МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 539.375
© 2015 г. И. М. ПЕШХОЕВ, Б. В. СОБОЛЬ
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТРЕЩИН ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ
Рассматривается трехмерная задача теории упругости о нагружении нормальным давлением берегов плоской эллиптической трещины, поддерживающим ее в раскрытом состоянии. Трещина расположена в срединной плоскости слоя, подвергнутого действию предварительной конечной деформации в направлении осей симметрии трещины. Рассмотрена модель несжимаемого неогуковского материала. Применением двумерного интегрального преобразования Фурье задача сведена к решению сингулярного интегродифференциального уравнения первого рода относительно функции раскрытия трещины. Построено асимптотическое решение задачи в виде разложения по двум параметрам, характеризующим относительную толщину слоя и разность коэффициентов предварительной конечной деформации. Показано, что начальное напряжение не меняет порядка особенности поля напряжений вблизи ребра трещины и влияет лишь на коэффициент интенсивности нормальных напряжений. Исследовано влияние толщины слоя и параметров предварительного напряжения на интенсивность нормальных напряжений в плоскости трещины.
Ключевые слова: плоская эллиптическая трещина, преднапряженный упругий слой, асимптотическое решение, интенсивность напряжений.
Введение. В постановке задачи предполагается, что грани слоя после его предна-пряжения опираются о жесткое основание без трения (Задача А), жестко сцеплены с основаниями (Задача В) или свободны от напряжений (Задача С). Рассмотрена модель несжимаемого неогуковского материала [1]. Задачи сведены к решению соответствующих сингулярных интегродифференциальных уравнений (ИУ). Рассмотрены случаи, когда коэффициенты предварительного растяжения равны или мало различаются. Построено асимптотическое решение [2] в виде разложения по двум малым параметрам, характеризующим относительную толщину слоя и разность коэффициентов предварительной конечной деформации. Показано, что, как и в случае равных коэффициентов [3], начальное напряжение не меняет порядка особенности поля напряжений вблизи ребра трещины и влияет лишь на коэффициент интенсивности нормальных напряжений.
Аналогичные задачи для случая равных коэффициентов предварительной деформации в теле, содержащем круглую трещину, рассмотрены в работах [4, 5]. Построено [4] решение осесимметричной задачи для слоя при различных условиях на его гранях, показана возможность [5] использования решения задачи о трещине в анизотропном материале. Построено [6] решение осесимметричной задачи в случае радиальной предварительной конечной деформации. Исследовано [7] влияние начальных напряжений на раскрытие круговой трещины. Рассмотрена задача [8] об устойчивости сжатого упругого слоя, ослабленного круговой трещиной. В работе [9] для предварительно напряженного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной, построе-
Фиг. 1
но точное решение в случае, когда коэффициенты предварительного растяжения равны и асимптотическое решение, когда коэффициенты предварительного растяжения мало различаются. В линейно-упругой постановке построено асимптотическое решение для задачи о равновесии слоя, ослабленного плоской эллиптической трещиной [10, 11]. В работе [12] рассмотрены аналитические решения задач, соответственно, в трехмерной и двумерной постановках, для неограниченных и полуограниченных упругих тел, ослабленных системами плоских трещин, а также цикла контактных задач. Установлена возможность использования решений плоских аналогов в качестве асимптотических оценок для трехмерных постановок задач.
Пространственная контактная задача для предварительно напряженного полубесконечного упругого тела впервые рассмотрена в [13], построено асимптотическое решение. Пространственные контактные задачи для предварительно напряженного несжимаемого упругого слоя рассмотрены в [14, 15].
1. Постановка задачи. Рассмотрим упругий слой толщиной 2 Н. На бесконечности в двух взаимно перпендикулярных направлениях действуют равномерные нагрузки а х = ^ и а у = 7 2, вызывающие конечную деформацию неогуковского тела (фиг. 1). В срединной плоскости ^ = 0 слоя расположена трещина, занимающая в плане после предварительного напряжения эллиптическую область О: х2/а2 + у2 /Ь2 < 1.
