ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 11, с. 1937-1948
УДК 519.634
ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОГО ТИПА СЖИМАЕМОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ1)
© 2007 г. О. А. Азарова
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: olga_azarova@list.ru Поступила в редакцию 26.09.2006 г.
Представлены результаты прямого численного моделирования сжимаемой турбулентности при взаимодействии с первоначально плоской ударной волной. Использовалась модель, основанная на синтезе численного решения уравнений Эйлера и прямого статистического моделирования. Рассматривалась стабилизированная во времени изоэнтропическая изотропная турбулентность. Исследованы коэффициенты усиления ударной волной флуктуаций термодинамических параметров, скорости, завихренности, кинетической энергии флуктуаций, а также коэффициенты взаимных корреляций параметров газа в диапазоне чисел Маха ударной волны от 1.2 до 3. Библ. 17. Фиг. 6.
Ключевые слова: сжимаемая турбулентность, ударная волна, прямое численное моделирование, система уравнений Эйлера.
ВВЕДЕНИЕ
Присутствие областей свободной турбулентности как неизбежного фона или даже причины различных газодинамических явлений (процессы в атмосфере, течения, формирующиеся при полетах летательных аппаратов, возникновение областей оптической неоднородности) обусловливает неизменный интерес к исследованиям по данной тематике. Фундаментальная проблема исследования взаимодействия ударной волны с турбулентностью еще далеко не исчерпана. Теоретические исследования взаимодействия первоначально плоской ударной волны с турбулентностью содержатся в [1]-[5]. Проводилось прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation - DNS), основанное на решении уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Подчеркнем, что в [2]-[4] генерация турбулентности происходит с помощью специфических граничных условий и исследуется неограниченное турбулентное течение.
В данной работе генерация турбулентных пульсаций производится в ограниченной пространственной области с помощью прямого расчета стохастических полей параметров газа. Моделирование основано на численном решении уравнений Эйлера с начальными условиями, характеризующимися случайными амплитудами параметров (см. [6]-[9]). Формируется начальное поле турбулентных флуктуаций с характеристиками, близкими к характеристикам изоэнтропической турбулентности, рассмотренной в [2], где приведен обширный обзор и сравнение различных моделей турбулентности. Проводится сравнение используемой модели турбулентности [6] с другими DNS-моделями, а также исследованиями линеаризованного анализа взаимодействия (Linear Interaction Analysis - LIA).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Проводится прямое численное моделирование взаимодействия турбулентности с ударной волной. Используется модель сжимаемой турбулентности [6]. В основе моделирования лежит
^Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 01-01-00807, 00-15-96124). 9 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 47 < 11 2007
1938
АЗАРОВА
численное решение системы уравнений Эйлера для идеального газа:
д и/Э( + д Е / дх + д О/ду = 0,
/ \ р р u р v
U = р u , F = 2 p + р u , g = рu v 2 p + р v
р V р uv
1 ES к u ( ES + p ) y v v ( ES + p ) y
р, р, и и V - соответственно плотность, давление и продольная и поперечная компоненты скорости, Е8 = р(е + 0.5(и2 + V2)), е - удельная внутренняя энергия, показатель адиабаты у = 1.4. Основными единицами измерения (и нормирующими величинами при переходе к безразмерным параметрам) были выбраны характерный размер области возмущений и нормальные значения плотности и давления: 0.1 м, 1.29 кг/м3 и 1 атм. Для газодинамической части вычислений использовался двумерный консервативный разностный метод для ортогональных сеток второго порядка точности по пространству и по времени (см. [6]). Основа построения схемы - получение схем произвольного порядка аппроксимации на минимальном шаблоне (см. [10]). В [10] содержится описание базового одномерного варианта схемы. Впервые двумерная схема подобного типа описана в [11].
Расчетная область имела форму квадрата размера 0.7 х 0.7 и содержала 700 х 700 расчетных узлов. В начальный момент времени t = 0 в точке х№ = 0.1 задавалась прямая ударная волна с невозмущенными параметрами р0 = 1,р0 = 1, и0 = 0, V,) = 0 перед фронтом и рх,ръ и1, v1 за фронтом. Симметрично внутри расчетной области при 0.15 < х < 0.55 и 0.15 < у < 0.55 переменными возмущениями компонент скорости и' и V' задавалась возмущенная область с параметрами р0,р0, и0 + и', v0 + V'. Возмущения скорости задавались в виде импульсного шума из импульсов квадратного сечения в плоскости (х, у) со случайными амплитудами. Значения кусочно-постоянных функций и' и V' в импульсах задавались как статистически независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону со среднеквадратичным значением амплитуды пульсаций с0, с0 = Мис0, где с0 - значение скорости звука в невозмущенном газе, Ми - числовой параметр, характеризующий интенсивность флуктуаций. Ударная волна набегала на изменяющуюся возмущенную область, и рассмотрение взаимодействия проходило на таких областях, которые исключали влияние границ возмущенной области; при этом область возмущений все время находилась внутри расчетной области. Далее проводилось усреднение по серии расчетов.
