ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2004, том 23, № 10, с. 21-37
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ И СРЕДЫ НА ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
УДК 539.122.2
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ФОТОНОВ В ПРОЦЕССАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
© 2004 г. Б. И. Макшанцев, В. Б. Макшанцев, С. В. Моисеев, Е. М. Рукин
Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, Москва
Поступила в редакцию 19.06.2003; после доработки 03.03.2004
Проведено последовательное рассмотрение процесса рассеяния, включающего как упругие, так и неупругие рассеяния ансамбля фотонов веществом, находящимся в твердом растворе. Молекула вещества моделируется одномерными нерелятивистскими гармоническими осцилляторами, а векторный потенциал фотонов в ансамбле описывается полученным в работе волновым пакетом, точно удовлетворяющим уравнению Даламбера и представляющим собой образование, движущееся со скоростью света в вакууме и нерасплывающееся во времени и пространстве. Полученные результаты применяются для расчета кинетики люминесценции молекул, находящихся в твердом растворе.
1. ВВЕДЕНИЕ
При взаимодействии электромагнитного излучения достаточно малой интенсивности с веществом встречаются случаи, когда по существу следует рассматривать взаимодействие одной частицы вещества с одним фотоном. Здесь возникает задача описания одного фотона и его взаимодействия с веществом. Эта задача представляет интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и с точки зрения потенциальных приложений результатов научных исследований [1]. В частности, с давних пор [2] и по сей день в литературе продолжаются дискуссии относительно проблемы локализации одного фотона в свободном пространстве [3]. Последние годы решению этой проблемы был посвящен целый ряд работ [4-8] и было показано, что имеет место пространственно-временная локализация фотона. Однако получающееся при этом, например, выражение для волнового пакета векторного потенциала фотона [5, 6] не представляет собой, как следовало бы, образования, не расплывающегося во времени и пространстве и перемещающегося в свободном пространстве как целое по прямой со скоростью света в вакууме.
В работе [9, 10] была предпринята попытка в рамках некоторой модели устранить этот недостаток. Это удалось сделать, но в известных приближениях, что существенно ограничивало область применимости полученных в [9, 10] результатов.
В настоящей работе введены операторы полевых пакетов, по которым разлагается оператор векторного потенциала квантованного электромагнитного поля. Показано, что операто-
ром волновых пакетов, которым определяется временная зависимость оператора полевых пакетов, определяется и векторный потенциал фотона, представляющий собой нерасплываю-щийся во времени и пространстве волновой пакет, движущийся в свободном пространстве по прямой как целое образование со скоростью света в вакууме.
Сказанное подтверждается тем, что доказывается возможность замены оператора волновых пакетов, входящего в соответствующее уравнение Шредингера, его средним значением по собственным состояниям гамильтониана при времени £ —► -<», т.е. его можно заменить векторным потенциалом фотона. Полученный таким образом векторный потенциал фотона точно удовлетворяет однородному уравнению Даламбера.
Полученные в работе результаты позволяют понять процесс и точные критерии возникновения из ансамбля фотонов, описываемых волновыми пакетами, классического электромагнитного поля [11]. Учет пространственно-временной локализации фотонов дает возможность решать, в частности, задачи, которые без такого учета не могут быть решены. Например, учет пространственно-временной локализации фотонов позволяет описать процесс рассеяния ансамбля фотонов веществом таким образом, что в описании автоматически учитываются как упругие, так и неупругие процессы.
Результаты работы применяются для расчета кинетики люминесценции молекул, находящихся в твердом растворе. При этом выясняется, что теория предсказывает целый ряд эффектов, пред-
ставляющих интерес для эксперимента. Например, неизвестные ранее особенности в спектре рассеяния в области резонанса; возможность би-экспоненциального распада возбужденного состояния в процессе люминесценции, описываемого лишь в рамках только синглетных состояний; наконец, присутствие в сечениях рассеяния нелинейных поправок, связанных с величиной падающего на вещество потока фотонов. Последний эффект обусловлен статистическими свойствами ансамбля фотонов и связан с учетом их пространственно-временной локализации. В частности, экспериментальное обнаружение указанных нелинейных поправок дает возможность экспериментального определения параметров, характеризующих область пространственной локализации фотонов [3].
2. МОДЕЛЬ
Рассмотрим уравнение Шредингера для мо-
дельной системы
I п V- = Н (г дг
(1)
- оператор взаимодействия осциллятора с квантованным электромагнитным полем в длинноволновом приближении. Параметр
Е„ = 2
Г ЛЛ '"£
^ Ум
О
е е
^^ а>
рость света в вакууме; аа, аа - операторы рождения и уничтожения квантовых состояний моды а
электромагнитного поля; У = П О
а + а
72
У (г) -
оператор взаимодействия в длинноволновом приближении осциллятора с электромагнитным полем, возникшем вследствие внешнего воздействия на систему. Здесь
/ (г) =
где оператор
П О
А рно (г = 0, его, г),
арно( г, его, г) =
= ехрI П | Н(т)йт
ар ( г, его) ехр
-П | Н (т) йт
(2)
с гамильтонианом, зависящим от времени г:
Н (г) = Н + Яо + н /.
