РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 2, с. 173-178
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.391
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ, СОЗДАВАЕМЫХ ДИПОЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ В КРУГОВОМ ПРОВОДЯЩЕМ ЦИЛИНДРЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
© 2015 г. М. Н. Крамм, Н. О. Стрелков
Национальный исследовательский университет "МЭИ" Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14 E-mail: KrammMN@mpei.ru Поступила в редакцию 02.07.2013 г.
В квазистатическом приближении рассмотрена реализация аналитического метода расчета электрических потенциалов, возбуждаемых дипольным источником в круговом проводящем цилиндре конечной длины. Такой подход ориентирован на определение потенциалов на поверхности грудной клетки при малых вычислительных затратах, что позволяет восстанавливать параметры источника по измеренным поверхностным потенциалам в обратных задачах электрокардиографии. На основе сравнительного анализа разных подходов предложена коррекция разложений электрического потенциала в двойные ряды по угловым и радиальным вариациям. Полученные соотношения сведены к виду, удобному для проведения расчетов. Предложенные формулы проверены путем сопоставления с результатами, полученными численными методами. Исследован вопрос о выборе числа членов при суммировании двойных рядов.
Б01: 10.7868/80033849415020072
ВВЕДЕНИЕ
Расчет (анализ) электрических потенциалов, возбуждаемых токовыми источниками в проводящих телах, представляет интерес в ряде практических задач: например, в электрогеоразведке, электрокардиографии, электроэнцефалографии. Использование методики расчета электрических потенциалов актуально при решении обратных задач, связанных с неинвазивным определением (реконструкцией) координат и ориентации токовых источников по электрическим потенциалам, измеренным на поверхности проводящих тел. Известны численные методы решения уравнений теории поля (уравнения Пуассона и Лапласа): метод конечных элементов и метод граничных элементов (МКЭ и МГЭ соответственно). Однако при достаточно сложной форме поверхности проводящих тел и учете внутренних неоднородно-стей в проводящих телах вычислительная трудоемкость МКЭ и МГЭ становится препятствием на пути решения обратных задач, в которых прямой расчет потенциалов проводится многократно. В силу вышесказанного актуальным является анализ моделей проводящих тел, которые, с одной стороны, отражают наиболее существенные свойства таких тел, и, с другой стороны, позволяют использовать аналитические методы расчета электрических потенциалов.
В работах [1—4] рассмотрены методы расчета потенциалов для случая аппроксимации поверхности проводящего тела сферой [1, 2] или сфероидом вращения [3, 4]. Однако применительно, например, к задачам электрокардиографии более реалистичной является аппроксимация поверхности торса цилиндром конечной длины. Известны работы, посвященные расчетам потенциалов, возбуждаемых точечным диполем в проводящем круговом цилиндре [5—11].
Целью данной работы является согласование результатов упомянутых выше работ, а также получение удобных для практических расчетов соотношений для электрических потенциалов на поверхности цилиндра при любом расположении диполя внутри проводящего цилиндра, в том числе и около его оси.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается проводящий прямой круговой цилиндр высотой Ни радиусом Я (рис. 1), координаты точки наблюдения будем обозначать р, ф, г, а координаты точки размещения диполя — р', ф', г'. Диполь характеризуется вектором токового момента М. Уравнение Пуассона для потенциала Ф(г) в данном случае имеет вид
у2Ф(г) = -М УДг - г) (1)
а
173
5*
М
дФ др
= 0,
дФ
дг
= 0.
