МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 593.3
© 2015 г. Д. В. ТАРЛАКОВСКИЙ, Г. В. ФЕДОТЕНКОВ
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрена пространственная задача о движении тонкой упругой сферической оболочки типа Тимошенко под действием произвольно распределенного нестационарного давления. Предложен подход к расщеплению системы уравнений пространственного движения оболочки. Построены интегральные представления решения с ядрами в виде функций влияния, которые находятся аналитически с помощью разложений в ряды по собственным функциям и преобразования Лапласа. Построен и реализован алгоритм решения задачи о воздействии на оболочку нестационарного нормального давления. В практическом отношении полученные результаты особенно актуальны для областей авиа и ракетостроения, а также других областях промышленности, где широко применяются тонкостенные обо-лочечные элементы конструкций, подверженные нестационарным воздействиям в процессе эксплуатации.
Ключевые слова: пространственные нестационарные задачи, сферическая оболочка, расщепление уравнений, ряды по собственным функциям, интегральное представление, функции влияния, численно-аналитические алгоритмы.
Введение. К настоящему времени теория оболочек является хорошо разработанным разделом механики деформируемого твердого тела. Однако, наряду с большим количеством публикаций, посвященных решению статических и квазистатических задач, а также динамических задач с учетом различных случаев симметрии [1—6], практически отсутствуют работы, направленные на решение пространственных нестационарных задач. Проблемы данного класса актуальны в теоретическом отношении с позиции разработки методов и подходов к исследованию новых нестационарных пространственных задач, в том числе контактных с подвижными границами. В прикладном отношении они важны с точки зрения возможности получения аналитических решений, которые могут служить в качестве эталонных при разработке инженерных методик расчета пространственных задач, а также при тестировании численных методов. В настоящей статье предложена общая методика решения пространственных нестационарных задач для тонкой упругой сферической оболочки, основанная на введении новых представлений решения, применении метода Фурье и принципа суперпозиции.
1. Постановка задачи. Рассматривается тонкая упругая замкнутая сферическая оболочка радиуса Я. В начальный момент времени к ней прикладывается внешняя поверхностная нагрузка р, зависящая от времени т и распределенная произвольным образом по некоторой области ^ с ограниченным кривой Г носителем, принадлежащим поверхности оболочки. Срединная поверхность оболочки задается в прямоугольной декартовой системе координат Оху1 так:
П: x = R sin 9 cos Э, y = R sin 9 sin Э, z = R cos 9 0 < 9 < n, 0 < Э < 2 n
Движение оболочки описывается уравнениями модели С.П. Тимошенко в перемещениях [7] (точками здесь и далее обозначены производные по времени):
w = Lw + p
w = \\ue, и3, w, Xe, X s||т, p = ||be, bs, í,0,0||т, L = ¡Ly\\ 5x5
(1.1)
Lii (ue
L14 (Xe
L21 (ue
L24 (Хв
L3i(ue L34 (xe
L41 (u0
L44 (x0
L51 (u0 L54 (x0
= Mi (ue) + b2üe, Ln (щ) = M2 (us), Lu (w) = (2 - b 1)M1 (w)
= -Y2Mi (xe) + a Xe, A5 (Xs) = -Y M (xs)
= M3 (üe), L22 (us) = M4 (us) + b2us, L23 (w) = (2 - b2)M8 (w) = -Y2l21 (Хв), L25 (Xs) = -Y2m4 (XS) + a2Xs
= -(2 - b2)M5 (ue), L32 (u9) = —L23 (u9), L33 (w) = aMk (w) - с2w = a2M5 (xp), L35 (xэ) = a2M8 (Xэ)
= Y 2L14 (u0) , L42 (uS) = Y 2L15 (uS) , L43 (w) = -a¿Y ¿M1 (w) = -Y-2l14 (X0) , L45 (xs) = -Y-2l15 (XS)
-2
2 -2,
