ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 8, с. 23-27
УДК 537.533.2
РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ ИОИОВ, РАССЕЯННЫХ
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СЛОЯМИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ УЧЕТ ФЛУКТУАЦИЙ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ
© 2004 г. В. П. Афанасьев, А. В. Лубенченко, М. В. Лукашевский
Московский энергетический институт (Технический университет), Москва, Россия
Поступила в редакцию 10.09.2003 г.
Описан метод расчета энергетических спектров заряженных частиц, прошедших сквозь тонкие пленки твердого тела с развитым рельефом. Метод справедлив для любого вида дифференциального сечения неупругого рассеяния. Приведены расчеты спектров ионов водорода, прошедших сквозь углеродную фольгу, и проведено их сравнение с результатами компьютерного моделирования.
ВВЕДЕНИЕ
При количественной интерпретации экспериментальных спектров ионов, рассеянных твердым телом, необходима информация о детальном поведении дифференциального сечения неупругого рассеяния œin(A). Но для ионов, в лучшем случае, известны первые характеристики этого сечения: £ - средние потери энергии на единице
длины и £2 - страглинг. Кроме того, известные таблицы Андерсена и Циглера [1] указывают на отсутствие экспериментальных данных по величи-
- -2 „ нам £ и £ для энергий ионов от нескольких сотен
электронвольт до десятков кэВ. Таким образом, решение задачи интерпретации экспериментальных спектров ионов включает в себя решение обратной задачи, которая позволит получить информацию о дифференциальном сечении неупругого рассеяния.
Наиболее распространенный метод определения характеристик неупругого рассеяния в твердом теле основан на измерении энергетических спектров прошедших сквозь слой частиц. При этом необходимо использовать пленки толщиной d ~ lin (kn - длина свободного пробега между неупругими рассеяниями). Теоретическая интерпретация таких экспериментов должна последовательно учитывать флуктуации потерь энергии, так как существен вклад рассеяний малой кратности.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Пусть на плоско-параллельный слой падает направленный моноэнергетический поток частиц N0 с начальной энергией E0. В результате рассеяния частицы не изменяют направления своего движения (приближение "прямо вперед"). Энергетические спектры потерь энергии ионов, про-
шедших слой толщиной d и потерявших энергию А, описываются неупругой функцией пропускания Tin(d, А). Функция Tin(d, А) является решением граничной задачи уравнения переноса. До настоящего времени не найдено точного аналитического решения уравнения переноса в общем виде. Поэтому, рассматривая процесс неупругого рассеяния, приходится использовать некоторые приближения и допущения о характере элементарного акта взаимодействия между частицей и средой. Основой всех моделей, приводящих к аналитическому решению, является односкоростное приближение. В этом случае уравнение переноса выглядит следующим образом [2]:
А
dTin(т, А) = - Tin(т, А) + JTin(T, £)Iin(A - £)d£. (1)
о
Граничное условие учитывает тот факт, что поток падает на верхнюю грань:
Tm = (т, А)|т = о = ВДА).
Здесь 1Ы(А) = юп(А)/стп, ain - полное сечение неупругого рассеяния, т = = d/lin - безразмерная толщина слоя, 8(А) - дельта-функция Дирака.
Впервые аналитическое решение уравнения (1), последовательно учитывающее флуктуации энергетических потерь, было получено Л.Д. Ландау [3]:
Y + ¿^
1 -х Г -
TJX, А) = —e J exp(рА)exp(тImp)dp, (2)
Y - i<*>
где Iinp - лаплас-образ функции 1Ы(А). Следствием решения Ландау, описывающего спектр электронов, прошедших слой толщиной d, явилось распределение Вавилова [4], полученное для расчета процесса потерь энергии быстрыми легкими ионами.
При расчете энергетических спектров по формуле (2) мы сталкиваемся иногда с непреодолимыми вычислительными трудностями, связанными с прямым и обратным преобразованием Лапласа [5]. Расчет неупругой функции пропускания по формуле (2) удается провести для модельных дифференциальных сечений неупругого рассеяния [6].
Найдем численный метод расчета функции Ты(й, А) для любого вида дифференциального сечения неупругого рассеяния ю;п(А). Введем прямоугольную сетку {А;}:
А; = Е^ - 1), ( = 0, 1, ..., N - 1, (3)
где N - число интервалов. При вычислении средней потерянной энергии на {А;} должно выполняться неравенство:
<А> = J
ю,„(£)
£ de -
N-1
(4)
v ю,„(А,) Е
1- X —Si(1- А,)> 1-
N-1'
i = о
N>
1 - <А>/Ео
+ 1.
(5)
T,(t) = T,„(T, А,), I,,, =
r0, А , < А,
ю (А, - А,)/а ш, А , < А,.
(6)
dT
T (t) = -T (t) + IST(t)
(8)
(здесь применено поэлементное дифференцирование матриц), а граничное условие
T(t)|t = о = toe<°>,
(9)
где Е, ^ = 5(А, - А;), Ап - операция выделения п-го столбЦа матрицы А.
