АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2012, том 46, № 3, с. 223-234
УДК 521.1:514.122.2:514.752.6
ПЫЛЕВОЙ ТОР, ОБРАЗОВАННЫЙ ВЫБРОСОМ ЧАСТИЦ В АПСИДАЛЬНЫХ ТОЧКАХ © 2012 г. С. А. Орлов, К. В. Холшевников
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 14.06.2011 г.
Пылевые комплексы в Солнечной системе образуются и поддерживаются различными физическими механизмами. Однако математическое описание процессов часто требует исследования и решения однотипных уравнений.
Ранее нами была установлена аналитически форма комплекса при однократном выбросе частиц с материнского тела, двигающегося по круговой орбите. В настоящей работе мы решили задачу для произвольной эллиптической орбиты материнского тела при выбросе в перицентре или апоцентре. В качестве иллюстрации теория была применена к метеороидному потоку Геминид. Сравнение с результатами работ других авторов показало хорошее согласие.
ВВЕДЕНИЕ
Пылевые комплексы образуют одну из составляющих Солнечной системы. Существует множество способов их образования: выброс вещества с поверхности небольших спутников при метеоритной бомбардировке; взрывы и столкновения ИСЗ; извержения с таких спутников, как Ио и Энцелад; истечение вещества из кометных ядер в околосолнечной окрестности и др. Несмотря на разную физику процессов, определение области, заполняемой частицами, требует исследования и решения если не одинаковых, то однотипных уравнений. Подробности и литературу см. в статьях (8о1ег, 1971; Кривов и др., 1991; КЬокИеуш-коу и др., 1993; Холшевников, Орлов, 2000; 2008; Орлов, 2006).
В работе Рябовой (1998) полуаналитическим методом найдено распределение плотности частиц в сечении исследуемой области произвольной неподвижной плоскостью в предположении малости скорости выброса по сравнению с орбитальной.
В работе (Холшевников, Орлов, 2008) заполненная частицами область (пылевой тор) найдена аналитически при разумных упрощающих предположениях, одно из которых — круговая орбита материнского тела (поставщика частиц). Последнее ограничение в большинстве случаев выполняется или, по крайней мере, годится как нулевое приближение. Но для комет, например, оно неприемлемо.
Отказ от круговой орбиты ведет к многократному усложнению задачи, и без того находящейся на грани возможностей аналитических методов. Но в важных частных случаях — именно, при выбросе вещества в апсидальных точках (перицентре или апоцентре) усложнение не катастрофич-
но. Между тем кометы выбрасывают основную массу вещества вблизи перицентра. Поэтому имеет смысл рассмотреть задачу нахождения формы пылевого тора в случае произвольного эксцентриситета е0 орбиты материнского тела при выбросе в перицентре. Как показано ниже, выброс в апоцентре описывается теми же формулами после тривиальной подстановки е0 ^ -е0.
Задача решается в предположении невозмущенного движения частиц. Перечислим основные допущения, при которых решение применимо к реальным телам Солнечной системы.
1. Орбита материнского тела — произвольный кеплеров эллипс.
2. В момент времени ?0, отвечающий эпохе перицентра или апоцентра, происходит изотропный выброс вещества со всевозможными относительными скоростями V, по модулю равными фиксированной скорости Ь. В реальности скорости различны по модулю, выброс неизотропен. Однако при Ь = шах^ | получаемая нами область Б будет шире реальной. Следовательно, можно гарантировать, что рой реально заполнит часть Б и ни одна частица не выйдет за его пределы.
3. Возмущения в движении частиц не учитываются. Это значит, во-первых, что мы рассматриваем лишь относительно крупные частицы с массами более 10-3 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется взаимодействием с магнитным полем и с фотонным и корпускулярным излучением Солнца (Кривов и др., 1991; Клуоу и др., 1996). Во-вторых, мы рассматриваем не слишком большой промежуток времени ? — , за который возмущения не успевают накопиться. Так, возмущения узлов и перицентров достигают 10°—20° для ИСЗ типа "Молния" за месяц, для
астероида 3200 Фаэтон — за 600 лет. Однако играют роль лишь дифференциальные возмущения; поворот всей системы на любой угол не меняет вида заполненной частицами области. Поэтому наши рассмотрения годятся на больший срок: для указанных ИСЗ примерно на год, а для Фаэтона — на 5 тысяч лет.
4. Промежуток времени t — t0 не должен быть и слишком малым, чтобы частицы успели плотно заполнить область D за счет неравенства орбитальных периодов. На это обычно требуется десяток оборотов материнского тела.
СЕМЕЙСТВО ТРАЕКТОРИЙ
Перейдем к точным формулировкам. Пусть точка O1 массы m1 описывает кеплеров эллипс вокруг точки O массы m. В момент t0, при прохождении перицентра или апоцентра происходит изотропный выброс из O1 частиц бесконечно-малой массы по всевозможным направлениям с одинаковой относительно О1 скоростью Ь > 0. Требуется найти область D, заполненную траекториями T выброшенных частиц. Как известно из работ (За-лгаллер, 1975; Фавар, 1960) область D ограничена поверхностью S, огибающей двупараметрическое семейство эллипсов {Т}.
Обозначим через a0, e0 большую полуось и эксцентриситет орбиты родительского тела O1. Расстояние и скорость O1 относительно O в момент выброса из перицентра равны
п п \ к 1 + e0 R = ao(1 -eo), w = -0
VäOv1 - eo'
(1)
где к = уТОш.
Замечание: Формулы (1) и нижеследующие соотношения остаются справедливыми и при выбросе из апоцентра, если в них заменить e0 на -е0. Поэтому ниже рассматриваются как положительные (выброс в перицентре), так и отрицательные (выброс в апоцентре) значения е0.