= -L24 (u0) , L52 (uS) = Y 2L25 (uS) , L53 (w) = -Y 2L35 (w) = L21 (X0) , L55 (Xs) = -Y-2L25 (XS)
-2,
Здесь и0, и3 и ^ — тангенциальные и нормальное перемещения оболочки; Хе, X 3 — углы поворота нормального к срединной поверхности до деформации волокна за счет сдвиговых деформаций; qв, и р — тангенциальные и нормальное составляющие внешнего давления, а дифференциальные операторы Мк (к = 1,8) имеют вид:
1
M1 =4 + -ctge +-V 4—г-
se2 se sin2 esa2 sin2 e
M2 =■
1
M3 =
sin e 1
(1 -n2)—— (1 + n2)ctge— ses» da
sin 9
í n2
(1 - ц2)—— + (1 + nVg9— 595» 5»
M4 = n
-d~2 ctg9 —-SL 592 39 sin2 9) sin2 95Г
2
M5 = d + ctg0, M6 = -dT + d ctg9 +--1— -^-r,
5 50 6 d02 60* sin2 0532
m7 =A, M8 = A
1 50 8 sin 059
При записи всех соотношений используется следующая система безразмерных величин (размерные параметры при одинаковом начертании обозначены штрихом):
u _ uà W _ W ' T_ c1t c 2 + c 2 _Ц Y 2 _ h2
ua _ — , W _ — , T _ — , c1 _ -, c2 _ _ , Y _ -
R R R 1 p ' 2 p' ' 12R2 hR2
2
2 c2 Ц 2 2, 2 ,2 0 2 2 2 ,л 24
П _ -4 _ — —, a _n k , b _ 2n - a , c _ 4(1 - n ) q X + 2ц
да _ m ' p _ p' q _ qà (a _ 9 9)
^V3ypR3' 2>/3y (Я. + 2ц) a 2>/3y (X + 2ц) V ' 7
где h — толщина оболочки, t — размерное время, A, ц и p — упругие постоянные Ламе и плотность материала оболочки; q и С2 — скорости распространения волн растяжения-сжатия и сдвига; m — масса оболочки, k2 = 5/6 — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных усилий по толщине.
Граничные условия включают требования периодичности решений по окружной координате 9 :
w(0,3, т) = w(0, 3 + 2пk, т), k е Z (1.2)
а также их ограниченность в полюсах 9 = 0, п. Начальные условия предполагаются нулевыми
ueLo = usU = Wт=о = XeU = Х»\т=о = u4=0 = хeU = х4=0 = Ue|x=0 = Wт=0 = 0 (1.3)
2. Расщепление уравнений движения оболочки. Отметим, что ввиду многообразия дифференциальных операторов по пространственным переменным, порождающих систему (1.1) использование аппарата разложений в ряды Фурье представляет значительные трудности, связанные с определением полных систем ортогональных собственных функций. Для преодоления этих сложностей для функций u0, us, хе и xs введем представления:
dU . Q 1 dU üq =--ф sin 9, u. =--
d9 sin9 d9 (2|)
X e = — -V sin 9, x. = dX xe d9 sin 9d9
Здесь U (9,9, т), X (9,9, т), ф (9,9, т) и у (9,9, т) — новые неизвестные функции, которые в силу (1.3) удовлетворяют следующим начальным условиям:
U (9,9,0) = U (9,9,0) = X (9,9,0) = X (9,9,0) = = Ф (9,9,0) = ф (9,9,0) = V (9,9,0) = у (9,9,0) = 0
и граничным условиям (1.2), а также ограничены в полюсах.
Подставляя (2.1) во второе уравнение системы (1.1) и интегрируя его по переменной 9, приходим к такому уравнению:
U = M6 (U) - у2M6 (X) + b2U + a2X - К^ф - y V) + (2 - b2)W + Q (2.2)
K 1 = sin (
(1 -n 2)—+ 2ctg8 <59 .
, q9 = M8 (Q )
Далее дифференцируем (2.2) по 9 и вычитаем результат из первого уравнения системы (1.1). Тогда с учетом представлений (2.1) приходим к следующему уравнению:
ф = п2М6 (ф) - М6 (у) + Ь2ф + а V + Т (2.3)
T = т - q0
sin 9\59
Выполняя аналогичные действия с пятым и четвертым уравнением системы (1.1), получаем еще два уравнения:
XXX = -M6 (U) + M6 (X) + a2у-2U - a2у-2X + K1 (ф - у) - a2y-2w (2.4)
V = -n2M6 (Ф) + n2M6 (y) + a2y-2 (ф - V) (2.5)
Подставляя теперь (2.1) в третье уравнение системы (1.1), приходим к такому уравнению:
w = -(2 - b2)M6 (U) + a2M6 (G) +
+ a2M6 (X) + (2 - b2)K2 (ф) - a2K2 (у) + с2w + p
K2 = sin 9 (дЦ^ + 2ctg0
Таким образом, с использованием представлений (2.1) задача распадается на две подсистемы: первая состоит из уравнений (2.3) и (2.5) относительно неизвестных функций ф и ^, а вторая — из уравнений (2.2), (2.4) и (2.6).
