МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. Р.И. НЕПЕРШИН
ПРОТАЛКИВАНИЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ ЧЕРЕЗ КРИВОЛИНЕЙНЫЙ КАНАЛ МАТРИЦЫ
Разработана модель проталкивания жесткопластической полосы через криволинейный канал матрицы с учетом упрочнения материала, зазора между полосой и каналом матрицы и контактного трения. Приведены примеры расчета проталкивания полосы для каналов различной формы. Модель имитирует технологические процессы изгиба тонкой полосы проталкиванием через криволинейный канал матрицы.
1. Введение. Технологические процессы изгиба листовых заготовок и профилей с различной формой поперечного сечения широко применяются в машиностроении для изготовления оболочек и деталей сложной формы [1, 2]. Большинство процессов основано на схеме поперечного изгиба заготовки при поступательном или вращательном движении кругового инструмента. При этом для уменьшения "пружинения" при упругой разгрузке применяют значительное натяжение заготовки, приближающее напряженное состояние к безмоментному, что обычно требует применения сложного специального оборудования и инструмента. Кроме того, при большом натяжении тонкого листа возникает опасность локализации деформации по толщине, приводящая к разрыву материала.
Технологические процессы изгиба проталкиванием основаны на приложении осевой сжимающей силы на конце прямолинейной части заготовки, которая при движении через канал матрицы принимает заданную форму [2]. Для материалов с низким пределом текучести этим методом можно получать круто изогнутые детали с переменным радиусом кривизны. Форму канала матрицы можно корректировать с учетом изменения радиуса кривизны при упругой разгрузке.
Локальная и глобальная устойчивость заготовки прямоугольного поперечного сечения в виде полосы обеспечивается кинематическими ограничениями стенок канала матрицы и прямолинейной направляющей части канала при малом зазоре. При изгибе трубных заготовок круглого или прямоугольного поперечного сечения минимальный радиус кривизны и сила проталкивания ограничиваются локальной потерей устойчивости тонких стенок [3-5]. На практике для исключения этого дефекта применяют различные наполнители полости трубы, создающие внутреннее давление, которое препятствует образованию складок [6].
Вследствие сложности деформации заготовки при проталкивании через криволинейный канал матрицы расчеты этого процесса практически отсутствуют за исключением проталкивания полосы через круговую матрицу с односторонним кинематическим ограничением, в котором сила проталкивания принимается равной отношению изгибающего момента к радиусу кривизны полосы [2].
Ниже приведена модель проталкивания жесткопластической полосы через криволинейный канал матрицы с учетом зазора между полосой и каналом матрицы и контактного трения по Кулону. Ширину полосы примем достаточно большой по сравнению с толщиной и искажение формы поперечного сечения не учитываем. При изгибе проталкиванием обычно используются пластичные материалы с низким пределом те-
кучести при малых радиусах кривизны. Поэтому малые упругие деформации в средней части толщины заготовки не учитываем и используем модель упрочняющегося жесткопластического тела.
2. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрен процесс проталкивания полосы длиной Ь0 нормальной осевой силой Р через криволинейный канал матрицы с зазором г между полосой и каналом матрицы в сечениях по нормали к границам канала (фиг. 1). Ширину полосы примем достаточно большой по сравнению с толщиной, и искажением формы поперечного сечения полосы при изгибе пренебрегаем. Толщину полосы примем малой по сравнению с длиной, используя гипотезу плоских сечений для расчета распределения деформаций растяжения-сжатия по толщине полосы.
Толщиной упругого слоя в полосе пренебрегаем. Материал полосы примем жестко-пластическим с упрочнением по степенному закону. Толщина полосы является характерной длиной (к = 1), предел текучести материала заготовки - характерным напряжением (о5 = 1). На границах контакта полосы с каналом матрицы учитываем силы трения по закону Кулона с коэффициентом трения f.
Безразмерная сила проталкивания Р = 1 соответствует предельному значению, при котором прямолинейная часть полосы на входе в канал матрицы нагружена по всему сечению сжимающим напряжением -о5 до пластического состояния. При Р > 1 происходит осевое пластическое сжатие материала полосы с заполнением зазора и образованием тонкого пластического слоя между жесткими границами канала матрицы. Силы трения, действующие на границах пластического слоя, приводят к большим силам проталкивания. Этот случай не представляет практического интереса для технологии изгиба проталкиванием. В настоящей работе моделируется процесс проталкивания полосы при условии Р < 1.
На длине а канал матрицы имеет горизонтальный направляющий отрезок для полосы (фиг. 1). Вследствие зазора г между полосой и каналом матрицы прямолинейная часть полосы длиной Ь + 11 на входе в канал матрицы наклонена под углом а! к оси х. В точках контакта А и В возникают реакции ЯА и ЯВ, создающие пластический шарнир в точке А1. Полоса на отрезке А1,01 длиной 13 прижимается к нижней границе канала матрицы, на которой возникает реакция в виде распределенного давления q и распределенной силы трения fq. На этом отрезке полоса находится в пластическом состоянии при действии изгибающего момента М, нормальной N и поперечной Q сил в сечениях, нормальных к средней линии полосы с радиусом кривизны Я.
На длине 12 переднего конца полосы изгибающий момент меньше предельного значения. Этот отрезок полосы остается жестким и прямолинейным с углом наклона а2. Реакции Яс и ЯО в точках контакта С и О создают изгибающий момент с пластическим шарниром в точке О1.
