научная статья по теме ПРЯМОЙ БЕСКООРДИНАТНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ Механика

Текст научной статьи на тему «ПРЯМОЙ БЕСКООРДИНАТНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ»

МЕХАНИКА

ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014

УДК 539.3

© 2014 г. Е. И. РЫЖАК

ПРЯМОЙ БЕСКООРДИНАТНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Уравнение совместности для поля тензора Коши—Грина (квадрата тензора чистого растяжения относительно отсчетной конфигурации) выведено непосредственно из известного равенства, выражающего этот тензор через векторное поле, задающее отображение (трансформацию) отсчетной конфигурации в актуальную. При выводе используется аппарат бескоординатного тензорного исчисления и совершенно не используются никакие понятия и соотношения римановой геометрии.

В качестве иллюстрации применяемого метода с его помощью выведено также известное уравнение совместности для малых деформаций. Показано, что полученное уравнение совместности для конечных деформаций при линеаризации переходит в уравнения совместности для малых деформаций, что является дополнительным косвенным подтверждением его правильности.

Ключевые слова: конечные деформации, малые деформации, уравнение совместности, бескоординатное тензорное исчисление, изомеры тензоров.

1. Введение. Как известно, поле деформаций, которое является симметричным тензорным полем второго ранга (СТПР(2)), порождается некоторым векторным полем (например, полем смещений). Это накладывает на упомянутое СТПР(2) определенные ограничения: поле деформаций должно удовлетворять некоторому уравнению, которое называется уравнением совместности деформаций.

В линейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) используется уравнение совместности для линейного тензора деформаций (обычно называемого тензором малых деформаций), и известен ряд вопросов и задач, где уравнение совместности востребовано и полезно. В литературе имеется несколько вариантов вывода уравнения совместности для малых деформаций (как в координатно-индексном, так и в бескоординатном виде). Все эти варианты опираются на соотношения векторного и тензорного анализа, относящиеся к случаю трехмерного евклидова точечного пространства; при этом никогда не используются понятия и соотношения римановой геометрии — в силу отсутствия какой бы то ни было необходимости в привлечении элементов этой специфической математической дисциплины к выводу уравнения совместности.

Иначе обстоит дело в нелинейной МДТТ, где линейный тензор деформаций смысла не имеет, а имеют смысл и используются либо тензоры конечных деформаций, либо эквивалентные им меры конечных деформаций (последние тем или иным образом выражают не относительные удлинения, а коэффициенты изменения длин). Все эти тензоры также являются симметричными и тоже порождаются некоторым векторным полем (хотя и выражаются через это векторное поле существенно сложнее). По этой причине соответствующие СТПР(2) опять-таки не произвольны, а удовлетворяют своему уравнению совместности. Уравнение это в принципе давно известно, но почему-то выводится оно совершенно иначе, чем в случае малых деформаций. Этот стан-

дартный вывод, приводимый без каких-либо отличий во многих книгах (см., например, [1]), является непрямым: он основан на использовании элементов римановой геометрии, привносимых в соответствующие рассуждения извне лишь для того, чтобы затем отбросить их и объявить, что они здесь, в сущности, неуместны. Действительно, сначала предполагается, что задано некоторое поле одной из мер конечных деформаций (например, поле тензора Коши—Грина), а евклидово точечное трехмерное пространство (т.е. реальное физическое пространство, в котором и происходят все движения деформируемых тел) рассматривается как риманово трехмерное пространство с тем или иным значением тензора Римана—Кристоффеля, характеризующего степень "кривизны" риманова пространства. Начальное состояние тела (так называемая от-счетная конфигурация) размещается в евклидовом пространстве, для которого тензор Римана—Кристоффеля равен нулю. Деформированное состояние (актуальная конфигурация) оказывается размещенным в трехмерном римановом пространстве, для которого поле тензора Римана—Кристоффеля определенным образом связано с полем меры деформаций и, вообще говоря, нулю не равно. Затем вспоминается тот факт, что никакого пространства, кроме физического, в природе нет, и поэтому деформированное состояние вложено не в мифическое шестимерное евклидово пространство (в котором могло бы размещаться трехмерное риманово пространство ненулевой кривизны), а всего-навсего в трехмерное евклидово пространство, имеющее нулевой тензор Римана—Кристоффеля. Возращаясь к реальности и приравнивая нулю поле тензора Римана—Кристоффеля в деформированном состоянии, в конечном итоге получают то самое уравнение, которое называется уравнением совместности для конечных деформаций. Помимо того, что путь, приводящий к уравнению, является окольным, само оно представляется в координатной форме в виде очень громоздких и непрозрачных соотношений, восприятие и использование которых весьма затруднительно. При этом стоит отметить тот факт, что уравнение совместности для конечных деформаций существенно используется в определенных разделах нелинейной МДТТ; например, на нем основан анализ универсальных деформаций несжимаемых изотропных упругих тел [2]. Из всего этого можно заключить, что задача получения этого уравнения сравнительно простым и понятным способом и представления его в простой и понятной форме является вполне актуальной.