3. Представление решения в виде рядов. Отметим, что первая подсистема (2.3), (2.5) содержит только один дифференциальный оператор M6, собственными функциями которого являются сферические функции Ynm (9,9) [8]:
5 2Y 5Y 1 5 2Y
M6 (Ynm) = dYr + ctge^ + -V —Г = -NYnm, N = n(n + 1)
592 59 sin2 9 592 (3.1)
Ynm (9,9) = P^ (cos 9)ems
где PT (cos 9) — присоединенные функции Лежандра 1 рода.
Это позволяет при построении решений уравнений (2.2)—(2.6) использовать разложения в ряды по этой системе функций:
Ж n ж n
ф (9, 9, т) = ЕЕ Фпт (т) Ynm (6, 9), V (9, 9, т) = ЕЕ V nm (т) Ynm (6,9)
n=0 m=-n n=0 m=-n
ж n ж n
U (9, 9, т) = ЕЕ Unm (т) Ynm (9, 9), X (9, 9, т) = ЕЕ Xnm (т) Ynm (9,9)
n=0 m=-n n=0 m=-n
ж n ж n
w (9,9, т) = ЕЕ wnm (т) Ynm (9,9), p (9,9, т) = ЕЕ Pnm (т) Ynm (9,9)
n=0 m=-n n=0 m=-n
ж n ж n
T (9, 9, т) = ЕЕ Tnm (т) Ynm (9, 9), Q (9, 9, т) = ЕЕ Qnm (т) Ynm (9,9)
n=0 m=-n n=0 m=-n
Wnm (т) = Wn,-m (т) = ^f eimBd9 fw(9,9, т) P„m (cos 9) sin 9d9
4n (n + m) J J
4 ' 0 0
n = 0,1,2 ...; m = 0,1, 2 ..., n
(3.2)
Здесь для краткости приведены формулы только для wnm. Остальные коэффициенты рядов определяются аналогично.
Подставляя (3.2) в (2.3), (2.5) и учитывая (3.1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов <$nm и у nm:
фnm = (b2 - ^П2)ф«т + (a2 + Nn2Y2)уnm + T„m (3 3)
2 —2 2 (3.3)
¥ nm = (a Y + Nn ) (фnm - ¥ nm)
с однородными начальными условиями
фnm (0) = Фnm (0) = Vnm (0) = Vnm (0) = 0
Решения системы (3.3) можно построить независимо и тем самым получить функции ф (9,9, т) и у (9,9, т) в виде разложений (3.2).
Подстановка (3.2) в уравнения (2.2), (2.4), (2.6) и учет рекуррентных соотношений для присоединенных функций Лежандра [8]:
кр (cos 9)] = anmPnmi (cos 9) + b^ (cos 9) K2[pnm (cos 9)] = cnmPnm\ (cos 9) + (cos 9)
(n + m) (2 - ц2 - n - m) (n - m +1) (3 - ц2 + n - m)
anm = " " , bnm = " "
2n + 1 2n + 1
(n + m) (2 - n - m) (n - m + 1) (3 + n - m)
cnm = Z \ , dnm = Z \
2n + 1 2n + 1
приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
Unm = (b2 - N)Unm + (a2 + Y2N)Xnm + (2 - b 2)Wnm + R
■nm
Хпт = N + а2у~2)и„т - N + а2у~2')Хпт - а\~\пт + кПт (3.4)
Упт = (2 - Ь2)Жипт - а2МХпт + (с2 - а2Ы)^пт + ВПгт где
- Опт (Фп+П,т У ¥п+п , т )ап+П ,т (фп-П, т -1 ¥п -П, т)Ьп-П, т Впт — (фп+П,т — ¥п+П,т) ап+П,т + (фп-П,т — У ¥п-П,т)Ьп-П,т
Впт — Рпт + (2 — Ь ) (фп+П,тСп+П,т + фп-П,т^п-П,т) — а (п+П,тСп+П,т + ¥п-П,т^п-П,т )
Система уравнений (3.4) дополняется начальными условиями
йпт (0) = йпт (0) = Хпт (0) = Хпт (0) = Упт (0) = УУпт (0) = 0 (3.5)
Построив решения (3.4) получаем функции й (9,9, т), X (9,9, т) и у (9,9, т) в виде разложений (3.2), а затем по формулам (2.1) определяем тангенциальные перемещения и углы поворота нормального к срединной пове
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.