МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.59.032
© 2008 г. А. А. АБРАШКИН
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Изучение влияния вязкости на распространение поверхностных волн традиционно ограничивается рассмотрением плоских (двумерных) волн [1, 2]. Эффекты, связанные с учетом поперечной модуляции профиля волны, до настоящего времени не исследовались. Ниже построено и проанализировано решение для линейных пространственных периодических волн в бесконечно глубокой жидкости. Отличительным их свойством является наличие завихренности в направлении распространения. Найдено выражение для усредненной (на длине волны) скорости горизонтального дрейфа жидких частиц в квадратичном приближении по малой крутизне волн.
Ключевые слова: волны на воде, вязкость, лагранжевые координаты.
Стокс первым теоретически показал, что двумерные волны малой амплитуды осуществляют в среднем перенос массы в направлении распространения волны [3]. Свои вычисления он проводил в рамках идеальной жидкости. Выражение, полученное им для средней скорости движения жидких частиц, называют еще стоксов дрейф. Проведя аналогичные вычисления для вязкой жидкости, Лонге-Хиггинс указал, что, если пренебречь слабым затуханием волны, то величина дрейфовой скорости, во-первых, не зависит от вязкости жидкости, а во-вторых, ровно в 2 раза больше, чем в идеальной жидкости [4, 5]. Для пространственных волн ситуация выглядит сложнее. Величина дрейфовой скорости зависит уже от двух (перпендикулярных к направлению распространения) координат. После ее усреднения по длине волны модуляции можно проводить сопоставление между скоростями дрейфа в двумерном и трехмерном случаях. В пространственной волне массоперенос всегда меньше.
Характерная особенность исследования эволюции поверхностных волн в вязкой жидкости состоит в том, что толщина пограничного слоя вблизи свободной поверхности может быть мала по сравнению с амплитудой волны. Вследствие этого ставить поверхностные граничные условия на уровне у = 0 (у - вертикальная декартова координата) не представляется удовлетворительным. Лучшим вариантом является выбор системы отсчета, движущейся с волной, и использование ортогональной криволинейной координатной системы, в которой свободная поверхность является координатной поверхностью. При эйлеровом описании течения ее вид неизвестен, поэтому при изучении двумерных линейных волн граничные условия формулируются на плоской поверхности у = 0, а при рассмотрении квадратичных эффектов на синусоидальной поверхности, соответствующей профилю линейной волны [2, 4, 5]. Анализ эффектов в третьем приближении по малой крутизне волны предполагает знание профиля во втором порядке теории возмущений и т.д. Изучение пространственных волн при таком подходе представляется нереальным ввиду значительного объема требуемых вычислений.
Все эти трудности, однако, отсутствуют при лагранжевом описании волнового движения. Форма свободной поверхности при таком подходе задается условием Ь = 0, где Ь - вертикальная лагранжевая координата. Оно не зависит ни от порядка теории возмущений, ни от размерности задачи. В рамках лагранжевого подхода в работах [6, 7] выполнен ряд расчетов для двумерных поверхностных волн. В частности, выяснено влия-
ние на дрейфовое течение в жидкости движения воздуха, вращения Земли [6] и упругих пленок на свободной поверхности [7].
В настоящей работе лагранжево описание волн в вязкой жидкости обобщается на трехмерный случай. Обычный лагранжев подход усовершенствован путем перехода к модифицированным лагранжевым координатам [8-12]. В рамках предложенного описания проблема учета секулярных по времени слагаемых формализована для всех (в том числе высших) приближений.
