, что при одном и том же объеме, одной и той же пространственной симметрии полубесконечного кристалла и, соответственно, тривиальном значении ¿^-инварианта (тривиальном классе эквивалентности объемного гамильтониана) для 3—г-2Б-системы на поверхностях могут существовать как топологически устойчивые, так и топологически неустойчивые поверхностные состояния. Более того, топологически устойчивые поверхностные состояния могут существовать как при тривиальном (поверхность Bi(lll)), так и при нетривиальном (поверхность Sb(lll)) значениях объемного ¿^-инварианта. Данные факты ставят под сомнение утверждение о том, что ¿^-классификация, основанная на соответствии объем-граница, отвечает за появление и топологическую устойчивость поверхностных состояний.
DOI: 10.7868/S0370274X15150102
Введение. Зонная теория твердого тела приводит к разделению трехмерных (3D) кристаллов на изоляторы (полупроводники) и металлы. Одноча-стичный спектр 3D кристаллической системы представляет собой набор энергетических зон en(k) (п -зонный индекс, k = (kx, ку, kz) - трехмерный квазиимпульс). В объеме ЗБ-система является изолятором, если имеются два массива зон, е°(к) и £vn, (к), такие, что энергии этих зон не перекрываются ни при каких значениях трехмерных квазиимпульсов кик',
eG= min J4(k)-4(k')]>0, (1)
n,n ,к,к
где £о — запрещенная зона. Массив валентных зон е^(к) заполнен, а массив зон проводимости е°(к) пуст. В металлах и полуметаллах энергетический зазор между пустыми и заполненными состояниями отсутствует. Вид спектров е^(к) и е^(к) в разных точках трехмерной зоны Бриллюэна (ЗБ) диктуется неприводимыми спинорными представлениями пространственной группы волнового вектора в дан-
e-mail: sergei.molotkov@gmail.ru
ной точке ЗБ. Учет инвариантности системы относительно инверсии времени может приводить к дополнительному принудительному вырождению уровней. Метод Херринга дает регулярный способ, который позволяет получить структуру энергетических зон с учетом инвариантности системы относительно инверсии времени [1,2].
Поверхностные состояния в 3 —> 21)-системах. Если разорвать бесконечный ЗБ-кристалл на две независимые половины, то возникнет полубесконечный ЗБ-кристалл с 2Б-границей (ЗБ—^2Б-система). В ЗБ—»2Б-системе периодичность сохраняется только вдоль границы. При разрыве ЗБ-кристалла на границе могут возникать поверхностные состояния, локализованные вблизи поверхности. Данные состояния возникают из объемных состояний ЗБ-системы. При этом общее число состояний при образовании границы в кристалле сохраняется. Отношение числа поверхностных состояний к числу состояний в объеме стремится к нулю. По этой причине основной массив объемных состояний в ЗБ—^2Б-системе при разрыве ЗБ-кристалла слабо возмущен. Электронный спектр
всех зон 3D^2D-CHCTeMbi, включая объемные, имеет симметрию, диктуемую представлениями 17 поверхностных групп, а не 230 пространственными группами. Все состояния 30^?20-системы описываются набором двумерных зон e™rf(k) (здесь к = (кх,ку) и координата z нормальна к границе). Поскольку число слабовозмущенных состояний макроскопически велико, набор двумерных зон в полубесконечном кристалле e™rf(k) (к = (кх,ку)) заполняет проекции объемных зон ЗБ-кристалла:
£п(кх, ку) = У^еп(к), k = (kx,ky,kz), (2)
к*
где еп(к) - спектр 3D-кристалла. Поверхностными состояниями называются те состояния e™rf(k), у которых энергия £™rf(k) (к = (кх,ку)) хотя бы при некоторых значениях к = {кх, ку) находится в запрещенной зоне, вне проекций объемных зон (2).
Безмассовые дираковские поверхностные состояния, ¿^-классификация, соответствие объем—граница. Поверхностные состояния на поверхностях полупроводников и металлов изучаются достаточно давно. В последнее десятилетие были обнаружены поверхностные состояния с безмассовым дираковским спектром в окрестности симметричных точек двумерной зоны Бриллюэна (см. обзоры [3,4]). Все типы особенностей электронного спектра в 3—^20-системах перечислены в [5,6]. Поверхностные состояния возможны также в 2—>ID-системах (двумерные системы с одномерной границей или ленты с двумя границами). Такие
2—>ID-системы с поверхностными состояниями с коническим дираковским спектром были названы спин-холловскими изоляторами.2' Классификация особенностей спектра в 2—^ID-системах приведена в [7].
