ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ -".АНАЙС -.^Н/ -ШГ - " "ал 0 И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 2 август, 2005
""»H il H (,.*. MO.î ' ki*. « v
i
s 3S.-«,Xï® П* ~*î4-\ MÎ'
! * . , -M' - '. ■ '■■
Ttîi. ..— КМПхЛК® : , -t."' i * ! s T: r - ,{<'
■ -'Ki Лда." i." ■ »- • • U- .*! -. f . . >i ; .'..«' î- .. .
© 2005 г. ' A.Ю. Хренников*, C.B. Козырев+
р-АДИЧЕСКИЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕПЛИЧНЫХ МАТРИЦ
Рассматривается процедура аналитического продолжения репличных матриц. Эта процедура формулируется в специальном виде, в котором аналитическое продолжение задается последовательностью отображений. С помощью этого определения описано репличное решение Паризи с нарушенной симметрией и найден соответствующий р-адический псевдодифференциальный оператор.
Ключевые слова: р-адические псевдодифференциальные операторы, метод реплик.
№ п;..' "V- а.;/ - 1. ВВЕДЕНИЕ ' .•; .ч-"5 -V
В настоящее время исследование сложных, неупорядоченных и нелинейных явлений привлекает много внимания исследователей ввиду исключительного значения, приобретаемого этими явлениями в самых разных областях приложений. Одним из наиболее важных методов оказывается метод реплик [1]. В этом методе было обнаружено интересное явление ультраметричности пространства состояний, на котором задан параметр порядка. В работах [2] была доказана применимость р-адического анализа в методе реплик. . ■■ -V
Настоящая работа продолжает исследование, начатое в статьях [2], где обсуждалось соотношение между репличными матрицами Паризи и ультраметрическими псевдодифференциальными операторами (ПДО). В работе описывается процедура аналитического продолжения репличной матрицы и проводится исследование вопроса, какой именно р-адический ПДО отвечает решению с нарушенной репличной симметрией Паризи (НРС).
Решение с НРС ищется с помощью аналитического продолжения по размерности п репличной матрицы с последующим предельным переходом п -> 0. Такое решение [1]
'Department of Mathematics and Computer Science, Vaxjo University, S-35195, Vaxjo, Sweden. E-mail: Andrei .Khrennikov@msi.vxu. se
tМатематический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, Россия. .. . ,
E-mail: kozyrev@mi.ras.ru
(взятое вблизи точки фазового перехода стеклования) после выполнения всех указанных процедур описывается следующей функцией д(х) на отрезке [0,1]:
n^iHH«.
q(x) = -х, q(x) = т,
О < х < Зт, ^ Зг ^ х < 1, 0 < т « 1.
(1)
До взятия предела (см. работы [2] и обсуждение в следующем разделе) матрица Па-ризи отвечает р-адическому ПДО. В данной работе показывается, что решение с НРС (1) отвечает некоторой последовательности р-адических ПДО. Чтобы построить эту последовательность, формулируется процедура аналитического продолжения реп-личной матрицы с использованием последовательности отображений множества положительных чисел В себя. Li ' - ."If 7Vh>-'n Ы'фяи ХЯГ» ИНк v < "'I
Вьшоды данной статьи относятся к области р-адической математической физики (см. [3]). В работе [4] был развит анализ псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах общего вида. Это позволяет распространить результаты р-адической математической физики на более общие ультраметрические пространства.
Работа организована следующим образом. В разделе 2 описанар-адическая параметризация репличных матриц Паризи и их связь с р-адическими ПДО. В разделе 3 дана наша формулировка процедуры аналитического продолжения для репличных матриц и приведен вид р-адического ПДО, отвечающего решению Паризи с НРС. В разделе 4 изложены некоторые из ранее известных фактов, касающихся таких решений.