Уравнение (8) представляет собой векторно-матричное линейное дифференциальное уравнение с постоянными матричными коэффициентами. Решения подобных матричных дифференциальных уравнений подробно исследованы в монографии [7]. Линейное матричное уравнение (8) с граничным (9) имеет единственное решение:
T(t) = T0e-Texp{TlS}<°>,
(10)
где матричная экспонента определяется через ряд
exp {A} = X
(ii)
Из неравенства (4) следует условие разбиения на интервалы:
1
Меньшее число интервалов приводит к тому, что решается не начальная задача, а задача с деформированным дифференциальным сечением неупругого рассеяния, для которой средние потери энергии примерно равны 1 - Е0^ - 1).
На введенной сетке определим матрицу пропускания Т и матрицу I следующим образом:
Интегрирование заменяем суммированием с весами s, и запишем интеграл столкновений в виде:
а ,
JTm(T,£)I,„(А - e)de = X TjSjIi,, = IST(z). (7)
0 j = 0
Здесь S - диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны S,,, = sИспользуя (7), уравнение переноса (1) приводим к виду:
Решение (10) с учетом (11) удобны для численных определений, так как существуют быстрые алгоритмы перемножения матриц.
Основной проблемой при нахождении функции пропускания является выбор дифференциального сечения неупругого рассеяния, которое в твердом теле неизбежно будет усредненной характеристикой взаимодействия с тонким слоем, сохраняющим все свойства твердого тела, а не с индивидуальным атомом. В сороковые годы, когда была выполнена работа [2], отсутствовала информация о поведении дифференциального (по потерям энергии А) сечения неупругого рассеяния ю; п(А) в области малых потерь энергии, не было и современных возможностей выполнения численных расчетов. Поэтому в работе [2] была предпринята попытка описать энергетический спектр электронов Т;п(й, А) с помощью однопара-метрической функции (функция Ландау). Решение в виде (2) будем называть общим решением Ландау. При выводе функции Ландау был сделан ряд допущений, что привело лишь к качественному описанию экспериментальных спектров прошедших частиц. Но наибольшие трудности при расчете Т ы(й, А) с помощью функции Ландау возникают тогда, когда мы интересуемся малыми (относительно 1;п) толщинами. Функция Ландау всегда представляет собой гладкую кривую с одним максимумом, тогда как в экспериментальном спектре может наблюдаться сложная структура с многочисленными максимумами.
Ион, двигаясь в твердом теле, вызывает сильные нелинейные возмущения в электронном газе. В этом случае теория линейного отклика не дает подходящего ответа на проблему расчета неупругого дифференциального сечения рассеяния. В работе [8] предложены различные приближения для расчета вероятности неупругих потерь энергии. При расчете дифференциального сечения неупругого рассеяния ионов в твердом теле будем использовать выражение, полученное в работе [8],
0
„
Е
0
при выводе которого было использовано приближение Ритчи [9]:
1,„(А) =
1
'JEo/ £
Ci + arctg (-—=
C2 JE0/£ F c3JE00/£p + А:
(12)
А
где Ск - коэффициенты, зависящие от материала мишени, налетающего иона и его начальной энергии; ер - энергия Ферми.
При уменьшении начальной энергии Е0 неупругая длина 1п уменьшается и соответственно необходимы все более тонкие пленки для метода определения характеристик неупругого рассеяния в твердом теле. В случае тонких пленок появляется дополнительный фактор, влияющий на энергетический спектр частиц, - это флуктуации толщины пленки. В первом приближении можно считать, что пленки на границах имеют случайный рельеф, вероятность толщины которых описывается нормальным распределением:
Рт(Т,То,°т) =
1
J22kg:
exp(-(т - То)2/2а2), (13)
где Т0 - средняя относительная толщина тонкой пленки, ат - дисперсия относительной толщины пленки, которая зависит от способа ее изготовления. Если ат <§ т0, то можно говорить о гладком, плоско-параллельном слое. Энергетический спектр частиц, прошедших сквозь тонкую пленку с развитым рельефом, определяется выражением:
ТП(То, стт, А) = |тш(г, А)г, То, стт)йг. (14)
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рассеяние ионов в твердом теле моделировалось с помощью созданной программы SPIM-L (Simulation of Particle Interaction with Materials). Код SPIM-L основан на моделировании методом Монте-Карло процессов взаимодействия заряженных частиц с твердым телом [10]. Особенности кода заключаются в том, что розыгрыш углов рассеяния и потерь энергии может осуществляться на основе как реальных, так и модельных дифференциальных сечений рассеяния. Используемые дифференциальные сечения рассеяния характеризуются сильной анизотропностью, поэтому при розыгрыше соответствующей случайной величины производится выбор ее значения из предварительно рассчитанного банка данных с помощью равномерного случайного числа. При выполнении данной операции используется метод последовательного сужения интервалов, что сущест-
венно повышает точность и скорость расчетов. Для описания упругого рассеяния применялось дифференциальное сечение, полученное на основе потенциала двухчастичного взаимодействия Циглера-Бирзака-Литтмарка [11]. Использование дифференциальных сечений позволяет легко адаптировать код программы к любому типу частиц. Одно из преимуществ такого подхода в том, что открывается возможность сравнивать аналитические решения с результатами компьютерного моделирования, полученными при использовании одних и тех же сече
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.