Из соотношений теории малых деформаций, наложенных на конечную деформацию, вытекают уравнения равновесия, описывающие деформацию предварительно напряженного тела в случае неогуковского материала [1]:
^2 ^ + Х 2 ^ + ^ 2 ^ + 2 = 0, ШуЬ = 0 (1.1)
дх ду д1 &
Здесь Ь = {и, и, м} — вектор добавочных перемещений, х, у, z — декартовы координаты в деформированном состоянии, q — функция добавочного давления, Хь X2, X3 — коэффициенты предварительного растяжения вдоль координатных осей, G — постоянная материала. Так как материал несжимаем, выполняется условие [1]: Х^ 2Х 3 = 1.
В силу симметрии задачи рассмотрим верхнюю часть слоя 0 < I < Н. Для нагрузки, приложенной к берегам трещины, введем обозначение а г = - р (х, у). Рассмотрим важ-
ный частный случай равномерного давления на берегах трещины p (x, y) = p = const. Тогда краевые условия при z = 0 можно записать в виде
du + dw = 0, до + dw = 0, q + dw = - ( y)eQ
dz dx dz dy dz (1.2)
w = 0, (x,y) 0Q
Сформулируем краевые условия для каждой из задач на грани слоя z = h:
Задача А: ^ + ^ = 0, ¿U + ^ = 0, w = 0 (1.3)
dz dx dz dy
Задача В: u = 0, и = 0, w = 0 (1.4)
Задача С: ^ + = 0, ^ + ^ = 0, q + G-2^ = 0 (1.5)
dz dx dz dy dz.
2. Сведение задач к решению ИУ. Следствием уравнений (1.1) является уравнение Лапласа для функции q (x, y, z), которое можно использовать для определения функции добавочного давления. Применим к уравнениям (1.1), уравнению Лапласа Aq = 0 и граничным условиям (1.2—1.5) двумерное интегральное преобразование Фурье в виде
-i(ax+ey)
f * (а,в,z)= J J f (x,y,z)e<°*+ey)dxdy
Для трансформант Фурье получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
2 2 2 -а2а 2е2и* = - д*
dx1 G
^ -a.fr 2е2и* = - 2/ва2а2 д* (2.1)
dx G
d2М>* л 2л 2а2 * 2 dq* а2 - 2 2 , - 2П2
—т-а, а2е =--е = кха + а2р
^ dx2 G dz
/а и* + /р и * + dw */йг = 0 (2.2)
dУ/ёг2 -т2д* = 0, т2 = а2 + р2 (2.3)
Краевые условия при г = 0 (1.2) для трансформант Фурье принимают вид:
/ а w* + ^ = 0, /р w* + ^ = 0, д* + -2 ^ = -р*, (х, у )еП
dz dz dz (2.4)
w* = 0, (х, у
Краевые условия при z = к (1.3—1.5) преобразуются соответствующим образом в условия
* , du* п -о * , du* п , .* п /т
г aw +-= 0, ф^ +-= 0, w = 0 (2.5)
dz dz
и* = 0, и * = 0, щ * = 0 (2.6)
1ац!* + ¿и* = о, / р V* + ^ = 0, + — = 0 (2.7)
йг йг йг.
Общее решение уравнения (2.3) имеет вид
(а, р, г) = ql (а, в) е-тг + д2 (а, в) етг (2.8)
Подставляя (2.8) в систему (2.1), находим ее общее решение:
(и* (а, в г), и* (а, в, г), V* (а, в, г)) = (и! (а, в), ц (а, в), щ (а, в)) е -^20г +
■ ((а, в), и2 (а, в), Щ2 (а, в)) е^ + (/а, /в, т)2^2^2 ^в)е Г^/2^ в)е
(2.9)
о{х2Х 2е2 - т2)
Подставляя (2.9) в (2.2), находим соотношения, связывающие функцию вертикальных перемещений щ* (а, в, г) с функциями и* (а, в, г) и и* (а, в, г):
щ = I (аи1 +Р и1), щ2 =_ I (аи2 + Ри2) (2.10)
Х^к 20 Х^к 20
Здесь и далее для сокращения записи аргументы а, в функций и1, и2, и1, и2, щ1, щ2, q\, опущены.