(2) (3)
г=0, г=Н
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Исторически первой работой по круговому цилиндру является работа Э. Франка [5], основанная на представлении потенциала монополя (функции Грина) в безграничной однородной среде в цилиндрических координатах:
я?, Г) = —= П £ (2 -5 °т):
г - г п
1=0
|Гт(^р)/т(^р)СС8 Мг - да
ео8 т(ф - ф'),
где |г - г | — расстояние между точкой расположения источника и точкой наблюдения, 1т, Кт — модифицированные функции Бесселя 1-го и 2-го рода с порядком, равным номеру угловой гармоники при разложении решения в тригонометрический ряд. Данное разложение имеет сходящийся вид при устремлении радиуса точки наблюдения к бесконечности. Переход к потенциалу диполя осуществляется путем дифференцирования функции Грина в соответствии с (1):
ф(г, Г) = М V гО(г, г'), а
(5)
Рис. 1. Проводящий круговой цилиндр конечной длины.
где а — проводимость внутренней среды; дифференцирование в правой части проводится по координатам источника. Проводящий цилиндр окружен воздухом с нулевой проводимостью, поэтому на поверхности цилиндра потенциал удовлетворяет граничному условию электрической изоляции
Используя полученное разложение и граничное условие (2), Э. Франк получил выражение для диполя в круговом цилиндре бесконечной длины, находящегося в центре этого цилиндра. Практическое использование данного выражения осложнено необходимостью применения численных методов для нахождения интегралов по пространственной частоте X, вытекающих из (4).
В работе [6] при использовании метода зеркальных изображений был совершен переход к цилиндру конечной длины, однако полученные при этом соотношения содержат определенные интегралы, для определения которых требуются численные методы.
Развитие работ [5, 6] осуществлено в статье Р. Окады [7], в которой граничное условие (3) на торцах цилиндра приводит к тому, что непрерывное спектральное разложение по пространственной частоте X в (4) становится дискретным с пространственными частотами X п = пя/ Н, где п — целое число вариаций поля по высоте и радиусу. При этом выражения для потенциала ¿-диполя принимают вид двойных рядов по углу и по радиусу (высоте):
ф г Г) = м у пл 81п ил? ео8 ипг х
г Н лст Н Н Н
п=0
У (2 "8°т)
п=0
Кт(
Кт (Н)
_I ПЛР
/т(н) тЫ
х (6)
х 1т еоБ т(ф-ф').
(4) Здесь коэффициент перед / т
ппр\
~Н~!
в квадратных
скобках выбран Р. Окадой на основании граничного условия (2) на боковой поверхности цилиндра.
у
х
со
По аналогичным соображениям в работе [7] получены выражения для р-диполя и для ф-диполя:
ф р00 = у пп
р Нтсст „ Н
п=0
ппг ппг cos—:-cos—1 X
Н
Н
у (2 - 81)
т=0
Н
Кт
Кт М--Ш1т (
ппЯ\
• ¡ппЯ Н
Н
х (7)
х 11 cos т(ф - ф'),
Мт
ф ^ =У cosппг-cosппг х ф Н па Н Н
п=0
у (2 -81)
и=0
К • (ппЯ) К [ШР\ \ Н ' т [ппр\ \ Н I 1 • (плЯуЛН!
Н
х (8)
X 1П
ппр'\
р
^т т(ф - ф)
да да
2У ^У (2 -8 П).
(9)
п=0 п=0
Однако даже после коррекции (9) в формулах (6)—(8) остается особенности, связанные с
тем, что Гт ) = 0 для члена с п = 0. Для раскрытия неопределенности в (6)—(8) нами был рассмотрен предельный переход при п ^ 0, который с учетом (9) позволил получить, например,
для р-ориентированного диполя следующее выражение:
Фп=°(?) =
М„
(■ +
2паЯН
/
Я \Р
cos [т(ф - ф')] >.