В уравнении (1) Н = Нг + У + У, Н„ =
= П О (а+а + 1/2) - гамильтониан гармонического
осциллятора с частотой О в представлении вторичного квантования, равновесное положение которого находится в начале координатной системы. Движение этого осциллятора происходит вдоль некоторой прямой, проходящей через точку, являющуюся началом координатной системы. Далее,
У = 1 п О (а+ + а )У (аа + а а)
2 л/Юа
будем называть оператором волновых пакетов, генерируемых в направлении единичного вектора ег0 при воздействии внешней классической силы, характеризуемой функцией /0(г), на осциллятор, равновесное положение которого находится в точке с радиус-вектором г0, где |г0| —►
Гамильтониан этого осциллятора Н ^о =
= П О (а+а0 + 1/2) и его взаимодействие с квантованным электромагнитным полем и внешней силой описываются в длинноволновом приближении соответствующими слагаемыми в гамильтониане Но = НVо + уо + У/о. Движение этого осциллятора происходит вдоль некоторой прямой, проходящей через точку с радиус-вектором г0. Здесь
уо = 1 п О (а+ + ао
ао
( а а + а а),
где
ао
=2
И
Мо У.
1/2
л
ое
V ос а'
О О
о
где У - объем квантованного электромагнитного поля (У —► м - масса осциллятора; е - заряд электрона; е,/ - единичный вектор вдоль прямой, по которой колеблется осциллятор; еа - вектор поляризации моды а электромагнитного поля; индекс а = а} представляет собой совокупность волнового вектора q = (д = и двух поляризаций а = 1, 2; юа = Юд/О, = сд и с - ско-
+
УУо = П Оо ^/о (г), 2
причем функция /0(г) = /0(г + г0) принимает конечные значения в области г ~ -г0 = |г0|/с и при |г| —«- ^
/>(г) — 0.
Все величины с индексом "0" имеют тот же смысл, что и соответствующие величины в гамильтониане Н, но относятся к гамильтониану Но в (1).
Оператор А р (г, ег) в (2) будем называть оператором полевых пакетов. Он определяется через
а
разложение по этим операторам оператора А (г) векторного потенциала электромагнитного поля:
А (г) = £ А а( г) = £ А р (г, ег),
где
Аа( г) = | ^
V
1/2
а а ехр 11 ^ юаегг | +
„+ I .С + а а ехр | -I - Юа ед г
Ар( г' ег) = £Ыегег>фг)Аа( г)
X, а
Рх(в9, ф9) = Р(X, 0р ) =
vа /1 ч -и XV
= ;;--рт;-л—г g (X) б и .
2 П х Г( 1+ XV)
(5)
Здесь X, 0?, ф? - переменные, по которым осуществляется интегрирование, причем 0 < X < Г(1 + + XV) - гамма-функция, где V —► Величина
av , 1 а , и = — ( 1 - 008 0а).
х 4
Параметр х = (юа(С АЯ/е)
X — X)
0. Функция
-1
+1
g(X) = <|л а _ а
а - дисперсия переменной1) X.
Отметим, что в отличие от работы [9], в которой величина АЯ считалась конечной, в настоящей статье полагаем АЯ —►
В (2) будем считать для простоты ег0 ег = -1, где ег - единичный вектор в направлении векто-
(3) ра г0.
Оператор Н/ в (1) является гамильтонианом квантованного электромагнитного поля
Hf = £юа( а+а а а + 1/2).
Для решения уравнения (1) с помощью преоб-(4) разования [12]
£ Px( еге?,фг) = £ Px(0q,фq) = 1.
Здесь PX(0q, ф?) - плотность вероятности того, что параметр X углы 0?, ф?, определяющие направление вектора q, имеют заданное значение. Отметим, что векторы еа необходимо выбрать так, чтобы они не зависели от вектора ег и чтобы еае? = 0, что всегда возможно. В дальнейшем будет рассматриваться случай цилиндрической симметрии. Это будет соответствовать усреднению всех величин по азимутальному углу в плоскости, перпендикулярной вектору ег. Согласно [9],
а = £ ^оя ^д( ад + а д)/л/^д>
X, д
а а = £ XаXXXд( ад + а д) / л/^д
X, д
диагонализуем ту часть гамильтониана в (1), которая не зависит от времени. Здесь Х^ = (йО/йг )-= гx,
где zx = s2X - корни уравнения О(г) = 0,
О (г) = г-1-£
XaX = Х0 X
2
г - Юа
2
гx - Юа
XXд = Х Од-
ex
2
гд - sX
= ((О) £ X оx-
„ Zx - Юа
3/2
£„о е
ао а
X2д = (йО0/йг)г = г , где гд - корни уравнения О0(г) = 0,
°0(г) = г-
£
2
еx
2
X г - ^
В результате диагонализации находим для указанной части гамильтониана в (1) собственные значения Еп и волновые функции Фп, где п = {пд} - совокупность квантовых чисел, соответствующих
модам д. Далее представим слагаемое в (1) в виде разложения
& (С
= (а+ + а) 2
£<Фп!(г )|ФпХФп!^>Ф п
х) Заметим, что, согласно [9], vaАR2 = Я2, где (4/3)яЯ3 - объем квантованного электромагнитного поля и Я-»- Величина XV + 1 - число клеток фазового пространства (для мод квантованного электромагнитного поля), геометрическая часть которого связана со сферической частью шарового сектора с углом 0?.
£<Фп!(г )|ФпХФп'!^>Фп
п, п п Ф п'
а
е
а
и
X
X
е
е
2
а
п
+
где второе слагаемое оказывается исчезающе малым и им можно пренебречь, а первое слагаемое представимо в виде
п О п О
пО( а+ + а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.