2. РЕПЛИЧНЫЕ МАТРИЦЫ И р-АДИЧЕСКИЕ ПДО
Рассмотрим репличную матрицу Паризи (Qab)- Эта (п х п)-матрица имеет следующий вид:
Qaa = О,
Qab = Qi При I
ТП;
Ф1
Ш,
а
mi+i
= /
(2)
Здесь суть к вещественных параметров, /[х] - функция от х, равная наименьшему целому числу, большему или равному х; гп; представляют собой N целых чисел таких, что числар{ = тщ+х/тщ тоже целые и
1 = mo <rrii < ■•• < тпщ-1 < TUN = п.
(3)
В работах [2] было показано, что в частном случае, когда тщ — р% (т.е. все р* = р и п = р1*), формула (2) оказывается эквивалентной следующей формуле для р-адической параметризации: после соответствующей перенумерации индексов репличной матрицы Паризи ее матричные элементы могут быть представлены в виде ^ т > «.ом,-
иг -
~'l"Qij =q(\i-j\P), "
'' (4)
где через | • \р обозначено р-адическое расстояние, а функция ц(\х\р) содержит в себе информацию о матричных элементах, закодированную в следующем виде: ц(рк) =
5 Теоретическая и математическая физика, т. 144, № 2, 2005 г.
-•<■ Аналогично действие матрицы (2) связано с действием р-адических П ДО вида !
rfx с ■ >■• v.V■ ••»•чвчю»«*.. •^v'-"'";'
Г/(х) = f q{\x - y\p)(f(x) - /(y)) dn(y), JQp
где /I - мера Хаара на множестве Qp, ив соответствии с вышесказанным функция q задается соотношениями
ç(|x|p)=0, \х\р ^ 1, . '
. ; у'"1-. 9(pfc)=«fc. k = i,...,N, :.. (5)
' " 9(Ир) = 0, \х\р > pN. - • - '
В данной работе обсуждается аналитическое продолжение репличных матриц и предел п -¥ О для этих матриц с точки зрения соответствующих р-адических ПДО.
3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕПЛИЧНЫХ МАТРИЦ
Опишем теперь аналитическое продолжение репличных матриц и взятие предела п —» 0 по размерности этих матриц, для чего перейдем к более абстрактной формулировке этих процедур. В стандартной методологии аналитическое продолжение и взятие предела п О для репличных матриц обычно понимаются как просто различные описания одной и той же процедуры. Здесь же нам удобно рассматривать их как два разных процесса.
Стандартное [1] определение аналитического продолжения репличной матрицы формулируется следующим образом. Имеются целые числа (3), 1 = то < т\ < ■■• •■• < тдг_1 <тдг = п, которые преобразуются в положительные числа, упорядоченные в обратном порядке:
1 = то > m 1 > • • • > тдг_1 > тдг = п > 0.
После аналитического продолжения семейство чисел тп{ переходит в функцию т(х), х £ [0,1], где т(х) - т,- при mj+i < х ^ тгц. Аналогично после аналитического продолжения семейство чисел qi переходит в функцию ç(x), х € [0,1], где q(x) = g, при m,+i < х ^ тп,.
Теперь взятие предела п 0 понимается как одновременное взятие пределов N -»■ оо
(к)
ип 0, т.е. рассматривается последовательность тп\ , i = 1,..., N^, где положитель-(к)
ные числа тп\ ' упорядочены как указано выше и Nk оо и mjvfc —► 0 при к оо. При этом соответствующие функции тп и qW (х) должны иметь пределы в смысле мер, а предельное выражение для функции тп^к\х) есть просто т(х) = х.
По некоторым причинам, связанным с попытками обобщить решение Паризи с НРС, удобно рассмотреть по отдельности определения аналитического продолжения репличной матрицы и взятия предела п 0 с тем, чтобы иметь возможность привязать конкретные аналитически продолженные репличные матрицы к соответствующим р-ади-ческим ПДО.
Для этого примем за основу следующую точку зрения на аналитическое продолжение для репличных матриц. Введем аналитическое продолжение репличных матриц с
р-адических ПДО вида
)МУ),
ышесказанным функция q за-' {5)
ше репличных матриц и пре-их р-адических ПДО.