В данной работе представлен прямой и краткий вывод уравнения совместности (для меры деформаций Коши—Грина), основанный только на том, что поле меры деформаций порождено векторным полем трансформации, задающим то самое отображение евклидова точечного пространства в себя, при котором отсчетная конфигурация тела переходит в актуальную. Предлагаемый вывод является бескоординатным, благодаря чему все входящие в окончательное соотношение величины оказываются обозримыми и имеющими достаточно простой и ясный смысл.

Применяемый метод проиллюстрирован на примере вывода с его помощью уравнения совместности для малых деформаций. Помимо этого, показано, что последнее уравнение может быть получено в результате линеаризации уравнения совместности для конечных деформаций.

Следует отметить, что уже после написания статьи автору стало известно о существовании в литературе [3] примера вывода уравнения совместности для конечных деформаций без обращения к римановой геометрии. Предпосылки этого вывода, в принципе, те же самые, что и предпосылки вывода, предложенного в данной работе (за исключением того, что векторы и тензоры представляются там в координатно-ин-дексном виде), однако сам вывод, изложенный в [3], существеннейшим образом отличается от предложенного здесь и вряд ли может быть назван "прямым". Автор считает, что сам по себе факт существования упомянутого "нериманова" (но и непрямого) вывода уравнения совместности еще не означает заведомой ненужности поиска иных

(более детерминированных) вариантов нериманова вывода этого уравнения, что и оправдывает цель данной работы.

В работе систематически используется система безындексных тензорных обозначений Дж.В. Гиббса, дополненная знаком тензорного произведения и мультииндексом для обозначения изомеров тензоров ранга выше второго (см., например, [4]). Подчеркнем, что соглашение о суммировании по повторяющимся индексам в работе не используется.

2. Отсчетное описание, трансформация и мера деформаций Коши—1рина. Пусть имеется некоторое фиксированное состояние деформируемого тела, называемое его отсчетной конфигурацией к; материальные точки тела идентифицируются их радиусами-векторами х в этой конфигурации. В текущем состоянии тела (так называемой актуальной конфигурации) радиусы-векторы материальных точек задаются невырожденным дифференцируемым отображением

г = г(х) (2.1)

которое будем называть трансформацией (в отличие от [2] и других книг, где оно называется "деформацией"). Градиент трансформации по отсчетному радиусу-вектору х будем вслед за книгой [2] обозначать через Р:

Б(х) =УК ® г(х) (2.2)

Значок Ук здесь и в дальнейшем используется лишь для обозначения градиента соответствующего поля по х, причем для градиентов векторных и тензорных полей между Ук и символом поля ставится знак тензорного произведения, а для градиентов скалярных полей этот знак не ставится (см., например, [4]). Подчеркнем, что в работе не используется понятие набла-оператора. Градиент трансформации Б(х) представляет собой невырожденный линейный оператор или, что то же самое, тензор второго ранга (в дальнейшем ТР(2) и вообще ТР(к) для тензоров ранга к [4]). Этот линейный оператор задает главную линейную часть отображения окрестности точки в отсчетной конфигурации в окрестность соответствующей точки в актуальной конфигурации:

йг(х, йх) = йх ■ Б(х) = Бт(х) ■ йх (2.3)

где Бт обозначает транспонированный ТР(2) Р. Без ограничения общности примем в качестве условия невырожденности ТР(2) Б неравенство

<М Б(х) > 0 (2.4)

Принятие такого условия равносильно предположению о возможности непрерывного невырожденного перехода из отсчетной конфигурации в актуальную; иными словами, это означает, что в качестве отсчетной конфигурации выбрана физически реализуемая конфигурация.

Скалярное произведение элементов йг и йг^ в актуальной конфигурации может быть выражено с помощью равенства (2.3) через их прообразы йх1 и йх2 в отсчетной конфигурации:

йгх • йг2 = (йхх • Б) • (йх2 • Б) = йхх • Б • Бт • йх2 (2.5)

Б • Бт = С (2.6)

|йг|2 = йг • йг = йх • С • йх ^ И = • С • гх (2.7)

1 1 |йх| \|йх| |йх|

Симметричный положительно определенный ТР(2) С (2.6), через который выражается коэффициент растяжения, называется мерой деформаций Коши — Грина. Уравнение совместности деформаций, выводимое в данной работе, относится к полю именно этого ТР(2).

Если ввести поле смещений

и(х) = г(х) - х (2.8)

то градиент трансформации выражается через градиент поля смещений:

Г(х) = I + Ук ® и(х) (2.9)

где I — единичный ТР(2). Если градиент поля смещений мал (например в смысле нормы | Vк ® и - №к ® и: Vк ® и), то ТР(2) F мало отличается от единичного. При линеаризации слагаемые порядка выше первого по ¡Vк ® и|| отбрасываются, и тогда для C по

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком