ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 2, с. 243-249
УДК 536.2
РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС В ШАРОВОЙ ПОЛОСТИ
© 2015 г. В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин, И. Ю. Савельева
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
E-mail: fn2@bmstu.ru Поступила в редакцию 23.03.2014 г.
Построена математическая модель, описывающая совместный радиационно-кондуктивный тепло-перенос в шаровой полости, форму которой можно рассматривать как среднюю статистическую по отношению к формам замкнутых пор в твердых телах. Модель позволяет определить эквивалентный коэффициент теплопроводности условной диатермичной среды в полости, что дает возможность рассматривать материал с пористой структурой как сплошное неоднородное твердое тело. Установлено влияние градиента температурного поля в окрестности полости и теплопроводности диатермичной среды на эквивалентный коэффициент теплопроводности. В случае нетеплопроводной среды проведено сравнение расчетной зависимости для этого коэффициента с аналогичными по структуре формулами, полученными на основе различных подходов к учету теплопереноса излучением в порах.
Б01: 10.7868/80040364415020246
ВВЕДЕНИЕ
При определении эффективного коэффициента теплопроводности твердых тел с пористой структурой возникает необходимость учитывать теплоперенос в порах путем излучения. Пористая структура в конструкционных поликристаллических материалах может возникнуть на стадии их затвердевания из расплава (в частности, при разливке металла на машинах непрерывного литья заготовок), при термомеханической обработке или в процессе деформирования. Технологические процессы получения композиционного материала и режимы его деформирования также допускают возможность образования пор. Пористую структуру имеют многие строительные и теплоизоляционные материалы.
Известны различные подходы к построению математических моделей процесса переноса тепловой энергии излучением через замкнутые поры в твердых телах. При этом пору обычно условно заменяют включением, материал которого имеет некоторый эквивалентный коэффициент теплопроводности Хк, подлежащий определению с использованием той или иной математической модели. В известных работах [1—4], посвященных определению величины Хк, рассмотрены замкнутые поры различных форм, среди которых в качестве средней статистической можно принять форму шаровой полости.
МОДЕЛЬ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Среду в шаровой полости радиусом г0 примем диатермичной, т.е. не поглощающей и не рассеивающей излучение. Свойства непрозрачной сферической поверхности этой полости будем считать соответствующими свойствам диффузно-серой поверхности [5, 6] с коэффициентом излучения е. Для нахождения теплового потока, проходящего через эту полость при неравномерном распределении температуры Т на ее поверхности, используем понятия плотности потоков падающего д* и собственного е#0 излучений, где, согласно закону Стефана—Больцмана [5, 7, 8], д0 = а0Т4, а0 = 5.67 х х 10-8 Вт/(м2 К4). Падающее на непрозрачную поверхность излучение частично поглощается (Ад*) и частично отражается (Яд*), где для поверхности
со свойствами серого тела А = е — коэффициент поглощения и Я = 1 — А = 1 — е — коэффициент отражения. Собственное излучение после сложения с отраженным излучением составляет эффективное излучение с плотностью потока
д* = б д0 + Яд*. (1)
Рассмотрим на поверхности S полости две произвольные точки М и N. Элементарная площадка dS(N) в окрестности точки N е Б посылает на единичную площадку в окрестности точки М е Б поток излучения
dg*(M = д*(N)dфNм. (2)
243
6*
Здесь йфмм — элементарный угловой коэффициент [9], который в соответствии с законом Ламберта [5, 8] для распределения диффузного излучения по направлениям, определяемым углом фЫ между конкретным направлением и нормалью к площадке ), составляет
dфм =COS ФN COS фmds{N
nl
(3)
MN
где фм — угол между нормалью в точке М и отрезком МЫ длиной М ,
Равенство (1) справедливо для единичных площадок как в окрестности точки N е Б, так и в окрестности точки М е Б. Поэтому, согласно формулам (1)—(3), приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода в виде [10]
q
(M) - R(M) |f(N)
cos фN cos фM
nl
dS(N) =
MN
(4)
= e(M)2o(M). Для сферической поверхности радиусом r0 имеем cos ф N = cos ф M = lMN/(2r0) и вместо уравнения (4) получим
q*(M) - Щ. jq*(N)dS(N) = s(M)q0(M). (5) 4nr0 J
0 So
Отсюда с учетом равенства (1) следует
q*(M) = -Ц jq*(N)dS(N) = const, (6)
4nr0 J
0 So
т.е. плотность потока падающего излучения в шаровой полости одинакова для всех точек ее поверхности и равна средней плотности потока эффективного излучения. Умножая уравнение (5) на
dS(M)/(4nr02) и затем интегрируя по сферической поверхности S0, при условии R = 1 — s = const вместо соотношения (6) получаем
q* = Jq°(M)dS(M).
(7)
Количество энергии, теряемое путем излучения единицей площади поверхности твердого тела в единицу времени, называют плотностью потока результативного излучения, равной д = £#0 - Ад^, или для шаровой полости при условии А = е и с учетом формулы (7)
q(M) = sq0(M) - ^ Jqo(M)dS(M). (8)
Отсюда в соответствии с законом сохранения тепловой энергии при ее переносе излучением следует
Jq (M) dS(M)
= 0.
При этом суммарный тепловой поток, передаваемый через полость, можно вычислить по формуле
Q
_ jq(M) + \q (M)j
dS(M).