1. Метод модифицированных лагранжевых координат для волн на воде. Рассмотрим распространение пространственной волны в бесконечно глубокой, вязкой жидкости. Движение будем описывать в модифицированных лагранжевых переменных q = a + o(b)t, b, c, где a, b, c - лагранжевые координаты, t - время, а a(b) - некоторая функция, подлежащая определению. Полная система уравнений гидродинамики в этих переменных имеет следующий вид [12]:
[ X, Y, Z ] = 1
2 1
О2Xqq +20Xqt + Xqt = -1 [ Y, Z, p] + (1.1)
+ V{[Y, Z, [Y, Z, Xt + oXq]] + [Z, X, [Z, X, Xt + ОXq]] + [X, Y, [X, Y, Xt + ОXq]]}
21
О2 Yqq +2О Yqt + Ytt = g - 1 [Z, X, p] +
+ v{[Y, Z, [Y, Z, Yt + oYq]] + [Z, X, [Z, X, Yt + oY.]] + [X, Y, [X, Y, Yt + oYq]]}
q q q (1.2)
О2Zqq + 2oZqt + Z„ = -1 [X, Y, p] +
+ V{[Y, Z, [Y, Z, Zt + oZq]] + [Z, X, [Z, X, Zt + oZq]] + [X, Y, [X, Y, Zt + oZq]]}
Здесь X(q, b, c, t), Y(q, b, c, t), Z(q, b, c, t) - координаты траектории жидкой частицы, р -плотность жидкости, p - давление, g - ускорение свободного падения (ось y направлена вертикально), а квадратные скобки обозначают операцию взятия якобиана по переменным q, b, c, так что, например:
[ у Y 7Л = D(X' Y, Z)
[X,Y,Z] = D(q, b, c)
Уравнение (1.1) является уравнением неразрывности и отражает то обстоятельство, что в начальный момент координаты жидких частиц равны соответственно a, b, c.
Функция o(b) описывает неоднородный по вертикали дрейф жидких частиц в направлении x. Так, сдвиговое течение с профилем скорости o(b) в лагранжевых переменных задается соотношениями
X = a + o( b) t; Y = b; Z = c
Поскольку в рассматриваемом случае сдвиговый поток отсутствует, то можно считать, что o(b) = o = const.
Систему уравнений (1.1), (1.2) дополним граничными условиями. В случае свободных гравитационных волн на бесконечно глубокой воде это условия непротекания на дне и отсутствие вязких напряжений на свободной поверхности
Yt = 0 (b = -<*>) (1.3)
Tiknk = (- Р0 + TK)nv b -0
n - *o ( Y qZc - Y c Zq) + y о ( - XqZc ) + Zo ( Xq Y c - Xc Y q )
J(YqzC-YCZq)T+ïzqxC-XqzCf+ïxqYC-xCjq)2 (1.4)
K - Yqq(1 + Y2c ) - C Y q Y£ Ycq + Ycc( 1 + Y\\)
2 C 3/C
( 1 + yC + Y2 )
Здесь Tik - тензор вязких напряжений, p0 - постоянное внешнее давление, T - коэффициент поверхностного натяжения, x0, y0, z0 - единичные вектора вдоль соответствующих осей, n - внешняя нормаль к свободной поверхности Y = Y(q, 0, c), а K - ее средняя кривизна. Выражения для компонент тензора Tk получаются достаточно просто, если их представление в эйлеровых координатах записать в якобианной форме, затем перейти к новым переменным (по правилу "перемножения" якобианов) и учесть уравнение непрерывности (1.1)
Txx - -p + Cvp[Xt + oXq, Y, Z]; Tyy - -p-Cvp[Yt + oYq, X, Z] Txy - TyX - vp([ Yt + oYq, Y, Z] - [ Xt + о Xq, X, Z ])
Txz - TZx - vp([ Zt + о Zx, Y, Z] - [ Xt + о Xq, Y, X ]) (1.5)
Tyz - Tzy - vp([ Yt + о Yq, X, Y ] - [ Zt + о Zq, X, Z]) Tzz - - p -C vp[ Zt + о Zq, Y, X]
Представим все входящие в уравнения движения функции в виде ряда по малому параметру крутизны волны е
X = q + е^ + ес ^2 + О(е ), Y - Ь + + е пс + О(е ), Z - c + eZ + е ÇC + О(е )
с з (1.6)
p - po - Pgb + epi + e pc + О(e )
Подстановка этих соотношений в систему (1.1), (1.2) даст искомые уравнения для неизвестных функций в соответствующем порядке теории возмущений. Выражения (1.6) дают представление решения в системе отсчета, движущейся со скоростью о.
