ПРОВОДИМОСТЬ КОНЕЧНЫХ СИСТЕМ И СКЕЙЛИНГ В ТЕОРИИ ЛОКАЛИЗАЦИИ
И. М. Суслов*
Институт физических проблем им. П. Л. Капицы. Российской академии паук
1193:Ц, Москва, Россия
Поступила в редакцию 17 февраля 2012 г.
Полная проводимость (кондактанс) конечной системы играет центральную роль в скейлинговой теории локализации [1]. Обычно она определяется формулами Ландауэра, в которых остаются непроясненными вопросы: а) об исключении контактного сопротивления в многоканальном случае; б) о соответствии ландауэровской проводимости внутренним свойствам системы; в) о связи с коэффициентом диффузии бесконечной системы. Ответ на эти вопросы получен ниже в рамках двух подходов: (1) самосогласованной теории локализации Вольхардта-Вольфле и (2) квантовомеханического анализа, основанного на модели оболочек. Оба подхода приводят к одинаковому определению проводимости конечной системы, тесно связанному с определением Таулеса. В рамках самосогласованной теории получены соотношения конечно-размерного скейлинга и вычислены функции Гелл-Манна-Лоу В(у) для размерностей пространства (I = 1, 2. 3. В отличие от ранних попыток такого рода [24], металлическая и локализованная фазы рассматриваются единым образом, так что кондактанс конечной системы не имеет сингулярности в критической точке. В двумерном случае разложение В(у) по 1 /у согласуется с результатами ст-моделей в двухпетлевом приближении и зависит от ренормировочной схемы в высших петлях; использование же размерной регуляризации для перехода к й = 2 + с, по-видимому, несовместимо с физической сутью проблемы. Проведено сопоставление с результатами численного моделирования и физическим экспериментом. Обсуждаются условия наблюдения локализационного закона <г(и;) ос —га; для проводимости и ситуация в высших размерностях.
1. ВВЕДЕНИЕ
-L—►
Скойлинговая теория локализации, предложенная в работе [1], основана на рассмотрении так называемого параметра Таулеса
Е_ А ь{
9L =
Jl_ WL
Gl
e2/h/
(1)
WL{-
равного полной проводимости (кондактансу) С4ь = и1- 2 кубического блока размера Ь (<т£ удельная проводимость, (1 размерность пространства) в единицах е2/Н, или отношению параметров и IVь эффективной модели Андерсона, получаемой при составлении бесконечной системы из блоков размера Ь (рис. 1). Эквивалентность двух представлений следует из оценки интегралов перекрытия ~ Н/то через диффузионное время то = ^/Бр, оценки \¥ь как расстояния между уровнями в блоках,
E-mail: suslovä'kapitza.ras.ru
Рис.1. Скейлинговое построение Таулеса. Бесконечная система составляется из блоков размера Ь\ если в каждом блоке сохранить лишь один уровень, ближайший к рассматриваемой энергии Е, то возникает эффективная модель Андерсона с интегралом перекрытия .1ь и разбросом уровней Игь
^■ь ~ ^¡Ур^'1-. и использования соотношения Эйнштейна <т£ = е2ррОь между проводимостью <т£ и коэффициентом диффузии Ор (рр плотность состояний на уровне Ферми).
Основной интерес представляет поведение параметра Таулеса дь при увеличении L: если дь ос, то система находится в металлической фазе (гибридизация «блочных» собственных функций происходит с практически равными весами), если gi 0, то система является аидерсоповским диэлектриком (гибридизация блочных собственных функций практически не происходит, и они остаются локализованными в пределах блоков). Поскольку блок размера nL может быть получен из nd блоков размера L, величина дпь является функцией gL, т. е. gnL = F(gi,n), что при п —¥ 1 может быть записано в дифференциальной форме
ding
Т
(2)
(1 In L
т.е. в виде уравнения Гелл-Манна Лоу [2]. Асим птотики /?-фу нкции,
ß(9) =
d — 2, Ь д,
.9» 1, .9« 1,
(3)
получаются из очевидного поведения кондактан-са в металле, Gl = и в диэлектрике
Gl ос ехр{ — const-L}. Функция ß(g) при d < 2 всюду-отрицательна, что соответствует локализации всех состояний. При (1 > 2 она имеет корень дс, соответствующий точке перехода Андерсона, со степенным поведением проводимости а ос тя в зависимости от расстояния до перехода т.
Успех качественных соображений работы [1] стимулировал попытки придать им количественную форму. Вопрос о проводимости конечной системы стал предметом оживленной дискуссии [3 14] (см. обзор [15]), результатом которой явилось утверждение ландауэровского подхода [5, 12] как правильного способа описания. Этот подход сводит кинетическую задачу о проводимости к квантовомеханиче-ской задаче рассеяния.
