ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 1, с. 118-124
УДК 536.24
ПРОЦЕСС ПЕРЕНОСА ТЕПЛА ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИЕЙ В КВАДРАТНОЙ ПОЛОСТИ, ТЕМПЕРАТУРА ОДНОЙ ИЗ СТЕНОК КОТОРОЙ ИЗМЕНЯЕТСЯ ПО СИНУСОИДАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
© 2004 г. П. Т. Зубков, М. В. Канашина, Е. В. Калабин
Тюменский государственный университет Поступила в редакцию 26.07.2003 г.
Численно исследована нестационарная естественная конвекция в квадратной полости, расположенной под углом а (0-90°) к горизонту. Одна из сторон полости поддерживалась при постоянной температуре, другая, противоположная первой - при изменяющейся по синусоидальному закону температуре, в среднем за период меньшей, чем сторона с постоянной температурой. Две другие стороны полости полагались адиабатическими. Численные решения получены при значениях числа Грас-гоффа 5 х 105, числа Прандтля, равном единице, в широком диапазоне изменения частоты колебаний температуры одной из стенок квадратной полости. Результаты получены методом контрольного объема на основе алгоритма SIMPLER [1].
Постановка задачи. Рассмотрим квадратную полость, заполненную жидкостью и находящуюся в поле силы тяжести (рис. 1).
Температура на границе х = 0 изменяется по синусоидальному закону, и, что существенно для рассматриваемого случая, в течение части периода, меньшей его половины, температура более холодной в среднем стенки превышает температуру более горячей стороны (рис. 2). В течение этой части периода при угле наклона а > 0 жидкость в полости стратифицирована так, что способствует переносу тепла в положительном направлении оси х как за счет конвекции, так и за счет теплопроводности. Причем количество тепла будет тем больше, чем больше число Грасгоф-фа. В течение оставшейся части периода, когда температура более холодной в среднем стенки становится меньше температуры противоположной стороны, стратификация приводит к уменьшению конвективного потока и тепло начинает передаваться в отрицательном направлении оси х главным образом за счет теплопроводности. Следовательно, суммарно за период тепловой поток в положительном направлении оси х может превышать величину д в отрицательном направлении, т.е. под влиянием конвективного течения будет осуществляться перенос тепла от более холодной в среднем за период стенки к более теплой.
Двухмерную систему нестационарных уравнений движения, неразрывности и энергии запишем в приближении Буссинеска для постоянных свойств жидкости:
д u du du
роэ7 + р0 u дХ +^ ду _
д Р
_ - ^ + |Au - ро g [ 1- Р( Т - То)] sin а,
дv дv д v
ро"э7 + роu д-Х + роv =
дР
= -5- + |Av - Pоg [ 1- Р( Т - То)] cos а, д У
д u + д v _ о д x ду
(1)
(2)
(3)
дТ дТ
дТ
Ро с + Роси дх + Ро с у ду = . (4)
Граничные условия для системы уравнений (1)-(4) зададим в следующем виде:
х = 0: Т = Тс + Т ^п т,
х = Ь: Т = Тн,
п д Т а а (5)
у = 0: тт— = 0, и = ^ = 0,
ду
у = Ь: дТ = 0, и = ^ = 0,
ду
где Ь - сторона квадратной полости.
В качестве начальных условий примем температуру Ть и нулевые скорости и = 0, V = 0.
дТ/ду = 0
Т = Tc + Tjsinrat
дТ/ду = 0
Т Th
Tc
Рис. 1. Изучаемая область и граничные условия.
А '
/ Ti
2 л// ч T = Tc + T1sin(rnt)
Для удобства численного интегрирования используем характерные для системы параметры
Ц
v хаР n Т ' р0 L
т =
^хар
т 2
РоL
Рхар = р0V:
x
хар> ^хар
Ц
= L, Ухар = L.