(9)
ПОЛОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Пусть шаровая полость радиусом r0 находится в неограниченной области, заполненной однородным непроницаемым для излучения материалом с коэффициентом теплопроводности X. В полости может находиться диатермичная среда с коэффициентом теплопроводности X°. Пренебрежем переносом теплоты этой средой при возможном возникновении естественной конвекции.
В центре полости поместим начало сферической системы координат r, 9, х, а на большом расстоянии r > r0 от центра полости зададим вектор градиента температурного поля в этом материале, имеющий модуль G и направленный вдоль оси, от которой происходит отсчет угловой координаты 9. Таким образом, при r ^ <х> установившееся осе-симметричное (не зависящее от угловой координаты х) распределение температуры T в этом материале описывает функция
T„(r, 0) = T0 + Gr cos 0, (10)
где T0 — температура в плоскости при 9 = я/2. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах с учетом осевой симметрии имеет вид
1--1 sin о
50)
1 д (r2 дТ) + .
r23r\ 3r! r2 sin 0д0\
д (sin одТ) = 0.
(ii)
По мере приближения к шаровой полости температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющими уравнению (11) дополнительными слагаемыми [11]
B
—jPj(cos9), Bj = const, j = 1,2,..., (12)
r1+
где Pj(cos 0) — ортогональные полиномы Лежандра степени j [12]: P1(cos 0) = cos 0, P2(cos 0) = (3cos20 —
- 1)/2, а для j > 2 jp(cos0) = (2j - 1)Pj_1(cos 0)cos 0 -
— (j - 1)Pj-2(cos 0). Среднее по поверхности сферы значение любого из ортогональных полиномов Ле-жандра при j > 0 равно нулю, поскольку
P (cos 0)sin 0d 0 = 0.
(13)
Это свойство обеспечивает выполнение в полости условия теплового баланса, необходимого для существования установившегося распределения температуры на ее поверхности. Следует отметить, что уравнению (11) удовлетворяет также частное решение, пропорциональное 1/г, но оно противоречит физическому смыслу рассматрива-
S
S
S
п
0
S
S
емой задачи, поскольку описывает либо только подвод теплоты путем теплопроводности к полости, либо только ее отвод из полости.
Для распределения температуры в окружающем полость материале ограничимся первым приближением и, согласно соотношениям (10) и (12), запишем
T (r, 0) = T0 + (Gr + Bj r2) cos 0. (14)
Введем эквивалентный коэффициент теплопроводности X * > X° условной среды в полости, учитывающий перенос тепловой энергии как излучением, так и диатермичной средой. Первое приближение для распределения температуры в условной среде определим зависимостью
T°(r, 0) = T0° + G°rcos 0, G° = const, (15) удовлетворяющей (11) и равенству (13), а также обеспечивающей конечное значение температуры в центре полости.
В соотношения (14) и (15) входят три неизвестных параметра B1, T0° и Gкоторые следует найти из условий непрерывности при r = r0 распределения температуры и плотности теплового потока:
9o(¿), Z(b) 2.6
T(ro, 0) = T °(ro, 0) и XdTf dr\r = X* ÔT'r. lr=J0 Отсюда с использованием формул (14) и (15) при 0 = я/2 находим T0° = T0, а затем два равенства G + Bjr03 = G° и G - 2Bjr03 = (к*/к) Gиз которых следует G ° = G (2 + Х*) и Bj r03 = = G(1 -X*)/(2 + X*), где À* = X*/X. Таким образом, с учетом формулы (15) получаем распределение температуры на сферической поверхности полости радиусом r0 в виде
T*(0) = T0 + 3Gr0(cos 0)/(2 +X*). (16)
При этом через полость с условной средой проходит суммарный тепловой поток
П 2 0 •ÔT (r,0)
Q = 2nr02À* p
dr
2 3X*G sin 0d0 = nr0 -——. (17)
2 + Х^
Чтобы выделить из величины Q часть теплового потока, передаваемую через полость излучением, используем формулу (16) для представления
плотности собственного излучения sg°(0) = = scto(T*(0))4 на сферической поверхности полости. После подстановки s#°(0) в формулу (8) с учетом зависимости (16) получим соотношение для плотности результирующего излучения q(0) =
= SCToT4/(0), где
/(0) = (1 + bcos0)4 - 1 - 2b2 - b4 ¡5, b = 3(Go/TO у (2 + X*) > 0.
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.3 b
Рис. 1. Графики функций 9о(6) (штриховая линия) и Z(b) (тонкая сплошная кривая) и аппроксимирующего многочлена второй степени (20) (пунктирная линия).
При физически допустимых шкалой абсолютных температур значениях Gr0/T0 < 1 имеем b < 3/2
и f (0) = 46(1 + b + b2 + b3/5) > 0, f(n) = 4b(1 + b2 -- b(1 + b2/5)) < 0.
Правая часть формулы (18) является монотонной функцией аргумента 1 + b cos 0, который убывает при изменении 0 от нуля до п. Следовательно, функция q(0) на отрезке [0; п] монотонно убывает от значения q(0) > 0 до значения q(n) < 0. Из формулы (18) находим значение угловой координаты
00(b) = arccos((l/ b4 + 2/b2 + 1/5)1/4 - 1/b) < V2, при котором плотность результирующего излучения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.