Возникло понятие "топологический изолятор" (для 2—^ID-системы - спин-холловский изолятор). Под топологическим изолятором понимается такая
3—^2D (или 2—^1D) система, которая в объеме является изолятором, а на поверхности имеет состояния, по которым возможна проводимость. Под топологической устойчивостью поверхностных состояний понимается следующее [3,8,9]: 1) топологически устойчивые конические состояния (topologically protected states) невозможно непрерывным изменением параметров гамильтониана удалить из запрещенной зоны в проекции объемного спектра
2'В терминологии [3,4,8,9], системы 3—»2D носят название трехмерных топологических изоляторов. Поэтому часто неясно, о чем идет речь: о поверхностных состояниях на границе ЗБ-системы или объемном спектре ЗБ-системы.
без захлопывания объемной запрещенной зоны; 2) топологически неустойчивые конические состояния могут быть удалены из запрещенной зоны без захлопывания последней, т.е. при сохранении системы изолятором.
В [3,8,9] была предложена так называемая ^-классификация, основанная на соответствии объем-граница (bulk-boundary correspondence). Затем она использовалась во многих работах (см. обзоры [3, 4, 8, 9] и ссылки там).
Согласно [3, 9] эти две ситуации различаются значением топологического инварианта: Zi = — 1 (нетривиальное значение) или Zi = 1 (тривиальное значение). Для систем 2—> 1D имеется один ¿^-инвариант. В первом случае система - топологический изолятор (спин-холловский), во втором -обычный. Для систем 3—> 2D имеется четыре Zi~ инварианта. В зависимости от числа знаков всех четырех .^-инвариантов авторами вводится [9] подразделение на слабые (weak) и сильные (strong) топологические изоляторы в 3—^2D-случае. Значение Zi~ инварианта представляет собой пффафиан, вычисленный на объемных волновых функциях.
Кроме того, согласно классификации ([9], с. 045302-3): "The Zi invariants сап be deduced from the topological structure of the Bloch wave functions of the bulk crystal in the Brillouin zone".
Дается и объяснение самого факта появления поверхностных состояний ([9], с. 045302-1): "Nontrivial Zi invariants imply the existence of gapless surface states".
Эти утверждения означают, что для предсказания факта появления поверхностных состояний и их топологической устойчивости достаточно знать только топологический инвариант, вычисленный на объемных волновых функциях. Если инвариант нетривиален, то должны иметь место топологически устойчивые поверхностные состояния. Если же он тривиален, то могут существовать только топологически неустойчивые поверхностные состояния.
Критика классификации, основанной на соответствии объем граница. На наш взгляд, самоочевидно, что поверхностные состояния и их тип не определяются только объемными свойствами системы (напомним, что в систематике объемного спектра вообще нет поверхностных состояний), важны также граничные условия. Чтобы показать несостоятельность ^-классификации, достаточно одного контрпримера. Достаточно предъявить кристаллическую систему, у которой (естественно, при одинаковом объемном спектре, одинаковой симметрии полубесконечного кристалла и тривиальном значе-
нии инварианта), на одной границе поверхностные состояния будут топологически устойчивыми, а на другой - топологически неустойчивыми. Разные поверхности отвечают разным граничным условиям. Такой явно сконструированный пример будет приведен ниже. Иначе говоря, одни и те же объемные волновые функции и спектр дадут одно и то же значение 2ч, при котором на разных поверхностях будут реализовываться две принципиально разные ситуации. Известны и другие примеры (см. [10]), явно противоречащие ^-классификации. 2ч~ классификация дает некоторую топологическую характеристику объемного спектра как такового, которая напрямую (один в один) не связана с появлением поверхностных состояний и их топологической устойчивостью. Кроме того, ^-классификация не воспроизводит другие типы особенностей, которые предсказывает симметрия. Соответствующий явный пример был приведен в [11]. Это указывает на неполноту классификации 3—> 2В-систем, приведенную в [12].
Простой контрпример для ^-классификации. Сконструируем гамильтониан для конкретной ЗБ пространственной кристаллической группы, который будет удовлетворять всем требованиям пространственной симметрии и будет инвариантен относительно инверсии времени. Затем перейдем от ЗБ-системы к 3—^213-системе. Данный пример не является абстрактным, а относится к элементам V группы таблицы Менделеева (Ав, В1, ЭЬ, Ро [13]) и узкощелевым полупроводникам А4В6 (БпТе, РЬТе и соединениям на их основе) [14]. На гетерограницах РЬТе-БпТе были обнаружены конические безмассовые состояния [15], которые связаны с инверсным рас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.