ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 4, с. 36-38
УДК 539.183.3
РАСЧЕТ АТОМНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ В ПРИБЛИЖЕНИИ ОБОЛОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ
© 2004 г. Ф. П. Коршунов, А. П. Лазарь
Институт физики твердого тела и полупроводников, Минск, Беларусь Поступила в редакцию 10.10.2003 г.
В приближении оболочечной модели получено простое аналитическое выражение для статического потенциала изолированного атома. Потенциал имеет форму экранированного кулоновского потенциала с функцией экранирования томас-фермиевского типа и учитывает парциальные вклады всех электронных оболочек атома. Подгоночные параметры для каждой оболочки - эффективный заряд ядра и ее заселенность - находятся в результате аппроксимации расчетных значений хартри-фоковских атомных формфакторов. Точность аппроксимации ограничена точностью представления исходных данных.
ВВЕДЕНИЕ
атомным номером X имеет вид
Трактовка основных явлений, связанных с прохождением заряженных частиц через вещество, прямо или косвенно опирается на понятие потенциалов взаимодействия. Применение ион-атомных (атом-атомных) потенциалов независимо от конкретной задачи позволяет в первом приближении исключить из рассмотрения многие детали электронной структуры вещества, что существенно упрощает теоретический анализ.
Основные теоретические предпосылки, на которых базируется расчет статических потенциалов изолированных нейтральных атомов, хорошо разработаны [1]. Тем не менее, непрерывный прогресс в этой области вызывает необходимость постоянного совершенствования теории. Тем самым создается перспектива для развития и применения нестационарных и квазистационарных приближений. Вместе с тем, сохраняют свое значение и многочисленные модельные аппроксимации, лежащие в основе практических расчетов по радиационной физике.
В настоящей работе в приближении оболочечной модели получено простое аналитическое выражение для статического потенциала изолированного атома. В основе рассмотрения лежит подход, использованный нами ранее при аппроксимации плотности распределения атомных электронов с помощью одноэлектронных слэтеров-ских орбиталей [2].
ТЕОРЕТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
В теории Томаса-Ферми выражение для статического потенциала изолированного атома с
Хе
У( г) = — ф( г/а), г
(1)
где ф(г/а) - функция экранирования, а - радиус экранирования. Конечно, функция ф не отражает такие особенности строения атома, как оболочечная структура, но аппроксимирует результаты хартри-фоковских вычислений достаточно хорошо (хотя и завышая их на больших расстояниях).
Явного аналитического выражения для функции экранирования нет. Для расчетов часто используется приближение Мольер-Фирсова [1]:
ф( г/а) = ^а; ехр (-р,г/а),
(2)
; = 1
где а; = {0.1, 0.55, 0.35}, в = {6.0, 1.2, 0.3}. Формула (2) удобна тем, что наряду с простым видом она на больших расстояниях идет ближе к расчетным значениям, чем функция Томаса-Ферми. Точность выражения (2) ограничена тем, что параметры аппроксимации получены путем усреднения по широкому диапазону изменения X. Поэтому при расчетах, требующих большей точности, необходимо прибегать к дополнительным методам. В частности, можно использовать результаты расчета хартри-фоковских волновых функций основного состояния атомов.
В [3] приведены значения релятивистских атомных формфакторов, полученных в приближении Хартри-Фока для атомов с X = 2-98. Данные величины являются фурье-образами пространственной плотности атомных электронов р(г):
Л (*) = 4п| г2р( г) ^ г
(3)
3
РАСЧЕТ АТОМНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
37
где q - величина изменения волнового вектора. Там же приведены выражения для интерполяции табулированных величин.
При проведении расчетов удобнее использовать аналитические выражения, аппроксимирующие значения формфакторов в заданном диапазоне изменения волнового вектора. Соответствующие выражения, полученные нами ранее на основе слэтеровских орбиталей [2], можно представить в следующем обобщенном виде:
/*( q) = X q)
Гп( q) = -
(2 ^)
2 п + 1
\2п -1
(4)
(2п)! Э( 2 ^ )2п-1 q2 + (2^п)
где £п(q) - парциальный вклад электронов п-й оболочки, = ^п, Ъп - эффективный заряд ядра для электронов соответствующей оболочки, Сп - ее заселенность. С целью упрощения формул различие между электронами одной оболочки не проводилось. Данный метод обеспечивает точность, в два-три раза превышающую точность аппроксимаций, используемых в других работах [2]. Практически она ограничивается точностью представления исходных данных. Аналогичные выражения для формфакторов были получены в [4] при нахождении аналитической интерполяции одноэле-ктронных функций на основе приближенного решения уравнения Хартри-Фока.
С помощью уравнения Пуассона от формул (4) можно легко перейти к потенциалу атома У(г):
У(г) = ^|(г - /х(q))
qг
(5)
Фп (г) = 1 +
У( г) = г£ СпФп(х)
с
2п + 1 Э2 п 1 1-ехр (-2 СпГ)
(6)
(2 п)!