[ЛИЧНЫХ МАТРИЦ
х матриц и взятие предела олее абстрактной формули-[еское продолжение и взятие как просто различные опи-[атривать их как два разных
ия репличной матрицы фор-^ (3), 1 = то < т\ < ■■■ ■ельные числа, упорядочен-
п > 0.
ереходит в функцию т(х), после аналитического про-6 [0,1], где q{x) = qi при
ое взятие пределов N -* оо I,..., iVfc, где по ложите ль-галгд. 0 при к оо. При [еть пределы в смысле мер, (х) = х.
гь решение Паризи с НРС, юого продолжения реплич-(можность привязать кон-соответствующим р-ади-
аналитическое продолже-ение репличных матриц с
использованием последовательности отображений р^ (занумерованных индексом ЛГ), где каждое р^ представляет собой отображение множества положительных чисел в себя вида - . , . ,,г
По определению после аналитического продолжения получается следующее уравнение для параметров 1щ: . ~
Применим теперь это явное выражение для аналитического продолжения репличных матрицы к решению Паризи с НРС. Это решение [1] в пределе п -* 0 имеет вид (1).
До выполнения этого предельного перехода указанное решение (после N шагов процедуры НРС) имеет вид
.¡т;
Я^(р{)=Яг=Т, ' ->п%,0 ^ I < — Г),
9(ЛГ)(Р<) = |(1"^). М(1 — т) ^ г ^ ЛГ,
и в соответствии с выражением (5) может быть задано следующим образом: «(ЛГ)(|х|р) = о, |х|р<1, <г^(МР) = т, 1<|х|р<Р^1-т),
" 4 (7)
Эта функция отвечает ПДО
TWf(x) = Jq(N4\x - y\p)(f(x) - f{y))dn{y)
(8)
- . " V . • *!•• к г*, и
с функцией ?(|а;|Р), заданной выражением (7).
Таким образом, оказывается, что предел п -* 0, который превращается в предел N -* оо в случае формулы (7), не задается никаким сколько-нибудь регулярным р-адическим ПДО.
(!) «аш* ; 4. РЕШЕНИЕ ПАРИЗИ С НРС
Здесь приводится стандартный материал [1], касающийся метода реплик в модели Шеррингтона-Киркпатрика (ШК). В приближении малых репличных матриц для решения Паризи с НРС свободная энергия модели ШК имеет вид
ЛГ Г 1 1 "
= ^2(тг-тг+1) -тд* --д* + ~(2гщ - гщ+Ж* + (т^-т^+х)^
¿=о
где 0 < т <1.
i=i+1
Анзад реплик представляет собой решение вариационной задачи для свободной энергии относительно переменных д{ при фиксированных ттц. При этом вариационная задача сводится к условию
'А. А-
* — \
тI • ••
А
N г-1
-г2д, - д? + (2тщ - + ^ (т,- - тзЧ1)^2 + 2qi ~ тз+г)Яз = 0. (9)
¿=1+1 з=о
Частными решениями задачи (9) являются постоянное решение д^ = д, которое при
малых г имеет вид п"'''' '
. ... . -ч^мч'йви
' 5 ' 9 = 0, д = ±Т, * Х1Й8Т!»!--«> .* .•".!' : Щ'{Г..И
ГТ' ,1- *■" и решение, удовлетворяющее системе уравнений =
~(Яг+1 - 9»- 1>(д»+1 + 9¿ + 9г-1) + "1»+1(9»+1 ~ 9») + т»(9» - 9»-1) = 0. (10)
^-.ч..»ко! :_ .ч ,
Эта система приводит к квадратичному рекуррентному условию для величин д,-.
Стандартное рассуждение НРС гласит, что в пределе п —>• 0 вышеприведенное уравнение превращается в уравнение
И п . , Ч » ■
—6д(х) йд(х) + 2т(х) с1д(х) = 0,
допускающее два решения:
' '¡-г- >
.'' и г К
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.