2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Рассматривается взаимодействие ударной волны с хорошо развитой (well developed) турбулентностью (WDT), стабилизированной во времени по значениям параметра S^V (mean velocity derivative skewness), лежащим в диапазоне от -0.6 до -0.4. Такая модельная турбулентность является репрезентативной с точки зрения отражения свойств реальной турбулентности (см. [2]). Здесь
= 0.5 ( + SV0)), S^ = ((Эи0/д x ) 3ЖО u0/dx )2»-3/2,
sf = <(dv 0/дj ) 3Ж(д v 0/ду )2»-3/2,
u0 и v0 - соответственно возмущения компонент скорости перед волной. Черта сверху обозначает усреднение по времени, угловые скобки - усреднение по расчетам и по серии ячеек, расположенных вдоль фронта ударной волны с учетом его искажения в возмущенной области. Проводилось усреднение по серии из 30 расчетов с различными начальными пакетами параметров газа со случайными амплитудами. Ранее было показано, что выбранное количество расчетов является достаточным для установления статистических закономерностей. Усреднение по времени проводилось на таких интервалах времени, когда ударная волна уже углубилась внутрь турбулентности, а значения исследуемых параметров колеблются на уровне неких средних величин. В
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Р ' rms//p 0
0.05 (в)
0.04 0.03 0.02 0.01
0
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
T ' rms/T 0 0.020
0.015
0.010
0.005
(д)
2 1
0
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
S 0
Suv -0.6
-0.4 -0.8 -1.2 -1.6
(б)
3 5a
X
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
P ' rm/p 0
0.05
(„)
0.04 0.03 0.02 0.01
0
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
s^ 0.010
s rms/s0
0.008 0.006 0.004 0.002
(e)
5 4
0
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
t
Фиг. 1.
У
3
5
2
1
3
5
2
1
данных расчетах, как и в [6], все области усреднения выбирались из условия, чтобы внутри них поле турбулентных пульсаций обладало свойствами однородности и изотропности.
Как показали расчеты, значения параметра S^l, лежащие в интересующем нас диапазоне, могут быть получены в процессе развития начального поля флуктуаций, заданного квадратной возмущенной областью 40 х 40 импульсов с длиной и шириной каждого импульса, равной 10 ячейкам разностной сетки, и значением Mu = 0.15. Типичная картина изохор при взаимодействии
1940
АЗАРОВА
ударной волны с возмущенной областью для единичного расчета представлена на фиг. 1а. Видно, что ударная волна уменьшает размеры турбулентности (расстояния между изохорами) в поперечном направлении и не влияет на ее продольные размеры, т.е. за волной свойство изотропности нарушается. На фиг. 16 представлена динамика параметра ^ V для различных чисел Маха (кривая 1 для М = 1.2, кривая 2 для М = 1.5, кривая 3 дляМ = 2, кривая 4 для М = 2.5, кривая 5 для М = 3). В качестве значений условной временной координаты принимались средние величины на малых интервалах времени, содержащих рассматриваемые значения. Видно, что с возрастанием времени зависимости становятся близкими к постоянным и на ограниченном интервале времени (достаточном для проведения исследований) можно характеризовать построенную турбулентность как WDT.
На фиг. 1в-1е представлены термодинамические характеристики поля турбулентных пульсаций перед фронтом ударной волны,
= ^(У'2) •
Величина флуктуаций плотности и давления соответствовала соленоидальному типу изоэнтро-пической турбулентности из [2]. Видно, что построенная турбулентность также является изоэн-тропической: флуктуации энтропии близки к нулю (см. фиг. 1е).
Значения коэффициента корреляции плотности и продольной скорости и перед фронтом ударной волны и за ним вычислялись следующим образом:
' = (ри'ЖрХ ?»-0-5.
Аналогично определялись другие коэффициенты взаимных корреляций параметров газа. На фиг. 2 представлена динамика коэффициентов корреляции начального поля турбулентных пульсаций. Видно, что на временном интервале, где турбулентность наиболее близка к WDT, для значений М от 2 до 3 корреляции термодинамических параметров и продольной скорости близки к нулю (фиг. 2а-2в, кривые 3-5). На всем исследуемом диапазоне времени корреляции плотности и давления с высокой точностью близки к единице (фиг. 2г). Заметим, что для турбулентности, задаваемой импульсами компонент скорости и плотности, значение этого коэффициента отлично от 1 и составляет приблизительно 0.9. Таким образом, поведение корреляций плотности и дав-
о(0)
ления практически не зависит от параметра , а определяется наличием или отсутствием энтропийной моды в начальном поле флуктуаций. Корреляции термодинамических параметров и поперечной скорости близки к нулю (фиг. 2д-2ж).
3. ВОЗДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
3.1. Коэффициенты усиления и корреляции за волной
Коэффициенты усиления флуктуаций парам
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.