Введем параметр f =
т 2
со(Р0тТ Ц
. Тогда в безраз-
мерном виде аргумент в граничном условии для температуры будет иметь вид fe, где т - безразмерное время.
Таким образом, в безразмерных переменных
V - х v - У Ь_ р + Роg(*sinа + Уcos а) X - —> Y - —> р - -ñ-'
X™ Ухар р1
*хар
хар
*хар 0 =
TJ u лт V
т = —, U = -, V = -,
Ттар V хар V хар
T - 0.5 ( T h + Tc )
Т h- T С
система уравнений (1)-(4) с граничными условиями (5) запишется как
д U ттди ,.ди д P Атт
т— + Ut— + V т— = - — + A U + Gr 0 sin а,
дт дХ д Y дХ
дV гтдV т.дV дP AT, „ 0
+ U-T- + V тг- = + A V + Gr 0 cos а, дт дХ д Y д Y
дU дV п дХ + 3V = 0'
д0 д0 д0 1 д0 + U дХ + V ЗУ = ЁГA0'
X = 0: U = V =0, 0 = -0.5 +
T i
(6)
Th - T
sin
X =1: U = V =0, 0 = 0.5,
Рис. 2. Граничные условия для температуры при x = 0 и x = 1.
Y = 0: U = V = д0 = 0,
д Y
Y =1: U = V = д0 = 0.
д Y
Начальные условия будут иметь вид
т = 0, U = V = 0,
P = 0.5 Gr (sin аХ + cos а Y) + const, 0 = 0.5.
В системе уравнений (6)-(7) используются следующие безразмерные параметры:
(7)
число Грасгоффа Gr =
gp(Th - Tc)L3р0
число Прандтля Pr
Ц
= СЦ
= Т'
частота f =
2
юр0 L
Ц
и амплитуда £ =
T1
T h - Tc
Так как в данной работе рассматривается периодический процесс, возникающий вдали от начального момента времени, то задача относится к классу задач без начальных условий [2], т.е. решение будет исследоваться в общем случае, не зависящем от начальных условий.
Численная реализация. Все расчеты проводились методом контрольного объема с помощью алгоритма SIMPLER [1] на сетке 52 х 52.
Шаг по времени выбирался таким образом, чтобы на период колебаний приходилось 20000 шагов, например, для частоты f = 100п шаг по времени составлял At = 106.
у
t
Чср 10
/ = 100п
20
40
60
80 а
Рис. 3. Зависимость § ср от угла при частотах f = 0 и / = 100п.
Чт
40
-40
/ = 0 / = Шп
/ = 400п
1 \ / = 10Л\/ 1111
-80
0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80
г
Рис. 4. Зависимость §г от времени при а = 0 иf = 0, 10, 100, 400п.
0
Для получения решения, не зависящего от начальных условий, требовалось для большинства расчетов не менее десяти периодов колебаний граничных условий при X = 0.
Результаты расчетов. Данная задача решалась при Рг = 1, вг = 5 х 105, 8 = 5 и углах наклона 0 < а < < 90° в широком диапазоне изменения безразмерной частоты 0 < f < 1000п.
Отметим, что теплообмен естественной конвекцией в прямоугольной области при периодически изменяющихся во времени граничных условиях исследовался в работах [3-6], когда а = 0 и температура горячей стенки изменялись по синусоидальному закону в довольно узком диапазоне изменения частоты колебаний.
В нашей работе рассмотрим случай, когда температура стенки при X = 0 меняется периодически, причем в среднем за период ее температура ниже постоянной температуры стенки для X = 1. Однако в течение части периода температура стенки при X = 0 будет превышать температуру стенки для X = 1.
Проанализируем представленную на рис. 3 зависимость
§ ср =
2 п ^ 1
-И
о_о_
эе эх
с1Уйх
X = 1
2 п / f
200
100
-100
-200
/ = 100п / = 0
/ = 10п / = 400п
от угла наклона а при f = 100п. На этом же рисунке для сравнения приведем зависимость теплового потока через рассматриваемую квадратную полость при f = 0, т.е. для постоянных во времени граничных условий. Из представленных резуль-
0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80
г
Рис. 5. Зависимость § 1 от времени при а = 0 и f = 0, 10, 100, 400п.
