ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 7, с. 72-76
УДК 530.1
ПРОЯВЛЕНИЯ КВАНТОВОГО ХАОСА В АКСИАЛЬНОМ КАНАЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРОНОВ
© 2015 г. Н. Ф. Шульга1, В. В. Сыщенко2 *, А. И. Тарновский2, А. Ю. Исупов3
Институт теоретической физики им. А.И. Ахиезера (ННЦ ХФТИ), 61108Харьков, Украина 2Белгородский государственный национальный исследовательский университет,
308015 Белгород, Россия
3Лаборатория физики высоких энергий Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ),
Московская область, 141980Дубна, Россия *Е-таП: syshch@yandex.ru, syshch@bsu.edu.ru Поступила в редакцию 19.12.2014 г.
В работе исследованы статистические свойства уровней энергии электронов, совершающих финитное движение в системе цепочек [110] кристалла кремния, в области значений параметров, в которой в классическом пределе проявляется квантовый хаос. Полученные распределения межуровне-вых расстояний хорошо согласуются с предсказаниями теории квантового хаоса.
Ключевые слова: аксиальное каналирование электронов, квантовый хаос, кристалл кремния. БО1: 10.7868/80207352815070197
ВВЕДЕНИЕ
Проблематика квантового хаоса означает исследование отличий в поведении квантовых систем, обладающих в классическом пределе хаотической динамикой, с одной стороны, и регулярной динамикой, с другой [1]. Одним из самых простых для анализа проявлений квантового хаоса являются статистические свойства уровней энергии квантовой системы. Так, расстояние s между соседними уровнями энергии хаотической системы подчиняется распределению Вигнера [2]:
p(s) = (ns/2D2)exp(-rts 2/ 4D2), (1)
где D — среднее расстояние между соседними уровнями на рассматриваемом участке энергетического спектра системы, в то время как для систем с регулярной динамикой имеет место экспоненциальное (пуассоновское) распределение
p(s) = (1/ D)exp(-s/D) (2)
с максимумом при s = 0. Таким образом, в регулярных системах имеет место тенденция к группированию уровней энергии в оболочки, в хаотических системах уровни энергии проявляют тенденцию к взаимному отталкиванию. Поэтому проявления квантового хаоса наиболее заметны в квазиклассической области, где количество энергетических уровней велико.
Исследования квантового хаоса выполнялись в системах самой разной физической природы, от
частицы в двумерном биллиарде с зеркальными стенками [2] до возбужденных состояний атомных ядер, связанных с деформацией поверхности [3]. В настоящей работе исследуются статистические свойства уровней энергии быстрого электрона, движущегося в кристалле кремния в режиме аксиального каналирования в поле двух соседних цепочек [110]. Анализ классической динамики электрона в таком поле показывает возможность хаотического движения в широкой области значений параметров [4, 5].
МЕТОДИКА
Если релятивистская частица падает под малым углом у к плотно упакованной атомами кристаллографической оси, то возможна ситуация, когда она будет совершать финитное движение в поперечной (по отношению к оси) плоскости, называемое аксиальным каналированием [4, 5]. В этом случае движение частицы может быть описано как движение в непрерывном потенциале атомной цепочки, усредненном вдоль ее длины. В таком потенциале сохраняется компонента импульса частицы рц, параллельная оси цепочки, что позволяет описывать движение электрона в поперечной плоскости с помощью двумерного уравнения Шредингера
1Т¥(х, у, 0 = 1П— ¥(х, у, 0 (3)
д1
ПРОЯВЛЕНИЯ КВАНТОВОГО ХАОСА
73
с оператором Гамильтона
H = -
й2
д2 , 52
2Ej c2 ^dx2 ду2
U (x, у),
(4)
в котором роль массы частицы играет величина
^ / 2 ^ I 2 4 Г~2
| ! с , где | = ^т с + р|С — энергия продольного движения [4].
Непрерывный потенциал отдельной атомной цепочки может быть аппроксимирован формулой [4]:
U!<x, у) = -U0 ln
1 +
ß R2
2 , 2 , г>2
x + у + aR
(5)
V++(-x, у) = У++(x, у),
(7)
(8)
(9)
(10)
0 -20 -40
3 -60
н
где для цепочки [110] кристалла кремния и0 = 60 эВ, а = 0.37, в = 3.5, Я = 0.194 А (радиус Томаса—Ферми). Расстояние между двумя ближайшими цепочками [110] кристалла кремния составляет а/ 4, где а = 5.431 А — период решетки кристалла. Таким образом, непрерывный потенциал, в котором происходит поперечное движение электрона, при пренебрежении влиянием удаленных цепочек кристалла будет описываться функцией
и(х, у) = и1(х, у + а/8) + и1(х, у - а/8), (6) график которой приведен на рис. 1.
Для нахождения уровней энергии поперечного движения частицы Е± в потенциале (6) был использован спектральный метод [6], работоспособность которого применительно к задаче об аксиальном каналировании была продемонстрирована ранее в [7, 8].
Поскольку потенциал (6) симметричен относительно плоскостей х = 0 и у = 0, каждое собственное состояние электрона относится к одному из четырех классов симметрии:
0 1
-h 1 2
01 y, Ä
[У++(х, -у) = У++(х, у),
ГУ+_(-х, у) = У +_(х, у), [У +_(х, -у) = -У +-(х, у),
ГУ _+(-х, у) = -У (х, у),
|У-+(х, -у) = У-+(х,у),
ГУ _(-х, у) = -У _(х, у),
|У--(х, -у) = -У _(х, у).