Ограничиваясь эллиптическими орбитами O1, потребуем
ео1< 1. (2)
Безразмерную скорость с = Ь/м назовем параметром выброса.
Наложим условие эллиптичности орбит частиц, т.е. считаем м + Ь меньшей параболической скорости:
w + b < к
i
b <
< c =
fR (-Vl + eo л/2
VT
c <
(3)
.-1.
Потребуем отсутствия обратных движений частиц:
Ь < м ^^ с < 1. (4)
Правая часть (3) не превосходит единицы при е0 > -1/2. Таким образом, при выбросе в перицентре все движения прямые при условии (3). При выбросе в апоцентре потребуем вместо (2) более сильного ограничения
< 1/2.
(5)
Тогда при условии (3) обратные движения также отсутствуют.
Введем систему декартовых невращающихся координат с центром в O; ось х направим в O1 в момент выброса, ось y — в плоскости орбиты в сторону движения O1, ось г — по вектору площадей орбиты O1. Обозначим через b, 0, X сферические координаты вектора скорости выброса относительно O1. Считаем модуль скорости b > 0 фиксированным, а точку (8 ,Х) принадлежащей единичной сфере S.
ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
Начнем рассмотрение с простейшего случая, когда частицы выбрасываются только в плоскости орбиты родительского тела O1. В этом случае 8 = = П 2. В начальную эпоху положение и скорость выброшенной частицы Q, выделенной параметром X, будут
г0 = (R,0), v0 = (b cos X, w + b sin X). (6)
Найдем орбиту T точки Q по положению и скорости (Субботин, 1968). Положим a0 = 1, в этом случае работает замена e0 ^ -e0, а масштабный множитель можно восстановить по соображениям размерности. Из интеграла площадей
кТР = Rw(1 + c sin X). (7)
Учитывая (1), получим
Р = (1 - e2)A2,
где
(8)
A = 1 + c sin X. Истинная аномалия ф при t = t0:
e cos ф = (p/r) - 1 = A2(1 + e0) - 1,
e sin ф = ^ v0x = r0v0 = Ac(1 + e0)cos A. к Rk
Условимся, что при t = t0 будет fi = 0 и, следовательно, аргумент широты u = 0, откуда получаем аргумент перицентра g = -ф. В результате
+ e0
e cos g = A (1 + e0) - 1, e sin g = -Ac(1 + e0)cos X.
(9)
e
0
пылевой тор, образованный выбросом частиц в апсидальных точках
225
Орбита частицы определена полностью (значения а и е в этом разделе нам не понадобятся). Вектор положения О задается формулами
r = r(cos и, sin u),
r =
A2(1 - el)
1 + a cos u + ß sin u
(10)
где a = A (1 + e0) - 1, ß = -Ac(1 + e0)cos X.
ro = №0,0), v 0 = (b sin 0 cos X,w + b sin 0 sin X, b cos 0).
(13)
Окончательно определим ориентацию орбиты формулами
cos i
Q. = 0, 1 + c sin 0 sin X
sin i =
c cos (
(20) (21)
ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ случаи
Уберем допущение о выбросах частиц только в плоскости орбиты родительского тела и расширим плоский случай до пространственного. Точку на сфере параметров будем описывать как сферическими координатами, так и декартовыми
(fx, fy, f) = (sin 0 cos A, sin 0 sin A, cos 0) , (11) связанными соотношением
fX + fy + fl = 1. (12)
В начальную эпоху положение и скорость выброшенной частицы Q, выделенной двумя параметрами 9 и X, будут
A A
Экстремальные значения наклона (как доказано в работе (Холшевников, Орлов, 2000)) достигаются при
X = -я/2, 0 = arcsin c и 0 = п - arcsin c, (22)
причем в обоих случаях A = -J 1 - c2. Других стационарных точек функции i на сфере S нет.
Теперь найдем истинную аномалию ф при t = t0: e cos ф = (p/r) - 1 = A2(1 + e0) - 1,
e sin ф = ^ v0x — r0v0 = Ac(1 + e0) sin 0 cos A. к Rk
Как и ранее, аргумент перицентра g = —ф. В результате
(23)
Найдем орбиту T точки Q по положению и скорости. Вектор площадей (Субботин, 1968):
г0 х v0 = Kyfp (sin i sin Q, - sin i cos Q,cos i) = = Rw(0, -ccos 0,1 + csin 0 sin A).
Отсюда
к4р =RwA, (14)
где
A = V(1 + csin 9sin X)2 + c2 cos2 9 > 0. (15) С учетом (1)
P = (1 - eo) A2. В статье (Холшевников, Орлов, 2000) доказано, что 1 - c < A < 1 + c, (16)
причем минимум достигается при 9 = я/2, X = = -я/ 2 (выброс назад), максимум — при 9 = я/ 2, X = я/2 (выброс вперед). Других стационарных точек функции A на сфере S нет.
Как и в статье (Холшевников, Орлов, 2000), полагаем, что -я/2 < i < я/2, а восходящий и нисходящий узлы меняются местами при переходе i через 0. Тогда Q = 0 для орбит любого наклона. Далее:
sin i sin Q = 0, (17)
A sin i cos Q = c cos 0, (18)
A cos i = 1 + c sin 9 sin X. (19)
e cos g = A (1 + e0) - 1, e sin g = -Ac(1 + e0)sin 9 cos X.
В заключение найдем большую полуось и эксцентриситет орбиты частицы. Согласно интегралу энергии полная энергия частицы на единицу массы есть
H = V0 2
отсюда
-— = ^[(1 + e0)(1 + 2csin9sinX + c2) -2].
a = —
к
a0(1 - e0)
2H 2 - (1 + e0)(1 + 2c sin 0 sin X + c2)
(24)
Эксцентрисит
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.