АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2009, том 55, № 2, с. 153-159
НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
УДК 537.548
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО АКУСТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА В ТОНКОЙ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЕ ИЗ СПЛАВА С ДЕФЕКТАМИ © 2009 г. М. Ю. Изосимова, А. И. Коробов, О. В. Руденко
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119992 Москва, Ленинские горы E-mail: akor@acs465a.phys.msu.ru Поступила в редакцию 7.10.08 г.
По результатам экспериментальных измерений амплитуды волны Лэмба на основной частоте и ее второй и третьей гармониках рассчитаны пространственные распределения квадратичного и кубического нелинейных акустических параметров в тонкой круглой пластине из поликристаллического сплава алюминия Д16 с дефектами. Установлена корреляция между этими распределениями и местонахождением дефектов в пластине.
PACS: 43.25.Vt, 43.30.Zk
ВВЕДЕНИЕ
Одним из перспективных направлений акустики твердого тела является исследование нелинейных процессов, обусловленных наличием ме-зомасштабных неоднородностей и дефектной структуры в материале. Дефекты заметно изменяют соотношение между макроскопическими значениями напряжения и деформации либо из-за сильно нелинейного локального деформирования в окрестности "мягких" включений (трещины, полости, поры), либо вследствие концентрации внутренних напряжений в ближайшей окрестности особых точек типа острой вершины трещины. В результате такого поведения дефектной структуры реальный материал в целом обнаруживает сильно нелинейные свойства даже при относительно слабых действующих напряжениях. Нелинейность, связанная с дефектами и нарушением структуры материала, когда он не может считаться сплошным (это так называемая "структурная" или неклассическая нелинейность), может на несколько порядков превышать нелинейность, обусловленную ангармонизмом кристаллической решетки (по устоявшейся терминологии — "физическую" нелинейность) [1—3]. Возможные механизмы появления неклассической нелинейности описаны в работах [1, 4].
Гигантская "структурная" нелинейность открывает возможности для точных методов акустической диагностики, позволяющих получать более полную информацию о состоянии материала. Структурная нелинейность определяется локальными дефектами, поэтому измерение нели-
нейного параметра в твердых телах позволяет определить пространственное распределение дефектов [4].
В последнее время для диагностики материалов все шире используются методы лазерной до-плеровской виброметрии. Эти методы позволяют измерить пространственное распределение амплитуды колебаний поверхности образца, а также распределение амплитуды колебаний на основной частоте и ее гармониках [5—8]. При этом колебания могут вызываться как внешним, так и внутренним источником, например, работающим двигателем автомобиля, самолета или других механизмов, что в принципе позволяет осуществить дистанционную бесконтактную диагностику этих объектов.
Амплитуда колебаний образца на высших гармониках в каждой точке его поверхности зависит от амплитуды основной частоты и величины упругой нелинейности в исследуемой точке. Это позволяет по распределению амплитуд колебаний гармоник вдоль поверхности образца получить информацию о пространственном распределении нелинейности и, как следствие, о дефектах в нем.
Однако амплитуда высших гармоник определяется не только величиной упругой нелинейности, но и амплитудой волны основной частоты. Поэтому существенную информацию о характере нелинейности дает безразмерная величина — нелинейный акустический параметр. Для измерения параметров нелинейности разработан ряд методов. Наиболее распространен спектральный
метод, основанный на регистрации амплитуд основной и высших гармоник [3, 4]. В изотропной среде для бегущих волн выражение для квадратичного нелинейного параметра с учетом только классической нелинейности и в отсутствие дисперсии имеет простой вид:
Г =--в = Л_' и
2 а к0х
к тому, что в правой части уравнения для изгиб-ных волн в изотропном материале появится "вынуждающая сила" Р, зависящая от амплитуды волны и упругой нелинейности материала. В типичной ситуации, когда нелинейность слабая, это уравнение можно записать в символической форме
Здесь коэффициенты а = К + 4^/3 и р = 3К + + 4ц + 2А + 6В + 2С выражаются через упругие коэффициенты второго порядка К, ц и коэффициенты упругости третьего порядка А, В, С; и1, и2 — амплитуды основной волны и второй гармоники; к0 = ю/с — волновое число основной волны, ю и с — частота и скорость распространения; х — расстояние, проходимое волной.
В последнее время для неразрушающего контроля тонких пластин и оболочек используются волны Лэмба, например, нулевая изгибная мода. Для повышения эффективности нелинейного упругого взаимодействия образец возбуждается на резонансной частоте диагностируемого объекта в режиме стоячих волн. Вследствие сильной дисперсии изгибной волны Лэмба (скорость нулевой моды в тонкой пластине пропорциональна
V® ) ее высшие гармоники не являются собственными модами образца. Поэтому применение выражения для нелинейных акустических параметров второго и третьего порядков, полученного для режима бегущих волн [9], для стоячих волн Лэмба некорректно.
Целью данной работы является вычисление пространственного распределения квадратичного и кубического нелинейных акустических параметров в тонкой круглой пластине из поликристаллического сплава алюминия, содержащего дефекты. Расчет опирается на результаты экспериментального измерения пространственного распределения амплитуды волны Лэмба на основной частоте и ее второй и третьей гармониках [6]. Кроме того, установлена корреляция между этими распределениями и распределением дефектов в пластине.
