М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 532.5:551.465
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ВОЗМУЩЕНИИ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА ДВИЖУЩИМСЯ В ЖИДКОСТИ ДИПОЛЕМ
© 2015 г. А. А. САВИН, А. С. САВИН
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва
e-mail: assavin@list.ru
Поступила в редакцию 16.02.2015 г.
Рассмотрена пространственная задача о возмущении ледяного покрова диполем, начинающим равномерное и прямолинейное движение по горизонтали в изначально покоящейся жидкости. Показано, что при длительном движении диполя, в сопровождающей его системе отсчета, устанавливается стационарное возмущение льда. Найдены аналитические выражения для отклонения границы раздела жидкости и льда от положения равновесия. Приведены примеры численного исследования возмущений ледяного покрова при докритических скоростях движения диполя.
Ключевые слова: жидкость с ледяным покровом, диполь, установление возмущений.
Динамика жидкости с ледяным покровом привлекает к себе все большее внимание как в связи с успешным применением новых математических методов при исследовании ее задач, так и в силу возможных геофизических и практических приложений. Актуальность этого направления исследований обусловлена, в частности, объявленными планами освоения Арктики. Наиболее изучены к настоящему времени задачи о волновых движениях в жидкости с ледяным покровом. Обзор основных результатов этой теории можно найти в [1]. В указанных в [1] работах рассматриваются свободные волны, а вопрос об их генерации различными источниками не затрагивается. При этом задачи о генерации волн в жидкой среде как с ледяным покровом, так и без него представляют значительный теоретический и практический интерес. В классической гидродинамике разработаны методы решения таких задач, основанные на моделировании локализованных в толще жидкости источников возмущений точечными гидродинамическими особенностями [2—8]. В последнее время появились работы, распространяющие этот подход на случай жидкости с ледяным покровом [9—14].
В [9] рассмотрены задачи о точечном источнике переменной интенсивности в слое жидкости с ледяным покровом и получены общие выражения для потенциала скорости. Рассмотрены их частные случаи для импульсного, постоянного и пульсирующего по гармоническому закону источников. Приведены асимптотические выражения потенциала скорости установившегося течения при длительной работе пульсирующего источника и потенциала скорости течения на большом расстоянии от источника. В [10] изучены волны, возникающие на ледяном покрове жидкости, при импульсном воздействии на лед, а также при мгновенном выбросе некоторой массы точечным источником в толще жидкости. Обобщение результатов на случай источника с произвольно меняющейся во времени интенсивностью проведено в [11]. Для волн, образующихся на ледяном покрове под влиянием такого источника, в [10] методом стационарной фазы найдено асимптотическое представление для больших времен в точках с
фиксированным отношением расстояния от источника ко времени, т.е. в системе координат, движущейся с определяемой этим отношением скоростью.
Значительный интерес представляют задачи об установлении волн при выходе их источников на некоторый стационарный режим. Например, в [12—16] изучены процессы установления волн на свободной поверхности жидкости и на ледяном покрове при равномерном движении точечной гидродинамической особенности и при периодическом изменении ее интенсивности в толще жидкости. Установившиеся режимы получены как пределы отклонения ледяного покрова или свободной поверхности жидкости от положения равновесия в любой фиксированной точке в системе координат, связанной с гидродинамической особенностью, при неограниченном возрастании времени. При вычислении этих пределов использовались свойства обобщенных функций. Такой подход позволил автоматически устранить свободные волны и сразу найти физически осмысленное решение без использования дополнительных условий излучения. В частности, в работе авторов [12] рассмотрена плоская задача об установлении волны на ледяном покрове над движущимся в жидкости диполем, который моделирует поперечно движущийся цилиндр.
В настоящей статье на основе указанного общего подхода изучается пространственная задача о возмущении, устанавливающемся на ледяном покрове при длительном равномерном и прямолинейном движении диполя, который, как известно, представляет собой модель движущегося в жидкости шара [2, 3, 8]. Ледяной покров рассматривается как тонкая упругая пластина постоянной толщины, плавающая на поверхности жидкости.
1. Общие выражения для возмущений ледяного покрова. Рассмотрим бесконечно глубокую изначально покоящуюся жидкость с ледяным покровом. Введем прямоугольную декартову систему координат х, у, г, в которой плоскость г = 0 совмещена с невозмущенной границей раздела жидкости и льда, а ось г направлена вверх. Пусть в жидкости, в точке (0, 0, _/), в момент времени ? = 0 возникает диполь и далее движется с постоянной скоростью (—V, 0, 0), сохраняя свой момент М, направленный против оси х. Поставим задачу найти возмущение ледяного покрова, которое устанавливается над диполем при его длительном движении.
Будем считать течение потенциальным всюду, кроме точки г0 = (х0, 0, —I) локализации диполя. В этом предположении потенциал скорости Ф = Ф(г, 0, г = (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа во всей области течения W, кроме точки г0, где имеет дипольную особенность, и отвечает условию затухания волновых возмущений с глубиной:
Фхх + Фуу + Ф^ = 0, (г е Щг0) А М д 1 /- . \
Ф(Г ---¡Г-;-;, (г ^ Го)
4пдх|г - г0|
Ф(г, 0, (г ^ -да)
Обозначим отклонение границы раздела жидкости и льда от ее равновесного положения г = 0 через п = п(х, у, 0. В предположении малости таких отклонений граничные условия ставятся на плоскости г = 0 и имеют вид
Ф, + gn - СД_п + ВД_п + ап„ = о, п, = Фг (1.1)
где Д_ = дхх + дуу _ горизонтальный оператор Лапласа; А, В, С _ постоянные коэффициенты, зависящие от упругих свойств льда, его плотности и толщины; g _ ускорение свободного падения.