Для каждого из таких классов симметрии волновой функции статистические свойства уровней должны исследоваться независимо [2].
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Динамика классической частицы в потенциале (6) выше седловой точки носит преимуще-
Рис. 1. Потенциальная энергия электрона (6) в поле непрерывных потенциалов двух соседних цепочек [110] кристалла кремния.
ственно хаотический характер [4, 5]. Но исследовать проявления квантового хаоса следует в квазиклассической области, где плотность уровней энергии квантовой системы велика. Необходимая плотность уровней достигается в верхней части расширяющейся потенциальной ямы. В частности, как показывают численные расчеты, в яме (6) плотность уровней растет (в среднем) линейно с ростом энергии поперечного движения E± (рис. 2).
С другой стороны, как следует из квазиклассических соображений [4], полное число уровней энергии в потенциальной яме возрастает с увеличением энергии продольного движения E||.
Исходя из этих соображений для исследования проявлений квантового хаоса в статистических свойствах уровней энергии поперечного движения была выбрана энергия продольного движения электрона Ец = 500 МэВ и интервал значений энергии поперечного движения
-23 < Е, <-3 эВ.
(11)
Как показывает анализ динамики классической частицы в потенциале (6) с тем же значением энергии продольного движения, выполненный с помощью метода сечений Пуанкаре [4, 5], в пределах интервала (11) область регулярной динамики составляет не более 1% от полной величины фазового объема, что не должно приводить к заметным отличиям в поведении ансамбля уровней от распределения Вигнера (1). Анализ ситуации, когда области регулярной и хаотической динами-
74
ШУЛЬГА и др.
150
=к
о Я <ч о
р
о ч о
и
&
50 0
Еъ эВ
Е±, эВ
Е±, эВ
Е±, эВ
0.08 0.06
В V
э 0.04 . V 0.04 -
V
V
0.02 - V- % 0.02 - V+
0 0
0.08 0.06 0.04 0.02 0
-23
0.08 0.06 0.04 0.02 0
Е±, эВ
Е±, эВ
Е±, эВ
Е±, эВ
Рис. 2. Число уровней энергии (вверху) и среднее межуровневое расстояние Б (внизу) на различных участках в пределах интервала значений энергии поперечного движения -23 < Е^ < -3 эВ для четырех классов симметрии волновой функции: х¥- +, ¥+ _, ¥+ +, х¥- _.
60
40
20
0 60
40
20
я
£ 60 § 40
и ^ 20
1\
0 60
40
20
V-
V-
1_ V-+
[ |Нп1|т 1
V-
60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
Г\
V^
V^
V+-
V^
60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
Ешь*
V^
V^
V++
V^
60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
0 60
40
20
[........
0.05 0.10 0.15 0 5, эВ
0.05 0.10 5, эВ
0.15 0
0.05 0.10 5, эВ
0.15 0
V-
0.05 0.10 5, эВ
0.15
Рис. 3. Распределения межуровневых расстояний для четырех участков интервала значений энергии поперечного движения -23 < Е^ < -3 эВ (гистограммы) и четырех классов симметрии волновой функции: +, ¥+ _, ¥+ +, ¥__.
Сплошными кривыми изображено распределение Вигнера (1) для средних межуровневых расстояний Б, соответствующих данному интервалу. Экспоненциальное распределение (2) обозначено пунктирными кривыми.
0
ки в фазовом пространстве сопоставимы по объему, приводится, например, в [2].
Распределения расстояний между уровнями 5, построенные по результатам вычисления собственных значений энергии поперечного движе-
ния для состояний, относящихся к четырем типам симметрии (7)—(10), приведены на рис. 3. Как и ожидалось, распределения имеют максимум при 5 ф 0. Однако их параметры заметно отличаются от предсказываемых теорией, причем
0
40
=s
u in
я 30 m
о ^
о 20
ч о
^ 10
0.01
0.02 5, эВ
0.03
0.04
0.01
x2 = 9.6547 f = 8.6027
=s
<D
X m
о
£ о
4 о
5
f
0.02 5, эВ
0.03
0.04
40
30 -
20 -
10
0
0.01
0.02 5, эВ
0.03
0.04
0.01
0.02 5, эВ
0.03
0.04
0
0
Рис. 4. Распределение межуровневых расстояний в интервале значений энергии поперечного движения -5 < Е^ < -3 эВ (гистограммы). Кривые соответствуют распределению Вигнера (1) для фактического Б на данном интервале (сплошные) и результата фитирования по методу наименьших квадратов (пунктирные). Указанные для обеих кривых значе-
2 2 ния х2 не превышают критического значения % = 19.675 для уровня значимости 0.05.
отличие это возрастает с увеличением интервала значений энергии, для которого строится распределение межуровневых расстояний. Такое поведение связано с линейным ростом среднего расстояния между уровнями поперечной энергии по мере погружения в потенциальную яму (рис. 2), что приводит к значительному увеличению вклада больших значений ж для широких интервалов значений энергии поперечного движения частицы.
Уменьшение ширины интервала Е± приводит к улучшению согласия между численными данными и распределением Вигнера (1). На рис. 4 приведены результаты для интервала -5 < Е± < -3 эВ, причем на каждом из графиков наряду с распределением (1) с фактическим значением среднего межуровневого расстояния Б (сплошная кривая) приведена кривая Вигнера со свободным параметром Б, подобранным методом наименьших квадратов (штриховая кривая). Численные результаты, фитированные с помощью метода наименьших квадратов распред
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.