2п - 1 п
Г2
п
ный член и варьировался коэффициент заселенности, что существенно повышало точность аппроксимации [2].
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Приведем в явном виде выражения для парциальных вкладов первых четырех электронных оболочек (К, Ь, М и Ы) в функцию экранирования:
Ф1 (г) = (1 + г) ехр (-2 ^ г), Ф2( г) = (1 + 3 ^г + (С2 г )2 + 1 (С2 г ехр (-2 £2г),
Фз (г) = ^ 1 + 5 Сз г + 4 (Сз г )2 + 3 (Сз г )3 +
(7)
+ 9 (^3 г )4 + 45 (^з г )5) ехр (-2 ^),
Ф4 ( г ) = ^ 1+4 ^г +з (^4 г )2 + 6 (^4 г )з+з (^4 г )4 +
+ 4)(^г)5 + 1 (С4г)6 + ^(С4г)7 )ехр(-2^г).
10ч
45
з15
где е - элементарный заряд. Получающееся в результате интегрирования выражение имеет форму экранированного кулоновского потенциала с функцией экранирования томас-фермиевского типа:
Следует сразу отметить, что в отличие от приближений Мольер-Фирсова и аналогичных ему, весовые множители перед экспонентами являются не константами, а полиномами степени 2п - 1, где п -номер оболочки. Вторая особенность заключается в том, что число экспоненциальных членов в функции экранирования не фиксировано, а зависит от
Дф, % 5
Суммирование идет по оболочкам в соответствии с электронной конфигурацией атома. Подгоночные параметры для каждой оболочки - эффективный заряд ядра и ее заселенность - находятся в результате аппроксимации расчетных значений атомных формфакторов [3]. Как и в (4), различие между электронами в пределах одной оболочки не проводилось. При необходимости, по мере заполнения оболочки в сумму добавлялся однотип-
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
г, а. е.
Отклонения функций экранирования атома кремния в аппроксимациях Мольер (1) и Фирсова (2) относительно хартри-фоковских значений. Расстояние от атома дано в единицах радиуса Бора. Ск = 2.03252, гк = 14.06573; СЬ1 = 5.38233, 2Ь1 = 10.32495; СЬ2 = = 2.45530, гЬ2 = 7.99497; СМ1 = 2.88762, 2М1 = 4.98222; СМ2 = 1.24223, гМ2 = 3.17091.
п
о
38
КОРШУНОВ, ЛАЗАРЬ
числа оболочек, входящих в электронную конфигурацию атома, и увеличивается с ростом X.
На рисунке представлены отклонения функций экранирования атома кремния в аппроксимациях Мольер и Фирсова (2) относительно значений, полученных на основе формул (7). Данные аппроксимации достаточно часто применяются в расчетах по радиационной физике и каналирова-нию заряженных частиц и отличаются между собой выбором параметра экранирования [1]. Видно, что для первой кривой отклонение относительно хартри-фоковских значений достигает 5%. Уточнение потенциала, предложенное Фир-совым, заметно исправляет ситуацию, оставляя, тем не менее, погрешность в 1-2%. Из проведенного сравнения следует, что использование универсальной функции экранирования, удобное с практической точки зрения, не всегда обосновано количественно.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в приближении оболочечной модели получено простое аналитическое выра-
жение для статического потенциала изолированного атома. Потенциал имеет форму экранированного кулоновского потенциала с функцией экранирования томас-фермиевского типа и учитывает парциальные вклады всех электронных оболочек атома. Подгоночные параметры для каждой оболочки - эффективный заряд ядра и ее заселенность - находятся в результате аппроксимации расчетных значений атомных формфакторов. Практически точность аппроксимации ограничена точностью представления исходных данных.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке БРФФИ (грант № Ф00-122).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дедков Г.В. // УФН. 1995. Т. 165. № 8. С. 919.
2. Коршунов Ф.П., Лазарь А.П. // Ядерная физика. 2003. Т. 66. С. 1.
3. International Tables for Crystallography / Eds Wilson A.J., Prince E. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. V. C. P. 549.
4. Feranchuk I.D., Gurskii L.I, Komarov L.I. et al. // Acta Crystallogr. A. 2002. V. 58. P. 370.
Calculation of Atomic Potentials in the Shell Model Approximation
F. P. Korshunov, A. P. Lazar
Within a shell model approximation we have derived a simple analytical expression for the static potential of an isolated atom. The potential has a screened Coulomb form with a screening function of Thomas-Fermi type and takes into account partial contributions of all electron shells of the atom. Fitting parameters for each shell (the effective charge of the nucleus and the shell population) are result obtained from the fitting of Hartree-Fock atomic scattering factors. Accuracy of the approximation is limited by the accuracy of initial data.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.