Представим потенциал скорости в виде
ф(х, у, г, ,) = Ф!(х, у, г, ,) + ф(х, у, г,,) (1.2)
Фг(х, у, г, ,) = Фо(х - хо, у, г +1) + Ф0(х - хо, у, г -1) (1.3)
^ г \ М д 1
фо( х y, г) = —т----(1.4)
4пдх ¡2, 2, 2 л/х + у + г
Функция Ф0(х, у, z) представляет собой потенциал скорости течения, которое индуцировал бы в безграничной жидкости рассматриваемый диполь, локализованный в начале координат [2, 3, 8]. Волновая часть потенциала скорости удовлетворяет во всей области течения уравнению Лапласа
фхх + фуу + Фгг = 0 (1.5)
Применим к (1.5) двойное преобразование Фурье
+да+да
/(X, ц, г, ,) = IIФ(х, у, г, ,) ехр(-(Xх + цу))йхйу (1.6)
В результате получим уравнение — К2/ = 0(К = л/х2 + Ц2) с общим решением f = а(Х, ц, Оехр(Кг) + Ь(Х, ц, Оехр(—Кг). Для выполнения условия затухания волновых возмущений с глубиной (при г ^ —<») следует принять Ь(Х, ц, ?) = 0.
С учетом выражений (1.2)—(1.4) представим равенства (1.1) как граничные условия для волновой части потенциала скорости и отклонения границы раздела жидкости и льда от положения равновесия при г = 0
Ф, + - СА_ц + В А—ц + Аци = -(Ф1 ),, п = Фг (1.7)
Применив двойное преобразование Фурье (1.6) к равенствам (1.7) и воспользовавшись найденным для / выражением, получим систему уравнений
а, + (£ + СК2 + вК) Б + АБ„ = -(Г1),, Б, = аК
где и — фурье-образы функций п(х, у, 0 и Ф:(х, у, 0, ?) соответственно. Исключив из этой системы величину а, получим
Б,, + ю2Б = Г (1.8)
Ю2 = ^ + СК2 + вК) К( 1 + АК)- (1.9)
Г =-К( 1 + АК)-(Г), (1.10)
Приняв в равенствах (1.3), (1.4) И(0 = И8(0, х0(0 = —УЮф, где 8(0 = 0 при ( < 0, 9(0 = 1 при ? > 0, из выражения (1.10) находим
Г = М( 1 + АК)-[IХ8(,) - X2¥0(,)] ехр(¡X V,,- 1К) (1.11)
со —со
Поскольку диполь возникает в изначально невозмущенной среде, для любого Т < 0 выполняются равенства 8(Т) = 0, St(T) = 0. Решение уравнения (1.8), удовлетворяющее таким начальным условиям, имеет вид
t
S = 1 |Дт)sin[ю(t- т)]dx ю J
ю
T
(1.12)
Подставив выражение (1.11) в (1.12), найдем при t > 0
S = S0 + S1 (1.13)
So = Лг exP (~lK) sin (ю t) (1.14) (1 + АК)ю
S = -MVk2 0 exp (iX Vt - IK) 2 (1 + АК)ю
Q = 2 ю - exp [ - i ( ю -i- X V) t ] - exp [ - ( ю - X V) t ]
ю2 - V2X2 ю + X V ю - X V
(1.15)
Возмущение границы раздела жидкости и льда находится путем применения обратного преобразования Фурье к выражениям (1.13)—(1.15)
П (x, У, t) = По(x, У, t) + ni(x + Vt, y, t)
(1.16)
| | Sn exp [i(Xx + |y)] dXd|, (n = 0, 1)
4я2
Пп = -Ц J J Sn exp [ i (Xx + |y)] dX d|, (n = 0, 1)
2. Установившееся возмущение ледяного покрова. Перейдем в систему координат, связанную с движущимся диполем, положив х' = х + V?, у' = у, £ = г. Слагаемое п0 в выражении (1.16) для отклонения границы раздела жидкости и льда от равновесного положения описывает возмущения, вызванные процессом возникновения диполя. Опираясь на общие свойства преобразования Фурье, можно показать, что при ? ^ величина п0 ^ 0 в любой фиксированной точке (х', у', 0). Слагаемое ^1(х + V?, у, ?) = = П1(х', у', ?) в выражении (1.16) описывает возмущение границы раздела жидкости и льда, обусловленное движением диполя. Используя равенства (1.15), (1.16), можно найти его предел при ? ^ в смысле теории обобщенных функций [17, 18]
»» 2
ni(x', У', + да) =--J JJ 1x+A X)C°s(|У')dXd|
П 0 0 (2.1)
Q(X) = c°s (X0 + п [8(ю - X V) - 5(ю + X V) ] sin (Xx')
ю2 - V2X2 2ю
Таким образом, при длительном движении диполя, в связанной с ним системе координат, на границе раздела жидкости и льда устанавливается стационарное возмущение n(x', y') = ni(x', У, +да), определяемое выражением (2.1).
Используя известные свойства 8-функции [17, 18], с учетом равенства (1.9), функции Q(X) в области интегрирования (2.1) можно придать вид
эи —со
Q(X) = c os(Xx') + п8(ю2 - VV) sin(Xx') (2.2)
ю
2 - V2X2
Перейдя в интеграле (2.1) к полярным координатам X = Kcosy, ц = Ksiny, представим возмущение ледяного покрова в виде
п/2
■ц(х', y') = -М Г /cos2уdy П2 J
0 (2.3)
" 3
/ = ¡Ч^М-1 ^(Kcos у) cos (y' Ksin y) dK
0
Из равенства (1.9) видно, что
ю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.