РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 6, с. 656-664
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.372
РАСЧЕТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ С ВЫТЯНУТЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
© 2004 г. М. В. Елисеев, А. Г. Рожнев, А. Б. Маненков
Поступила в редакцию 01.07.2003 г.
Методом конечных элементов с интегральными граничными условиями исследованы направляемые моды диэлектрических волноводов с сечением большого формата. Рассчитаны критические частоты и дисперсионные зависимости мод для волноводов нескольких форм (включая волноводы эллиптического и прямоугольного сечений).
ВВЕДЕНИЕ
В интегральной оптике широко используют диэлектрические волноводы (ДВ) с вытянутой формой поперечного сечения. Для таких волноводов форма сечения /, т.е. соотношение характерных размеров сечения вдоль взаимно ортогональных осей, может достигать значений/~ 10.. .103 и даже больше. При / > 1 обычно считают такой ДВ диэлектрической пленкой, т.е. применяют планар-ное приближение [1]; при этом полагают, что поля направляемых мод (НМ) не зависят от одной из поперечных координат (вдоль большего из размеров). Хотя применимость такой аппроксимации при / > 1 не вызывает сомнения, тем не менее интересно определить границу работоспособности этого приближения, его точность, а также различие в свойствах мод для двумерной и трехмерной геометрий.
Отметим, что ДВ с большим форматом имеют своеобразные дисперсионные зависимости. В достаточно широкой области параметров они ведут себя как двумерные системы [2], в то же время в области очень малых замедлений (например, при стремлении волнового числа к нулю) дисперсионные зависимости НМ таких волноводов подчиняются закономерностям, свойственным трехмерным структурам, которые существенно отличаются от свойств двумерных систем [1, 2]. В указанной переходной области происходит сильное изменение структуры полей и других характеристик НМ. Заметим, что интерес к таким эффектам не является чисто теоретическим. Подобные значения экстремально малых замедлений могут возникнуть в волноводах на основе электрооптического эффекта [3], когда направляющий слой создается в прозрачном полупроводнике за счет постоянного напряжения смещения. В подобных структурах, используемых, например, в переключателях, в момент отключения смещения параметры ДВ проходят через зону, указанную выше. Заметим, что вопросы анализа ДВ с большим форматом сечения могут возникнуть и в других задачах (на-
пример, при оптимизации систем с большим дву-лучепреломлением, при исследовании связи мод планарного ДВ с волноводом небольшого формата, при изучении паразитных мод подложки ограниченного размера, при конструировании оптических датчиков).
В силу специфических свойств НМ волноводов с вытянутым поперечным сечением их расчет достаточно сложен, особенно вблизи или на критических частотах. Одним из возможных способов анализа таких структур является метод конечных элементов (МКЭ) [4-6]. Основная сложность при использовании этого подхода связана с трудностями представления полей НМ вдали от оси ДВ и на средних расстояниях [6], особенно в области небольших замедлений. Широко используемый способ, основанный на введении бесконечных элементов, для таких ДВ становится очень трудоемким, так как приходится проводить сложную операцию поиска оптимальных параметров базисных функций [6]. При / > 1 не очень эффективны также версии МКЭ, в которых для представления дальних полей использовали разложения по цилиндрическим гармоникам [6] или вводили импедансные условия на вспомогательной цилиндрической поверхности [7, 8]. В частности, укажем, что при расчетах этими методами ДВ с вытянутым сечением, как правило, получаются системы алгебраических уравнений очень большого порядка, что затрудняет реализацию таких подходов.
В работе [9] предложен вариант МКЭ, в котором решение внутри области, содержащей сердцевину ДВ, искали по стандартному алгоритму, а на граничном контуре этой области записывали интегральное соотношение для поля и его производной. Это интегральное соотношение играет роль обобщенных (нелокальных) граничных условий, которые позволяют не рассматривать поля в окружающем контур пространстве. В некотором смысле такой подход близок к методике работ [7, 8], однако там использована локальная связь поля и его производной, причем метод (при
конечном радиусе контура) был приближенным. В данной работе указанный метод модифицирован. В частности использованы более мощные и надежные алгоритмы решения соответствующих алгебраических задач, а затем эта методика применена к расчету дисперсионных зависимостей и критических частот НМ волноводов с большим форматом поперечного сечения. Отметим, что задача расчета критических частот имеет важное практическое значение, например для определения одномодового режима работы ДВ.
1. ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА
Рассмотрим следующую модель диэлектрического волновода. Предполагаем, что в поперечном сечении сердцевина волновода О£ представляет собой ограниченную область, в пределах которой относительная диэлектрическая проницаемость £ может быть произвольной (со стандартными ограничениями на гладкость) функцией поперечных координат х и у. Вне этой области диэлектрическая проницаемость постоянна и равна £е, причем для существования хотя бы одной НМ необходимо, чтобы тах £ (х, у) > £е. В дальнейшем предпола-
( х, у )ЕЙ£
гаем, что диэлектрические потери отсутствуют, т.е. 1т £ = 0. Для простоты будем считать, что оси декартовой системы координат является осями симметрии контура сечения волновода. Пример такого ДВ показан на рис. 1. Введем замкнутую линию Г, которая целиком лежит вне области О£ и охватывает ее. Будем называть линию Г границей сопряжения. Геометрия линии Г может быть достаточно произвольной; обычно удобно выбирать ее в виде многоугольника (см. ниже). Обозначим также через О- и О+ соответственно области внутри и вне Г.