тат ов видно, чт о в случае f = 0 максимальный тепловой поток через ячейку, направленный справа налево, составляет 7.428 при а = 0. С увеличением угла а тепловой поток справа налево увеличивается (хотя по абсолютной величине уменьшается) и, как следует ожидать, становится равным единице при а = 90°. Существенно иное поведение среднего теплового потока через полость наблюдается, если f = 100п. Во-первых, при а = 0 тепло-
0
20
-20
- \ / = 100п
\ / = 400п
\ / / = 0
1 / = 10п --/ 1111
200
100
100
-200
-/ = 100п
/ = 0 / = 10п
-/ = 400п
0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80
г
0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.80
г
Рис. 6. Зависимость § от времени при а = 45° и/ = 0, 10, 100, 400п.
Рис. 7. Зависимость § 1 от времени при а = 45° и / = 0, 10, 100, 400п.
А 12
Г ' 1 -I- 1 ' -I1 ' ' -I ' ' 1
400 800 1200 1600 2000
ю
А 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
1000
2000
3000 ю
ч
0
0
8
4
0
Рис. 8. Собственные частоты §г при а = 0 и f = 100п. Рис. 9. Собственные частоты §г при а = 45° иf = 100п.
вой поток через ячейку, направленный справа налево, существенно возрастает и составляет 12.4619. Во-вторых, при а = 18° тепловой поток становится равным в среднем нулю за период, а при дальнейшем увеличении угла тепловой поток направлен слева направо, причем максимальное значение, равное 6.87, достигается, когда а = 45°.
Чтобы детально проанализировать поведение теплового потока через рассматриваемую область, рассмотрим зависимости
1 1
§ г = - [ ^ йУ, § 1 = - [ йУ
X =1 ^ [ъх X = 0
при а = 0 для различных частот при X = 1 и X = 0, представленные на рис. 4 и 5.
Как видно из этих рисунков, амплитуда колебаний теплового потока с ростом частоты в случае X = 1 уменьшается, а при X = 0 - увеличивается. Отметим, что аналогичное поведение теплового потока будет наблюдаться в задачах, где процесс переноса тепла осуществляется только теплопроводностью, т.е. без конвекции [2].
На рис. 6 и рис. 7 приведены распределения § г и § 1, если угол наклона квадратной полости равен 45°. Из этих рисунков следует, что при f = 10п число §г в течение периода меняет свой знак, т.е.
Чср
-7.428
-10
-12
-14
0 200 400 600 800 1000
//п
Чср
8 г
4 -
0
-2.61205
0
200 400 600 800 1000
//п
Рис. 10. Зависимость § ср от частоты f при а = 0.
Рис. 11. Зависимость § ср от частоты f при а = 45°.
тепловой поток при X = 1 направлен то слева направо, то справа налево. Когда f = 100п и f = 400п, в течение периода тепловой поток всегда направлен слева направо при X = 1, причем при f = 400п становится практически постоянным, меняясь в пределах 10 процентов. Таким образом, можно заключить, что в случае больших частот рассмат-
риваемая область ведет себя при а = 45° как тепловой диод или как полупроводник при X = 1.
Приведенные на рис. 8 и рис. 9 данные для собственных частот §г при а = 0, 45° и f = 100п показывают, что, когда а = 0, существенными наряду с первой частотой являются вторая, третья и четвертая частоты. Причем при а = 0 третья собст-
Рис. 12. Последовательные распределения функции тока при f = 100п, а = 45°.
венная частота переносит энергию большую, чем вторая. При а = 45° значимыми оказываются собственные частоты вплоть до седьмой и распределение энергии убывает с ростом собственных частот.
На рис. 10 и рис. 11 представлены зависимос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.