ПРОЯВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА В ПРОЦЕССАХ СПИН-СПИНОВОЙ РЕЛАКСАЦИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
В. Л. Боднева, А. А. Лундин*
Институт химической физики им. Н. Н. Семёнова Российской академии паук
117977, Москва, Россия
Поступила в редакцию 22 января 2013 1".
На основе развитой теории проанализированы результаты нескольких экспериментов, посвященных исследованию динамики парамагнитных спиновых систем. Показано, что асимптотики временных корреляционных функций различного (высокого) порядка взаимно подобны и имеют весьма характерный вид [18], что, вероятно, свидетельствует о «забывании» начальных условий вследствие развития неустойчивости по Ляпунову в динамической системе. Обнаруженные в предлагаемой работе существование экспонент с близкими показателями, описывающими затухание корреляций при экспериментальном наблюдении сигналов свободной прецессии ЯМР, и их нарастание в экспериментах по многоквантовому ЯМР являются проявлением упомянутой неустойчивости, поскольку показатели Ляпунова существуют парами. Полученные результаты позволяют предположить развитие «детерминированного хаоса» в рассматриваемых системах.
Б01: 10.7868/80044451013060220 1. ВВЕДЕНИЕ
Ядерные спиновые системы твердых диэлектриков, благодаря их существенной изолированности от решетки (всех остальных степеней свободы образца) и хорошо известному гамильтониану межъядерных спин-спиновых взаимодействий, представляют собой, как отмечалось еще Н. Бломбергеном «... великолепную лабораторию статистической физики». На общем фоне различных исследований в области неравновесной статистической механики, проводимых на парамагнитных спиновых системах, в связи с настоящей работой целесообразно выделить изучение процессов появления и разрастания корреляций между частицами в процессе релаксации соответствующей подсистемы образца к состоянию внутреннего равновесия.
Первые попытки теоретического исследования проблем подобного рода были предприняты еще в 60-х гг. Брюссельской школой II. Пригожина [1,2], однако лишь с возникновением и развитием многоквантовой (МК) ЯМР-спектроскопии появилась возможность исследовать эти процессы экспериментально [3 9]. В МК-спектроскопии, вследствие воз-
Е-таП: ат1у1ип'йоге .ш
действия па спиновую систему определенных последовательностей импульсов, возникают и развиваются состояния, называемые многоспиновыми (а в зависимости от условий эксперимента и многоквантовыми) когерентностями. Возникающие состояния описываются многочастичными временными корреляционными функциями (ВКФ) сложной структуры [3 5,10]. Отметим, что указанные когерентности и их динамика дают мощное, а часто и незаменимое, средство исследования поведения частиц в различных системах: их кластеризации, возникновения локальных структур, размещающихся, например, на поверхностях, в жидких кристаллах, в полостях на-норазмеров и т. п. [11 13]. Наконец укажем, что процессы возникновения и затухания многочастичных спиновых корреляций имеют первостепенную значимость для современных методов обработки квантовой информации и квантовых вычислений (см., например, работу [14]).
Если же отвлечься от прикладных аспектов МК-спектроскопии и вновь обратиться к статистической механике, то следует указать, что исследование процессов появления и разрастания корреляций в спиновой системе имеет существенное значение для прояснения роли так называемого динамического хаоса в многочастичной системе. Как известно [15 17], один из наиболее существенных вопросов в
13 ЖЭТФ, выи. б
1217
современной статистической механике ставится следующим образом: «является ли поведение многочастичной системы с сильным взаимодействием между частицами истинно хаотическим (в математическом смысле (см. обсуждение ниже))» или это «псевдохаотическое поведение», часто свойственное системам с бесконечным числом степеней свободы?
В настоящей работе на основе развитого нами ранее подхода [10] к описанию ВКФ парамагнитной ядерной спиновой системы рассматривается переход динамики спиновой системы к хаотическому режиму. Предложенная теория позволяет выявить одно из наиболее характерных проявлений хаотического режима взаимное подобие ВКФ [15 18]. Другое характерное проявление возникновения режима динамического хаоса, впервые отмеченное и обсуждаемое в предлагаемой работе, наблюдающееся экспериментально взаимное соответствие экспоненциально затухающей компоненты сигнала свободной прецессии (ССП) [19] и экспоненциального роста числа коррелированных спинов при развитии многоквантовых многоспиновых когерептиостей в условиях МК ЯМР [6,8], что также является проявлением динамической неустойчивости в подобных системах [15 18]. Именно благодаря этим неустойчивостям и развивается динамический хаос.
2. СПИНОВАЯ ДИНАМИКА, РЕЛАКСАЦИЯ И МНОГОСПИНОВЫЕ ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Секулярная часть межъядерных диполь-диполь-ных взаимодействий в неметаллических диамагнитных твердых телах, единственно ответственная за динамику спиновой системы, состоящей из легких ядер, например таких, как протоны или ядра 1ВГ, в условиях ЯМР, имеет вид [19]
н = ^ ( 2 bijS-.iS-.j-- Э, • 1 = Н?, + Нсг =
г>3 ■
= £ к;*-,*-,; - -А; {¿'+57 + 5Г5/)
г>3
= Н,,+Н//. (1)
В традиционных экспериментах, использующих магнитный резонанс, спиновая температура обычно существенно превосходит энергию зеемановского и других взаимодействий в спиновой системе. В связи с этим мы, как обычно, ограничимся исследованием ВКФ в высокотемпературном приближении.
