РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 3, с. 354-364
ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА
УДК 517:519.642:537
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ СИЛЬНОТОЧНОГО НЕРЕЛЯТИВИСТСКОГО ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В САМОСОГЛАСОВАННОМ ПОЛЕ
© 2004 г. Б. А. Остудин, А. В. Романенко
Поступила в редакцию 10.01.2003 г.
Проведено численное моделирование движения пучка заряженных частиц. Предложен алгоритм решения стационарной самосогласованной задачи в областях с осевой симметрией на основе метода интегральных уравнений. Эффективность методики подтверждена расчетами плоскопараллельного диода с неограниченной эмиссионной способностью катода, пушки Пирса сферического типа со сходящимся потоком, плазменной границы источника высоковольтного тлеющего разряда электронно-ионной оптической системы.
введение
Проблемы генерирования и транспортировки сильноточных пучков заряженных частиц (в частности, в задачах инерционного термоядерного синтеза, микроэлектронной и лазерной технологии, физики плазмы для получения высококачественных покрытий, а также в задачах физики тлеющего разряда) приводят к необходимости исследования движения такого пучка во внешнем электромагнитном поле [1-5]. На практике особенно важными являются случаи интенсивных потоков, в которых нужно учитывать собственный объемный заряд пучка. Расчет нерелятивистского пучка заключается в решении стационарной самосогласованной задачи: системы уравнений электрического поля, уравнения движения заряженных частиц и уравнения непрерывности заряда при заданных начальных и краевых условиях.
Чтобы решить такую задачу, необходимо отыскать распределение потенциала (задача Дирихле для уравнения Пуассона), плотности токов и объемных зарядов, распределение траекторий в межэлектродном пространстве. Весь этот процесс реализован путем последовательных приближений по объемному заряду [1], моделирование которого осуществлено методом трубок тока [6].
Основным методом решения граничной задачи для уравнения Пуассона до сих пор является конечно-разностный метод [1, 7-10]. Однако эффективные алгоритмы ее решения можно получить методом интегральных уравнений [11, 12], который позволяет определять неизвестные величины только на граничных поверхностях. При этом потенциал поля и напряженность определяются интегрированием плотности с одинаковой точностью, а учет сингулярностей на контуре разомкнутой поверхности и в ядре интегрального уравнения повышает вычислительную точность возле границы.
Используемое интегральное уравнение решаем методом квадратур на основе формулы Эрмита. Интегрирование уравнения движения осуществляем методом типа предиктор-корректор Адамса-Башфорта-Мултона. Итерационную процедуру решения самосогласованной задачи строим на основе нижней релаксации по плотности тока с ускорением сходимости по Начамкину-Хенкоку [13] Полученный алгоритм проверяем вычислительными экспериментами.
1. постановка задачи
Рассмотрим пространство V, заполненное объемным зарядом с плотностью р, и кусочно-гладкую разомкнутую поверхность электродов 5 в нем. Пусть 5 представляет собой совокупность поверхностей 5;, полученных путем вращения вокруг оси г некоторой цилиндрической системы координат (г, ф, г) образующих Ц, которые в плоскости гОг задаются параметрическими уравнениями
[Г; = Г;(Т)' т(1° < т <т2;); ; =1,..., N; [г; = г1(1),
ц = и ц.
; = (
Пусть на 5 заданы значения потенциала, причем потенциал эмиттера принимаем равным нулю. Считаем заряженные частицы нерелятивистскими (магнитным полем, возникающим во время их движения, пренебрегаем). Рассчитаем движение пучка, ограниченного объемным зарядом.
Распределение потенциала и является решением внешней задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве со "щелями":
Аы = -р/е0 вне S = ^St,
i = 1
ы| = Ф,- (M), M е Si,
(1) (2)
при условии регулярности решения на бесконечности, где £0 - диэлектрическая постоянная, а Ф¿ -значение потенциала на соответствующем электроде. Заметим, что функция р определяется характером движения пучка, т.е. зависит от поля.