При начальном перемещении полосы, равном 11ео8а1, сила проталкивания равна нулю. Затем сила проталкивания возрастает при сложной контактной упругопластиче-ской деформации переднего конца полосы. Для принятой модели жесткопластиче-ской полосы начальный пластический шарнир образуется при совпадении точек контакта А1 и О1 на нижней границе канала матрицы при перемещении полосы = 12. Длина а прямолинейного отрезка канала матрицы должна обеспечить продольную устойчивость полосы на входе в канал матрицы по критической силе Эйлера при длине свободного конца Ь = Ь0 - (11 + 12 + 13). При большом перемещении полосы ^ = 12 + 13 и большой длине а проталкиваемый конец полосы входит в прямолинейный канал матрицы. Точки контакта А и А1 сближаются, длина 11 уменьшается, и реакции ЯА и Яв возрастают.
Вследствие кинематических ограничений перемещения полосы границами канала матрицы задачу моделирования проталкивания жесткопластической полосы разделим на два этапа. На первом этапе определим форму полосы в зависимости от перемещения ^ проталкиваемого конца из условия контакта полосы с границами канала матрицы. На втором этапе определим реакции в точках контакта, распределение контактного давления на криволинейном отрезке 13 и силу проталкивания Р из условий статического равновесия полосы. При составлении уравнений равновесия сжимающую нормальную силу N примем положительной.
Обозначим через £ координату нейтральной линии по нормали к средней линии полосы с радиусом кривизны Я на криволинейной отрезке 13. Распределение нормальных деформаций по толщине полосы на этом отрезке определяется уравнением
£ = Х(С - £), X = 1/Я, -1/2 <С< +1/2 (2.1)
где X - кривизна средней линии полосы. Примем степенную зависимость нормального напряжения о от модуля деформации |е|:
о = ±1 + С £" (2.2)
где знак "+" относится к растяжению при £ > 0 и знак "-" относится к сжатию при е < 0; С и п - безразмерные постоянные материала.
Выражения для момента М и нормальной силы N в зависимости от £ при заданных параметрах упрочнения С и п находим интегрированием распределения о по толщине полосы
___n + 2 _ n + 2 ^ /_ n + 1 _ n +1
M = 4-£2 + Cx ...... "" "
n +2 n + 2 n +1 n + 1
П1 + П2 + SCn 1 - П2 )'
n+2 n+1
(2.3)
ЛГ С пг п +1 п + 1-.
N = 2£---X [Л, -П2 ]
ъ п + 1А 1 2 (2.4)
П1 = 1/2-П2 = 1/2 + £
Уравнения равновесия криволинейного элемента полосы длиной й1 на отрезке 13 приводят к следующим дифференциальным соотношениям вдоль средней линии полосы
йМ/й\ = Q, dN/dl = хй - , ¿0/= д - хN (2.5)
3. Форма канала матрицы и полосы. Канал матрицы состоит из прямолинейного направляющего отрезка длиной а и криволинейного отрезка. Криволинейную форму
канала матрицы задаем в виде окружности, эллипса, логарифмической спирали и эвольвенты окружности.
3.1. Канал матрицы. Нижнюю криволинейную границу канала матрицы с радиусом кривизны R0 в точке сопряжения с прямолинейным участком задаем следующими параметрическими уравнениями: окружность:
х = a + R 0 sin 9, у = R0 (1 — cos 9), 9> 0 (3.1)
эллипс с отношением длин полуосей c = ajb^, параллельных координатным осям х и у: х = a + a0sin9, у = b0( 1 - cos9), 9> 0
2
(3.2)
a0 = R0/c, b0 = R0/c
логарифмическая спираль с угловым параметром ß > п/2, k = ctg ß и центром точке x0, y0:
a + p0sin (ß - п/2), y0 = p0cos (ß - п/2), p0V (1 + к2)
Rn
x = x0 + p(9) cos 9, y = y0 + p(9) sin 9 p(0) = P0exp[к(ß + 9)], 9 > -ß
(3.3)
(3.4)
(3.5)
эвольвента окружности радиуса г с центром в точке х0 = а + г, у0 = R0 и угловым параметром в = R0/г - п:
x = a + r (1 + cos y + 9 sin у), y = R0 + r (9 cos y -sin y) Y = 9 - ß, 0 < 9 < R0/r
(3.6)
Радиус кривизны R1 нижней границы канала матрицы и угол ф наклона касательной к этой границе с осью х определяются следующими соотношениями: окружность:
Ri = R0, Ф = 9
эллипс:
Ri = a0b0
( cos 9
sin 9 Л 2+ ______
a0 ) V b
00 логарифмическая спираль
3/2
ctg ф = tg 9
R
V(1 + к2)p(9), Ф = ß + 9
эвольвента окружности: R1 = r9, ф = (R0/r) - 9
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Уравнения верхней границы канала матрицы определим по приведенным уравнениям нижней границы канала смещением на расстояние 1 + z к центру кривизны по нормали к нижней границе
x1 = x - (1 + z) sinф, yx = y + (1+ z)cosф (3.11)
где нижним индексом единица обозначены координаты верхней границы канала матрицы, вычисляемые по координатам x,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.