Последующие преобразования проведем на примере Задачи (А). В случаях других краевых условий на внешних гранях г = ±И (Задачи В, С) все рассуждения проводятся аналогично.
Введем параметр ц = а/И, характеризирующий относительную толщину слоя. Из краевых условий (2.4), (2.5), с учетом соотношений (2.8), находим зависимости функций и1, и2, и1, и2, ^1, <у2 отp*, а затем из (2.7), (2.8) при г = 0 получим
р* (а, р)= (а, в, 0) (2.11)
где функция L имеет вид
£ = ¥ (а¥2/ц) + ¥2«^ (а¥ 1 ц) (2 12)
2^2^2тх (а$\{к 2/ц) (ах/ ц) =0^1^2 +Т, V2 = 0^1^2 -Т, Х1 =62 +Т2, X2 =02^2 -Т2
ю1 = + + 3х29^1^2 - т3
®2 = 03^3^2 - + 3т20^2 + Т3
Можно показать, что при т > 0, 0> 0, ц ^ 0 функция L имеет предельное выражение, которое соответствует задаче о равновесии преднапряженного упругого пространства, ослабленного плоской трещиной [9].
Переходя в (2.11) к оригиналам Фурье, получим интегральное уравнение для определения вертикального перемещения берега трещины
да да 2
Цу(¡5, П) | 11*1Нх<)+1Ку-ц)]йайвйП = р (2.13)
О
О —да —да
у(х,у) = ж(х,у,0); (х,у) ей
Предположим, что коэффициенты предварительной конечной деформации Х2 мало различаются между собой, и слой имеет достаточно большую относительную толщину, т.е. =Х — £, Х2 =Х + £, ^ > 0, е < 1, ц < 1. Функция L для т > 0 в этом случае может быть представлена в виде
ю 2 2
Ь = Тт + тX («1е+ п2е-2тЛц) + М+ 0(82) (2.14)
. т
т=1
Т X9 + Х6 + 3Х3 -1 п = (X6 +1)2 п = _ 4
2Х4(Х3 +1) , 1 Х4(Х6 -1), П2 Х(Х6-1)
М = (X3 + 2)(Х6 +1) Х2(Х3 +1)2
Выражения, обозначенные через П1 и П2 в (2.14), не существуют при X = 1. В качестве значения выражения под знаком суммы в (2.14) для X = 1 примем его предельное выражение при X ^ 1:
lim^e-2^ + n2e-2m^a/= 2e-2тта/ц (1 + 2тта/ц)
Подставим (2.14) в (2.13) и преобразуем внутренний двойной интеграл по переменным а, в с помощью замены переменных а = т sin (5), в = т cos (5). Воспользуемся интегральным представлением функции Бесселя [16]:
2п
С ii(a sin 5+b cos 5) ~ T / I 2 , 24
I e v 'ao = 2n/0(Wa + b )
0
а также интегральным тождеством [9, 16]:
I I 22 /99\
¿¿^S? Р U*2 dy2 J J (x-^)2 -n)2
В результате приведем исследуемое интегральное уравнение к виду TA jf^ dladП - Ц3 ^ 5 ЦY a n) d^dn + 0(ц5) -
R
о о
-sM
£) ЯИТ d ld n + ^ = ,
(2.15)
где с(n) - дзета-функция Римана, S = (X + ЗХ ' + 4)/ (4X10).
Коэффициенты S и M в уравнении (2.15) строго положительны при X > X , где
X* = 0.666. При X ^ X* коэффициент T стремится к нулю. Физически это означает,
что сжатый слой без трещины при X ^ X* испытывает потерю устойчивости, симметричную относительно срединной плоскости. Указанное критическое значение совпадает с кратностью удлинения, при котором происходит потеря устойчивости сжато-
го полупространства [13] и неограниченного пространства [9] из н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.