КВАДРАТИЧНЫЙ И КУБИЧЕСКИЙ НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ ВОЛН ЛЭМБА В КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЕ
Чтобы получить выражения для нелинейных параметров в случае стоячих волн, воспользуемся уравнением изгибных колебаний тонкой цилиндрической пластины, описывающим волны Лэм-ба конечной амплитуды. Учет нелинейности в зависимости напряжения от деформации приведет
д^+А д 2С = Р №
дг2 р к [дг2 дг2
(1)
где А =
къЕ
12(1 -а2)
, к, р — акустическая жест-
кость, толщина и плотность пластины соответственно; Е — модуль Юнга; а — коэффициент
Пуассона; А — двумерный Лапласиан; ^ (х, у, г) — вертикальное смещение поверхности пластины. Как следует из экспериментов, амплитуда высших гармоник мала по сравнению с амплитудой основной частоты. Это позволяет решать уравнение (1) методом последовательных приближений. Решение будем искать в виде:
С = С(1) + с(2) + с(3),
где ^(1) (х, у, г), С(2) (х, у, г), с(3) (х, У, г) - смещения на частотах первой, второй и третьей гармоник
соответственно. При этом ^» С(2) ^ С(3) •
В линейном приближении уравнение (1) имеет вид [10]:
д^ + А д 2С (1) = 0. дг рк
Его решением является гармоническая функция, пространственное распределение амплитуды которой зависит от граничных условий на краях пластины:
С(1)(х, У, г) = С,1 У1(х, у)ехр(Iюг), (2)
Здесь — амплитуда возбужденной моды на основной частоте, а (х,у) — пространственное распределение амплитуды волны Лэмба для этой моды по поверхности пластины. В случае возбуждения круглой пластины со свободными краями, пространственное распределение амплитуд из-гибных волн Лэмба описывается выражением [11]:
у1(г, ф) = /т (кг)созтф
где г — радиус; ф — угол; 1т (кг) — функция Бесселя порядка т; к = ю/ся — волновое число, са — скорость волны Лэмба.
Когда в пластине возбуждается волна Лэмба конечной амплитуды, происходит генерация высших гармоник. Возникновение второй гармо-
ники волны Лэмба идет за счет несинхронного взаимодействия двух волн основной частоты:
ю2 = ю? + ю? = 2 ю.
Во втором приближении уравнение (1) имеет вид:
Г ^ ч2л
д!^^2^ + в д 2с (2) = р
д12
рА
д2 (С(1) (г, ф, г))2
д2
V
= Г 2 (г, ф) 4ю2к2^2у2 (г, ф) ехр( 12ш).
Аналогично (2) пространственное распределение амплитуд смещения на второй и третьей гармоник имеет вид:
£(п) (г, ф, ^ = „¥ „ (г, ф )еш(4)
где £п, Vп (г, ф) — амплитуда смещения и пространственное распределение п-й гармоники соответственно, п = 2, 3.
После подстановки (4) в (3), учитывая закон
дисперсии к2 = 4рАю2/В [10], можно получить выражение для квадратичного нелинейного параметра Г 2 (г, ф):
1
(3)
г 2(г, ф) = 472
'Вл
\РА У
512
Ю '
В
рА
А V 2 (г, ф)- 4 ю2ф 2 (г, ф)
(5)
с 2
2
+ В А 2С(2) (г, Ф, / ) = р А
д/2
+ В А 2С(2) (г, ф, / ) =
р А
= Г 2 (г, ф)4 юк (С2 (г, ф) + а2 )ехр(/2 ю /).
А, мкм
20 10
50
100
150
мм
Vi (г, ф) С2
Выражение (5) имеет особенность в узлах стоячей волны Лэмба на основной частоте,
Г2(г, ф) ^ го. Однако идеальный режим чисто стоячих волн, очевидно, не может быть реализован. Всегда возникают "паразитные" колебания в виде ансамбля распространяющихся возмущений, создающих шумовой фон на различных частотах, и, в частности, на частоте ю1. Учтем шумовую компоненту £шум с нестабильным распределением поля по пластине в правой части уравнения (3):
д2С(2)(г,Ф,/) , ВдV(2).
Рис. 1. Распределение амплитуды колебаний поверхности образца с дефектом на частоте 2.5 кГц.
Наличие шумовой компоненты подтверждено нами экспериментально. На рис. 1 приведено экспериментально измеренное распределение по поверхности диска амплитуды его колебаний на основной частоте. Как видно из рис. 1, во всех точках пластины амплитуда колебаний больше нуля. Очевидно, что интенсивность шума тем больше, чем выше амплитуда возбуждаемых в
пластине колебаний, поэтому а2 = а2^2, где а — постоянный коэффициент. В результате (5) принимает вид:
г 2(г, =472
1
1
В
ЧРАУ
5/2 '
Ш '
В 2 2
—А V 2 (г, ф)- 4Ш V 2 (г, ф) рА
(7)
^2
(V? ф) + а 2) С2
(6)
= Г 2 (г, ф)4 Ю2к2 (г, ф) + с шум )2ехр(/2 ш/). Проводя статистическое усреднение с учетом того, что (<;шу^ = 0 и {с,2шу^1 = с2, получим в правой части (6):
д 2С(2) (г, Ф, /)
Наличие в знаменателе выражения величины а > 0 устраняет особенности в узлах стоячей волны Лэмба основной частоты.
Третья гармоника может сформироваться за счет прямого взаимодействия трех волн основной частоты и в результате взаимодейст
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.