Равновесная высокотемпературная матрица плотности в сильном постоянном магнитном поле Но имеет
вид
N
7ННо х -ро ос 1 + -р^- Ь^,
¿=1
где к постоянная Больцмана, 7 гиромагнитное отношение, Т температура и Лг полное число спинов в образце.
Приведем основные соотношения, которые понадобятся нам при дальнейшем рассмотрении. Как известно [19], ССП, возникающий после приложения к равновесной ядерной спиновой системе тг/2-импуль-са, пропорционален ВКФ, определяемой во вращающейся с ларморовской частотой системе координат соотношением
А0Ц) =
ЯР{.ч,(/).ч,} _ 8р{5+(05"}
5р{5|}
8р{5+5"}
ОО
в=0
2п 2п. ¡.у)
2 н\ ' Ы
Здесь Мп моменты, т. е. коэффициенты разложения в ряд ССП по степеням времени и, поскольку температура очень высока по сравнению с межъядерным диполь-дипольным взаимодействием, лишь моменты четного порядка отличны от нуля; Бх = Х;Г=1 Sxi суммарная .г-компонента спина системы, удовлетворяющая уравнению Гейзснберга
= ¿[Я, 5',] = И..\„
(3)
Ь оператор Лиувилля. В работе [20] было показано, что задача о вычислении ВКФ (2) полностью эквивалентна решению практически бесконечной (размерность порядка 1023) системы дифференциальных уравнений
АоМ = ¡^ Aj.it), Л(<) = г [4,(0 + у1А2Щ ,
(4)
Система уравнений (4) содержит ВКФ различных (высоких) порядков и отражает процесс перераспределения межспиновых корреляций по множеству многочастичных ВКФ. Начальные условия для системы (4):
Ло(0) = 1, Л,?(0) = 0, п > 1.
Функции многокоммутаторные (многочас-
тичные) ВКФ [16]:
••мл =
<г|ЗЛ*)>
НЮ
■¡-г
10 = ЩО) - £ |0) = |5,(0)).
к=О
(к\к)
Здесь, в соответствии с традицией, 1-я степень оператора Лиувилля представляет собой процедуру вычисления г коммутаторов:
и = [Н.[Н....[Н....}}}.
В приведенных выражениях угловые скобки означают вычисление статистического среднего, что, вследствие принятого высокотемпературного приближения, означает просто вычисление следа операторов [20]. Параметры свойства которых и определяют решение системы, однозначно связаны с моментами линии поглощения [201:
— & п—х Ю п, _)_ х /Ю определители, имеющие вид
Дл =
1
М1
Мг ... Мп А/*2 • • •
м„ м,
»+1
. м.
Для удобства читателя приведем выражения для нескольких первых коэффициентов:
£)_1=£)0 = 1, = М-2, 1)> = Л/2(Л/4—Л/|), Дз = (Л/4-Л/| )(Л/2Л/6-Л/|),
2
ул =
Мл - м?
М-2
1>о =
м2м6 - м|
(М4 - М|)М2
Здесь и далее без ограничения общности [21] (см. также замечание ниже по тексту) мы полагаем величину ядерного спина 5' = 1/2.
Для сопоставления теории с имеющимися экспериментальными результатами целесообразно использовать предложенную и обоснованную нами ранее [22 24] модель разделения локального магнитного поля, создаваемого межъядерным диполь-диполь-ным взаимодействием (1), на две составляющие.
Основное положение модели [22 24] состоит в том, что вследствие высокой (по сравнению с взаимодействием) температуры локальное поле, действующее на некоторый выделенный (любой) ядерный спин в кристалле, можно представить в виде суммы двух статистически независимых вкладов, имеющих принципиально различную природу по отношению к корреляциям, существующим в спиновой системе. Подчеркнем, что речь здесь идет исключительно о временных корреляциях; при этом корреляция поля, действующего на спин, с самим спином означает, что изменение ориентации выделенного спина влечет, с небольшим запаздыванием, изменение действующего на него поля. Такие корреляции в спиновой системе, означающие, что спин в известном смысле действует сам на себя, «подкручивая» соседа, осуществляются только благодаря наличию в гамильтониане (1) флип флоп-члена #// (или, при иной форме записи, скалярного члена /1( -Г). поскольку в противном случае, когда остается лишь взаимодействие Н- -, движение выделенного спина никак не влияет на действующее на него поле.
Действие слагаемого Я//, содержащегося в выражении (1), реализуется в спиновой системе в виде флип флоп-процессов, вероятность которых, в соответствии с результатами работ [22 24], быстро сходящаяся (пропорционально 1/г6) функция расстояния между разворачивающимися спинами. Спины, для которых вероятность флип флоп-процессов велика (относительно других спинов), движутся коррелированно с выделенным спином в указанном выше смысле. Число таких спинов однако не может быть слишком большим по причине быстрой сходимости в зависимости от расстояния вероятности флип флоп-процессов. Так, в монокристаллах флюорита СаГ-2 классического объекта для исследований спиновой динамики в ЯМР [19] радиус области, в которой осуществляется коррелированное движение спинов («самовоздействие» выделенного спина), для трех главных орие
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.