2. Линейные волны. Система уравнений гидродинамики в первом порядке по малой крутизне волны имеет вид
Slq + П1Ь + Cic - 0
Sltt +2о^1 qt + °°%1qq - - p-1 p1q - £^1q + VAL(^1t +
Пш + CоП 1 qt + °2П1 qq - - P^p1b - 1 b + VAL(^1t + (21)
Z1tt +2оС1 qt + °2 Z1 qq - - p-1 p1c - 841c + VAL(Z1t +
A Э2 Э2 Э2 A L - —с + —с + ~
dq db dc
Граничные условия для нее на свободной поверхности запишутся следующим образом:
П 1 tq + оП1 qq + ^ 1 tb + ^1qb -0; Ь -0
n 1tc + оП 1 qc + Z1 tb + о^ь -о (2.2)
- p1 + CVP(n 1tb + оП 1 qb) - T(n1 qq + ^1cc)
Будем искать решение методом разделения переменных, полагая
Ъ>1 = Re[ A (b) cos mcexp (ikq + nt)], n1 = Re[ B (b) cos mcexp (ikq + nt)]
(2.3)
Z1 = Re[ C (b) sin mc exp (ikq + nt)], p1 = Re [ H( b) cos mcexp (ikq + nt)] Проводя несложные алгебраические выкладки, придем к уравнению для функции A
AIV-
'„,,2 2Ч n + ik o' 2(k + m ) + —vv—
A" + (k2 + m2 )[k2 + m2 + п±М) A = 0
Полагая А = ехр 1Ь, получим для I биквадратное уравнение, решением которого будут соотношения
/ т2ч т 2 2 т. ,2 / т2 \ т 2 2 п + ¿кО * т2
(I )1 = к + т = М ; (I )2 = к + т + —^— = N
Волновые возмущения должны спадать по мере погружения вглубь (при Ь ^ -«>), поэтому функцию А следует выбрать в таком виде
А = аеМь + рет, М, ЯеN > 0 (2.4)
В решении (2.4) присутствуют два пространственных масштаба спадания волновых возмущений М-1 и (Яе
Выражения для функций В, С, Н находятся из системы (2.1)
п 1М мъ о т „ т мь п nъ сч
В = -— ае + Ъе , С = — а е + Яе (2.5)
кк
Н = 1-Р[(п + ¿ко)2 + gМ]аeМъ - pgЪeNЪ (2.6) к
Здесь а, в, Ъ, Я - комплексные постоянные, удовлетворяющие условию
-кв + NЪ + тЯ = 0 (2.7)
которое следует из уравнения неразрывности (1.1). Для определения их конкретного вида подставим выражения (2.3)-(2.5) в граничные условия (2.2). В итоге, в дополнение к условию (2.7) получим еще три уравнения для определения четырех неизвестных
2 Ма + -кЪ + N в = 0; Щ— а - тЪ + NЯ = 0 (2.8)
к
- [(п + -к о)2 + 2п + -к о) М2 + gМ + р-1 ТМЪ ] а -
к (2.9)
- (g + 2 у( п + ¿к о) N + р-1ТМ2 )Ъ = 0
Условие совместности системы (2.7)-(2.9) запишется так:
(п + -к О + 2 V М2 )2 + (gМ + р-1ТМ3) = 4 V2 М3 N (2.10)
Вводя следующие обозначения, приведем выражение (2.10) к уравнению
2 -1 3 V М2 9
ю = gМ + р1 ТМ, ^ = 9, п + ¿к о + 2 V М =
ю (2.11)
2 2 3 (/ + 1) = 1693 (5 - 9)
Оно совпадает с уравнением для плоских поверхностных волн в вязкой жидкости, только роль волнового числа в двумерной волне теперь играет величина полного вол-
нового числа M = Jk2 + m2, где k - продольное волновое число, a m - поперечное (пространственный период модуляции). Значение m = 0 отвечает плоской волне. Из четырех корней уравнения (2.11) только два удовлетворяют условию ReN > 0. Действительная часть корня определяет значение n, а мнимая величину о. При выбранных значениях ю, k и m (заданной 0) по известному решению уравнения (2.11) s вычисляются значения декремента затухания волны n и величина о.
Постоянные в, 5,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.