ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 11, с. 5-9
УДК 535-34:535.312
РАСЧЕТ ФОРМЫ ЛИНИИ И СВЕТОСИЛЫ СПЕКТРОМЕТРА РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ МНОГОСЛОЙНОГО
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗЕРКАЛА
© 2004 г. Ю. Л. Лобанова, А. Н. Субботин, В. И. Нагорный, И. А. Гусихина
Российский федеральный ядерный центр ВНИИЭФ, Саров, Россия Поступила в редакцию 26.11.2003 г.
Представлена процедура расчета формы линии и светосилы, разработанная для спектрометра на базе многослойного цилиндрически изогнутого зеркала. Этот подход применим для расчета светосилы и формы линии при точечном изотропном источнике излучения, расположенном в медианном сечении зеркала. Проведено сравнение значений светосилы в различных моделях расчета: с учетом только эффективного отражения на плоском зеркале и с учетом отражения по всему цилиндрическому зеркалу. Представлены расчеты формы линии на регистраторе для нескольких геометрий измерений.
ВВЕДЕНИЕ
При спектрометрии рентгеновского излучения (РИ) плазменных источников по линейчатому излучению с помощью элементов рентгеновской оптики возникает необходимость точных оценок светосилы прибора и формы линии на регистраторе. Это требуется для оценки параметров лазерной плазмы, которая проводится на основе формы и соотношений интенсивностей спектральных линий. Представленная процедура расчета формы линии и светосилы разработана для спектрометра на базе многослойного цилиндрически изогнутого зеркала.
Ранее светосила спектрометра на цилиндрическом диспергирующем элементе оценивалась при помощи кривой качания [1, 2] без учета кривизны зеркала. В этих работах считалось, что все отражение происходит в пределах углов полуширины кривой качания на плоском зеркале. В настоящей работе представлена процедура расчета светосилы и формы линии, учитывающая кривизну и отражение излучения по всей длине зеркала. Приведены расчеты светосилы и формы линии для различных геометрий измерений и энергий квантов. Они проводились для простейшего случая, когда точечный изотропный источник расположен в медианном сечении зеркала.
ПРОЦЕДУРА РАСЧЕТА СВЕТОСИЛЫ СПЕКТРОМЕТРА
Определим светосилу прибора £ как отношение числа зарегистрированных квантов к числу испущенных из источника. Рассмотрим простейший случай: источник изотропный, монохроматический, точечный с единичным выходом в 4п.
Плотность потока квантов на зеркале равна: 1 cos(9)
n =
4п
(1)
где б - угол падения частиц на зеркало, г - расстояние от источника до точки зеркала. При зеркальном отражении число отраженных квантов равно интегралу по поверхности зеркала от произведения плотности потока на коэффициент отражения к(б). Если все отраженные от зеркала кванты попадают на приемник, то светосила спектрометра равна:
4п11
k(9)cos(9) г ( 9) 2
ds.
(2)
В цилиндрических координатах интегральное выражение (2) имеет вид:
= ¿лr
k(9)cos(9)
dzdф,
(3)
где R - радиус кривизны зеркала, угол ф - отсчиты-вается от нормали к центру зеркала. Координаты точек зеркала выражаются обычным образом:
х = R cos (ф), у = R sin (ф), z = z.
Обозначим через х1, у1, z1 координаты источника (рис. 1).
Для расчета светосилы введем векторы L1(x -- х1, у - у1, -z1) и R(x, у, 0). Из скалярного произведения векторов Lq и R получим:
cos(9) =
(L i , R)
I L 1 | | R|
£
S
£
Рис. 1. Геометрия измерений: 1 - источник, 2 - многослойное зеркало, 3 - приемник.
= arceos
R - х Icos ( ф) - y 1 sin ( ф )
V(X - х 1)2 + (y - y 1)2 + (z - z 1 )2' (4) 0(ф) =
(Rcos^) - x1) cos(ф) + (Rsin^) - y1) sin^) V(R eos (ф) - x 1 )2 + (R sin(ф) - y 1 )2
1 = 7(X - X1 )2 + (y - y 1 )2 + (z - z 1 )2
= 1 (• R ( e ) cos ( 9)
= 4nJJ R |L t | 2
dzdф =
= R rrk( 9 )( R - x 1 cos (ф ) - y 1sin (ф) )
= 4nJJ 1 l 1 1 3
(5)
dzdф.
Тогда jLij2 = L2(1 + ^ , iLii3 = L3(1 +
3
22
После подстановки в выражение (5) с учетом тог ^ 1
го, что ^ ^ 1, получим:
£ =
R ffk( 9 )( R - х 1 cos (ф ) - y 1 sin (ф) ),
Л
4nJJ L
х| 1-3 ^ dzdф.
(6)
Расстоянием от источника до точки отражения на зеркале г является длина вектора
L
Следовательно, можно переписать формулу для светосилы (3) в виде:
^ф, (7)
В нашей работе рассматривается случай, когда источник расположен в медианной плоскости, т.е. г1 = 0. Следовательно,
I 12 2
= Я -2Я(х (ф) + уЫп(ф)) +
+ (х 1)2 + (у 1 )2 + г2.