В результате для р-диполя и по аналогии для ф-диполя получаем
Ф р(Г) =
У (2 -81)
М,
Н па^ Н
п=1
п=0
^ пп cos ппг. cos ппг х Н Н
. (тлЯ) I Н ! 1 {ппр\
К,
К (ппР\___
т\н) г (ппЯ\±т \ Н
Н
(10)
М
х 1'т ((ПP-|cos т(ф - ф) + -
Н! 2паЯН
\Я
У
п=1
Я
ч-1
я
cos
[т(ф - ф')]
Р. Окада показал, что этот результат согласуется с результатом Х. Бургера [6], но больше подходит для использования вычислительных методов, поскольку не требуется численный расчет определенных интегралов. Решение для р-ориентиро-ванного диполя может быть сведено к решению Э. Франка [5] для кругового цилиндра бесконечной длины при Н ^ да.
Позднее в [8] был предложен альтернативный способ расчета электрического потенциала, основанный на комбинированном дискретно-непрерывном разложении Фурье—Бесселя для электрического потенциала. Авторы работы [8] указывают на недостаток данного подхода, заключающийся в необходимости выполнения интегрирования при помощи численных методов (данная проблема существует и в [6]). С этим согласны и авторы работы [9], которые рассмотрели результаты Р. Окады и установили, что в формулах из [7] слагаемые с п = 0 были ошибочно учтены дважды. Поэтому согласно [9] в выражениях (6)—(8) следует сделать замену
Ф Г) = ^ у Ф ^) Нпа У
п=1
ппг ппг cos——cos—- X
Н
Н
у (2 -5т)
т=0
К„
ппр Н
^ УН) 1
г (ппЯ\ т\ Н )
ппр\ Н
(11)
X 1т ()) sin [т(ф-ф')]
+
М„
^ у ((
2пН р'а , \Я
' т=1
sin \т(ф - ф')].
Для ^-ориентированного диполя суммирование по п в (6) следует начинать с п = 1. Смысл этого становится ясен, если воспользоваться теоремой Габора—Нельсона [12], согласно которой ди-польный момент в однородной среде равен интегралу от потенциала по поверхности, окружающей диполь:
М = |ф й 5,
5
(12)
где й 5 — векторный элемент поверхности, ориентированный по направлению внешней нормали. В соответствии с (12) для поверхности в форме цилиндра, окружающего диполь и ориентированного вдоль оси г, получаем Мг = 0 при п = 0 (член с п = 0 соответствует собственной функции с д/дг = 0). Заметим, что полученные соотношения идентичны разложениям, представленным для данной задачи в работе [10] путем разложения
х
да
да
да
да
да
да
функции Грина по ортонормированным собственным функциям в задаче Штурма—Лиувилля [13].
Для случая, когда точка наблюдения находится на боковой поверхности цилиндра (р = К), путем применения рекуррентных формул для модифицированных функций Бесселя можно привести соотношения (6), (10), (11) к виду, исключающему необходимость численного дифференцирования функций Бесселя:
2Mр ^
ф Р(т) = Z
HRnV
mH j ¡nnp nnp'
nnz nnz cos——cos
=1
H
H
Z (2-S m):
n=0
O) jm+1 (=Hr
'm-1 (H) + '
m+1
(nnR)
+
JP + 2У (
2naRH\R \R
L m=1
H
m-1
cos [(ф-ф)] (13)
cos
[(ф - ф")] ¡
2Mm
Ф ф(Т ) = 77^ Z
HRnC
nnz nnz cos——cos—- X
:=1
H
H
Z (2 -sm)
mH j [nnp
.T m
nnp
H
1 m-1
M
nnR H
+ J
m+1
nnR H
(14)
X sin [(ф - Ф")] + ф Z (() sin [(ф - ф')] nHp ст\R)
1 m=1
л -2Mz
Ф z (r ) = Z
HRnv
nnz nnz
1=1
Z (2 -sm)
m=0
H
nnp
H
H
j-1 (H)+j-4 m
(15)
Ф P(F) = ^
P HRna
Z
n=1
nnz nnz cos—^cos—1 X
H
H
" 1т() + Jm()
z(2-sm) T )пПЯ\+T IHRIcos[(ф-ф')]+
Mh )+Jm+1\H~)
(16)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.