Формула Ландауэра для строго одномерного (од-ноканалыгого) проводника следует из простых соображений. Если на рассматриваемую систему слева падает единичный поток электронов (рис. 2а), то он проходит направо с вероятностью Т (Т коэффициент прохождения) и отражается с вероятностью R = 1 — Т. Ток через систему пропорционален Г, тогда как разность химических потенциалов определяется разностью плотности электронов слева (1 + R) и справа (Г), т. е. 1 + R — T = 2(1 —Т). Поэтому проводимость системы по Ландауэру пропорциональна Т/( 1 — Г), что с учетом коэффициента дает [5]
е2 Т
/П _ 1
"Land — т;—Г
2?ГИ 1 - Т
(4)
R
шш-
Ues
Резервуар ч 1
Образец
Резервуар
Идеальный проводник
ЯШ ::Ш1 ^ ^^ |
rij >
Рис.2, а) К формуле Ландауэра (4); б) различие между формулами (4) и (5) связано с тем, что напряжение 1тея измеряется между двумя резервуарами, а напряжение 1тьап,1 — между идеальными проводниками; о) многоканальная матрица рассеяния
Несколько отличный результат был получен Эконому и Сукулисом [6] из теории линейного отклика:
Ge.S = тгтТ-2тг п
(5)
Дальнейшие исследования показали [12, 15], что формула (4) соответствует четырехконтактной, а формула (5) двухконтактной схеме измерений (рис. 26): различие между ними соответствует контактному сопротивлению 2ттН/в2 между резервуаром и идеальным проводником:
1
1
Gband Ge.S
2тг Н
_2 '
(6)
Переход от одномерного образца к (/-мерному требует рассмотрения многоканального случая, который описывается матрицей рассеяния, показанной на рис. 2в: плоская волна единичной амплитуды, поступающая в канал г, дает в канале j прошедшую
Рис.3. При строго квантовомеханическом описании конечная система имеет в статическом пределе нулевую проводимость (в) и нулевое сопротивление (б)
волну с амплитудой ¿у и отраженную волну с амплитудой г у. Многоканальный аналог формулы (5) имеет вид [3, 7, 11, 15]
и
Вычитание контактного сопротивления резервуара по схеме (6) на численном уровне [16] согласуется с определением Таулеса [17], связывающего проводимость с реакцией па граничные условия1^. Однако многоканальные обобщения формулы (4) оказались неоднозначными [3, 8, 11, 13], и вопрос о правильном учете контактного сопротивления остается открытым.
Из сказанного выше ускользает тот факт, что проводимость конечной системы является плохо определенной величиной. При строго квантовомеханическом описании конечная система имеет дискретный спектр и основное состояние соответствует заполнению электронами нижних уровней (рис. 3а)2К Если основное состояние является бестоковым, то конечная проводимость Стр может быть связана лишь с переходами в возбужденные состояния, которые отделены от основного конечной щелыо Д; в
Определение Таулеса лежит в основе эквивалентности двух представлении в (1). Параметр ,/£, можно оценить как ширину зоны, в которую превращается уровень при периодическом повторении блока размера Ь: она определяется сдвигом уровня при переходе от периодических условии к аити-иериодическим. Определение Таулеса физически вполне удовлетворительно, но требует анализа функции распределения [17], и его трудно сформулировать в терминах усредненных величин; поэтому оно почти не используется в аналитической теории.
Для простоты ограничиваемся невзаимодействующими электронами в случайном потенциале и рассматриваем одну проекцию сшша.
а
Е
V
Рис.4. Уровни дискретного спектра (а) приобретают ширину 7 из-за конечного времени жизни (б). Если предел Ь —э- ос берется до предела 7 —э- 0, то уширенные уровни сильно перекрываются и образуют непрерывную плотность состояний (о)
пределе нулевой частоты и; такие переходы отсутствуют и
КоС£(и;) = 01 и^О. (8)
Любопытно, что в геометрии Ааронова Бома (рис. 3б) основное состояние является токовым, если магнитный поток ф, проходящий через кольцеобразный проводник, не равен целому или полуцелому числу квантов ф0 = Нс/е [14]; через систему протекает незатухающий ток при отсутствии напряжения, так что сопротивление Яр также обращается в нуль,
Лг Пр(и)) -¥ 0, и^О (9)
(противоречия с формулой (8) нет ввиду наличия 1п1 Ср (и;)).
Указанная проблема хорошо известна. Так, формулы теории линейного отклика снабжены предписанием, что входящие в них ¿-функции должны быть уширены на величину 7, после чего берется термодинамический предел Ь ос и лишь затем предел 7 0. Фактически для уровней дискретного спектра вводится затухание 7, в результате чего возникает непрерывная плотность состояний (рис. 4). Для конечной системы указанная процедура становится невозможной и затухание 7 должно оставаться конечным. Возникает вопрос о способе введения такого затухания и о его зависимости от параметров.
Попытки изучения этого вопроса предпринимались в работах [18 21], основанных на «модели обо-
.почек», разработанной в ядерной физике для описания взаимодействия дискретного спектра «мишени» с континуальным спектром рассеиваемых частиц [22]. К сожалению, в этих работах на ранней стадии вводился формализм «т-моделей, что сильно затемняло физику вопроса. Кроме того, затравочный коэффициент диффузии считался заданной константой, тогда как он сам зависит от степени открытости системы.
При выводе формул Ландауэра из теории линейного отклика [6 8,15] указанная проблема обходится следующим образом: считается, что к изучаемой системе присоединены контакты из идеального проводника, которые могут быть сделаны достаточно массивными; тогда спектр системы становится квазинепрерывным и затухание 7 можно устремить к пулю. Таким образом, ландауэровская проводимость относится не к изучаемой системе, а к составной системе «образец^подводящие провода». Это отчетливо проявляется
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.