Уравнение движения частиц массы т и заряда е запишем в виде
d2r(t) = e_ dt2 = m
E,
(3)
Г(о) = do, r(о) = 0.
(4)
Систему уравнений (1)-(4) замыкает уравнение непрерывности заряда относительно тока I:
div I = 0.
(5)
2. общая схема решения самосогласованной задачи
Объемный заряд моделируем методом трубок тока [6]. Для этого эмитирующую поверхность разделим на несколько секций в предположении, что траектории частиц, эмитируемых одной секцией, подобны и образуют трубку с постоянным током Ip = const.
С целью перехода от физической модели к математической введем безразмерные величины:
Т , r Т , То То
ы =
Ыо
>• =р, ро
С' =
t = т, I = 1, q =
т-3'
Ро То
т = Л-
J Jo,
S =
__S___ т2 Т
где г (г) - радиус-вектор частицы; г - время; Е - вектор напряженности электрического поля Е=^г^ и. Считаем, что частицы стартуют с некоторого
расстояния й0 от эмиттера, на котором имеет место закон Чайлда-Ленгмюра [14], с нулевой начальной скоростью:
где Ь0, г0, и0, 10, р0, а0, /0 - некоторые характерные величины длины, времени, потенциала, тока, плотности объемного заряда, плотности поверхностного заряда, плотности тока, причем
t = —
то = .. ,
3
= ,2e| u J = ро Lo
"о = ,/,„,, Ыо, Jо = " m
t
о
Со = Ро Тo, J о = Ро vo.
Задачу (1)-(5) решаем путем последовательных приближений по объемному заряду. Процесс итераций начинаем с определения поля при нулевом пространственном заряде. Межэлектродное пространство разбиваем на п элементарных ячеек - цилиндрических трубок высотой Дzk и шириной Агк, образованных вращением вокруг оси z прямоугольников
z
о
о
о
о
= j Г, z: rk - 2 Аrk < r < rk + 2 Аrk, zk - 1 Azk < z < zk + 1Аzk
с центрами в точках (гк, zk). При этом объем каждой трубки равен Ук = 2тсгкДгк^к.
Внутри к-й ячейки имеется элемент, моделирующий поле пространственного заряда ск. Часть заряда Срк, которую вносит р-й луч, вычисляем по формуле Срк = 1ргрк, где грк - время пребывания
частиц р-го луча в к-й ячейке. Общий заряд с[к + на следующем шаге итерационного процесса получаем с учетом суммирования по всем траекториям, проходящим через Ук:
-О + 1)
k
= ^Jp )tpk, n = 0 1 > 2,
(6)
qf = 0.
Считаем, что заряд qk)
к-й ячейке после п-й итерации можно преобразовать в распределенную плотность объемного заряда ркп) = С<к) /Ук. Тогда, решив задачу Дирихле (1)-(2), найдем потенциал, используя который, проинтегрируем уравнение движения (3) при условиях (4). Далее на основании полученных траекторий и токов каждой
p
трубки, пользуясь уравнением (6), определим новое распределение заряда + (). Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока соседние приближения токов не совпадут с заданной точностью е:
max|l - Ip + 1)/IPn)|
<E.
(7)
3. расчет электрического поля Решение задачи (1)-(2) ищем в виде
и(M) = ik1
а ( N) dSN 0, R( M, N) '
S
4пе
1£rJ
Р ( P) dVp 0* R ( M, P ) '
V
(8)
А и' = - D р', где D =
а формулу (8) представим так:
7-2
Ро L0
D fа'(N)dSN D гр'( P) dVP '( м, p ) .
'(M) = D Га( N) dSN- D гр,
V ! 4J R' (M, N) 4nJ R
Далее после введения безразмерных аналогов, если нет специальных указаний, штрихи опускаем. Не умаляя общности, примем D = 1.
Учитывая осевую симметрию поля, потенциал определяем в плоскости ф0 = const, которая является половиной меридианного сечения поверхности S:
и (r, z) = 1J nJ
а(rN, Zn)rNK(kN)
1 \
kJ
lJ (rN + r) 2 + ( Zn - z)2 р( rp, Zp) rpK(kp)
•ALn -
(9)
drPdzP.