Задачу решали в скалярном приближении [1, 2], считая, что диэлектрические проницаемости сердцевины волновода и оболочки близки по величине. С учетом симметрии ДВ вектор поперечного электрического поля Е± поляризован вдоль одной из координатных осей, причем фазовые скорости взаимно ортогональных мод равны (моды вырождены). В дальнейшем будем анализировать только одну из этих мод, обозначая доминирующую компоненту электрического поля через Е(х, у)ехр(г'вг), где в - продольное волновое число (постоянная распространения НМ); остальными компонентами вектора Е пренебрегаем. Скалярная функция Е удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
VIЕ + {к2[£(х, у) - £е] - }Е = 0,
о 2 , 2
в = к £е
+ w
(1)
(2)
Рис. 1. Поперечное сечение волновода и системы координат.
где к = ю/с - волновое число в вакууме (ю - частота и с - скорость света), м> - поперечное волновое число
моды вне сердцевины волновода, ^ = Э2/Эх2 + Э2/Эу2.
Опишем методику алгебраизации задачи. Сначала рассмотрим точки, лежащие внутри 0-. Для решения уравнения (1) в области используем стандартный МКЭ. Всю область разбиваем на треугольные элементы. Полное число узлов обозначим через М!, число узлов Мй лежит на границе сопряжения Г. Умножим уравнение (1) на произвольную непрерывную функцию Е и проинтегрируем по 0-. Воспользовавшись формулой Грина, получим слабую интегральную формулировку задачи [4-6]:
| V Е V Ейо + 1Е Ейо - °ЕдЕ йГ =
= к2£(х, у) - £е]ЕЕйО,
(3)
дЕ
где д--производная по внешней нормали к границе Г, йО = йхйу, йГ - элемент дуги контура Г. Для того чтобы получить дискретные уравнения, используем для поля Е и его нормальной производной дЕ/дп стандартную конечно-элементную аппроксимацию:
Е(х, у) = ^М(х, у)Е', (х, у)е О-,
г
г = 1, М1, дЕ (х, у) / дп = ^ М (х, у) (х, у )е Г,
г
г = 1,Мй.
(4)
(5)
Здесь N (х, у) и N ; (х, у) - функции формы, зависящие от геометрии конечно-элементной сетки, Е и Ег - значения поля и его нормальной производной
О.
О.
О
в узлах сетки. Отметим, что величины Е, определены только для узлов, лежащих на границе сопряжения.
Подставим (4) и (5) в (3) и выберем в качестве
весовых (штрафных) функций Е те же самые функции формы N (х, у), I = 1, ..., М/; в результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
X Еа ц + у2Х Е ь ц _ X Е,с,у = к2Х Е4 (6)
где
= Ni V N/0., Ьу = | N¡N/0., п_ п_
с,у = фN¡N4Г, 4уу = ф[е(х, у) _ £е]N¡N^0.
Число уравнений (6) равно М, в то время как число неизвестных равно М/ + М4, так что линейная система (6) недоопределена. Ее можно представить в следующей матричной форме:
2 2 А(у )X = к ВХ,
(7)
22 ет при х + у
У(хо, Уо)
2 п
Е(хо, Уо) _
Е(х, у)дп в(х, у, хо, Уо) _
(10)
_ в(х, у, хо, Уо) дп Е(х, у)
4Г = о,
При алгебраизации уравнений естественно потребовать, чтобы узлы, используемые в МКЭ и в интегральном соотношении, были согласованы, т.е. на контуре Г они совпадали бы. Для поля и его нормальной производной используем то же представление, что и выше. В результате получаем еще одну СЛАУ:
2п ~Еу _ XРЕ + X= о, ■ = М4. (11)
i i
Здесь Ру и дуу - коэффициенты, определяемые следующими интегралами:
(12)
Ра = ф^(х, у)дпв(х, у, х , у у)4Г,
где X - вектор-столбец, состоящий из величин Е, и Е, а элементы разреженных прямоугольных матриц А и В составлены из величин а,, Ьу, Су и .
Перейдем теперь к выводу интегрального соотношения между полями и производными на границе сопряжения Г. Для области 0+, лежащей вне Г, уравнение (1) имеет вид
V!Е _ у2Е = о. (8)
Функция Грина этого уравнения, которая убыва-л/х + у —» равна
да = фNi( х, у) в (х, у, хр у у) 4Г,
Г
у, = у(ху, у). Коэффициенты ру, зависят как от геометрии контура Г, так и от значения поперечного волнового числа у. Матрица системы (11) является заполненной. Число неизвестных составляет 2М4, а число уравнений равно Мл. Поскольку поле и его производные на границе сопряжения непрерывна, то для каждого узла контура Г выполнены равенства
Е, = Е, , р = Е, .
(13)
Объединяя уравнения (6), (11) и (13), придем к СЛАУ с квадратной матрицей, порядок которой равен М/ + 3Ма. Эту систему можно записать в виде
А (у2) X = к2В X,
(14)
1 I 2 2
в(х, у, хо, уо) = 2Пко(у 4(х _ хо) + (у _ уо) ), (9)
где К0 - функция Макдон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.