где первый интеграл выражает потенциал поверхностных зарядов, распределенных с плотностью с(Ы) по 5, а второй - потенциал объемных зарядов, распределенных с плотностью р(Р), при этом Я(М, N и Я(М, Р) - расстояния между соответствующими точками.
Учитывая безразмерный характер исследуемых величин, уравнение Пуассона (1) запишем в виде
Здесь О - область в меридианной полуплоскости ф0 = 0, заполненная объемным зарядом; (Г, г) -координаты точки наблюдения М, в которой вычисляется потенциал; (гР, гР) и (г№ гм) - координаты точек Р и N, принадлежащих области О и контуру Цсоответственно;
п/2
K( k) = 1
da
l-
1 - k sin a
- полный эллиптический интеграл 1-го рода, в котором
к = 4гГ[(г + Г)2 + (г - г)2]
Используя параметрическое представление контура Ц и удовлетворяя на нем граничные условия, получим интегральное уравнение для определения неизвестной плотности поверхностных зарядов с(т) = (сх(т),..., ©N(1)):
N 2
х 11
i = i
J( п (т) + rj (T))2 + (Zi(T) - Zj (T))2
dT = и, (т) ,
(10)
p
a
о
u0 E0
S
т
где
Uj (T) = Ф j (T) +
Р ( r P, Zp) rpK( kp) rp + rj(T))2 + (Zp - Zj(T))2
11-
kJ c
drPdzP,
F(t) = J[ ri(T)]2 + [ zi (t)]2,
(rj(T), Zj(T)) e Lj, Tlj)<T<T2j), j = 1,---, N.
(11)
tu j (t, t) = V^^+rjm^+^^-Zx^2,
ki(T,T) =
= [(r,.(T) - rj(T))2 + (Zi(T) - z;(T))2]](т, T),
K, j (т,т) = K (k (т,т)) =
4 4
= ^ apkPp -lnk1 ^ bpkPp + e(k5), k5 = 1 - k,
p = 0
p = 0
Введем следующие обозначения относительно - известная полиномиальная аппроксимация [15] независимых переменных т и т : эллиптического интеграла.
Тогда интегральное уравнение (10) примет вид
4°) = У1- (4°)2а,.( s«) r¿( sk>) F¿ (s«)
n ^
А а = Y 1 [а ¿(т) r,(x) K¡ j (т,т) Г-" 1 (т, т) F¿ (т) dx = получим систему линейных алгебраических урав-п ' (12) нений относительно qm, m = 1, ..., P:
= и;-(т), т(л<т<т2", ; = (,...,N.
Таким образом, имеем задачу отыскания плотности распределения зарядов вдоль кривой Ь, поскольку правая часть в (10) считается известной. После определения а потенциал в любой точке пространства (г, Z) вычисляем по формуле (9). При этом компоненты вектора напряженности получим путем дифференцирования по г и Z выражения (9):
(j)
Er = -
ди 1
д r
= 1 [а(rN, zN)rN x nJ
XJ 2D(kN)rN - E(kN)(rN - r)/( 1- kN) I X|-й-^-^-Г -
l [( rN + r) + (Zn - z)] J
1[p(rP" Zp)r
XJ 2 D (kp) rp - E (kp)(rp - r) / (1- kp) I
X|-p-^^--Vr^-П^'
l [(rp + r) + (Zp - z) ] J
^ ди
Ez = - dU
= -1 [а(rN" Zn)rN X nJ
X --ZT---2-JT2dL +
[(rw + r) + (Zn - z) ]
1 [p(rp" Zp)r
E(kp)(zp - Z)/(1- kp)
[(rp + r) + (zp - Z) ]
2n3/2
drpdzp,
где E(k) = J^/2 л/1 - k sin2 а da - полный эллиптический интеграл 2-го рода;
D(k) = [K(k) - E(k)]/k.
Разреш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.