Введем величину Ь2 = Я2 - 2Я(х1соз(ф) + уЫи(ф)) + + (х1)2 + (у1)2.
Пренебрегая в выражении (6) малой добавкой к
2
3 г ,
единице —т., видим, что подынтегральная функ-
2 Ь2
ция не зависит от величины г. Интегрируя выражение (6) по г, получим:
= ЯН ск( 6)( Я - х 1 cos(ф ) - у Ып (ф) ) £ = 4 J Ь
где Н - высота зеркала.
Полученное соотношение используем для расчета светосилы реального спектрометра для геометрии измерений, представленной на рис. 2. В этой геометрии проводились измерения на установке "Искра-5" с использованием многослойного зеркала с параметрами: период 4.8 нм; число слоев 50; среднеквадратичная высота шероховатости 0.31 нм; отношение толщины слоя W к периоду 0.42; длина зеркала 6 см; высота 1 см; радиус кривизны 35 см [3]. Расчет проводился для энергии квантов 1.1 кэВ. Угол падения излучения в центр зеркала равен 82.9°.
Светосила, рассчитанная по выражению (7), оказалась равной 1.89 х 10-7 (Я = 35 см). Следует заметить, что при увеличении радиуса кривизны зеркала светосила растет: при Я = 100 см £ = 5.41 х 107; при Я = 200 см £ = 1.19 х 106. Для плоского зеркала (при Я —► го) £ = 2 х 106. Из такой зависимости следует, что для оценки светосилы необходимо учитывать кривизну зеркала.
В работе [2] при оценке светосилы для спектрометра на цилиндрическом кристалле слюды считалось, что все отражение происходит в пределах углов полуширины кривой качания на плоском кристалле. Эффективный телесный угол па-
£
дения излучения на кристалл считался равным полуширине кривой качания. Видно, что значение светосилы, найденное без учета кривизны зеркала, значительно выше рассчитанного по предложенной в данной работе процедуре.
Таким образом, можно сделать вывод, что в случае изогнутого кристалла эффективный телесный угол будет меньше. Это связано с тем, что при изгибе зеркала происходит масштабное сжатие по углам падения излучения. Именно за счет такого сжатия увеличивается диапазон регистрации при изгибе зеркала. Т.е. при расчете светосилы необходимо учитывать кривизну зеркала и отражение по всей его длине.
РАСЧЕТ ФОРМЫ ЛИНИИ
Определим форму линии как отклик спектрометра на монохроматическое излучение точечного изотропного источника. Форма линии F(5) будет определяться распределением интенсивности излучения по приемнику. Для нахождения формы линии в выражении (7) проведем замену переменной ф на Полученное подынтегральное выражение определяет форму линии на приемнике:
Fф _ k(9 (ф( %))) (R - х 1 co s ( ф( 5) ) - y1 sin ( ф(5)) ) х
L (ф(4))3
X |(ф©).
(8)
Для расчета формы линии нам потребуются величины ф(^) и йф/й^. Значение производной равно:
d9((ñ) = -a3 ( ф )_
d 4 - w 1 (ф) + w 2(ф)^3 (ф)'
(9)
где
Рис. 2. Геометрия измерений: 1 - спектрометр; 2 приемник; 3 - источник; 4 - вакуумная камера.
по Это уравнение было получено методами векторного анализа. Для этого введем векторы X(xx - x0, yy - y0, 0), R(x, y, 0), L2(x - xx, y - yy, 0) (рис. 1) и воспользуемся свойствами векторного и скалярного произведений векторов:
|L2 х R| = |L2| R sin(9), IL x R| = |R| sin(9);
L2 • R = |L2| |R| cos(9), L2 • R = |R|cos(9).
Из этих соотношений легко получить, что
L2 х R Li х R
tg (9) =
L2 • R
L1 • R
(11)
Для последующих вычислений нам потребуются зависимости хх(^) и уу©. Их можно получить, решая систему уравнений:
X • Lo = 0
L0 • R = |L0|Rcos(90).
(12)
w1^) = (а1(ф) + а2(ф))а3(ф),
а1(ф) = (-(у0 + у1^т(ф) - (х0 + x1)cos(ф))R,
а2(ф) = 2sin(2ф)(у0x1 + у1х0) - 2со8(2ф)(у1у1 - х1х0),
а3(ф) = -сов(2ф + 90)х1 - sin^ + 90)у1 + cos^ + 90)R,
w2(ф) = а11(ф) + а22(ф),
а11(ф) = ((у0 + у1)^(ф) - (х0 + х1^т(ф)^,
а22(ф) = -^(2ф)(у0х1 + у1х0) - sin(2ф) - (у0у1 + х1х0),
w3(ф) = 2sin(2ф + 90)х1 - 2^(2ф + 90)у1 - sin(ф + 90)Я.
Производная (9) находилась дифференцированием уравнения
R(cos(ф)(у 1 + у0) - sin(ф)(х0 + х 1)) +
+ sin(2ф)(х0х 1 - у0у 1) - cos(2ф) X
х( у 0 х 1+ у 1 х 0 )= (10)
= 4(sin(2ф + 90)у 1+ R(1 - cos(ф + 90)) +
+ cos(2ф + 90)х1)
Расписав скалярные произведения и длины векторов в координатной форме и решив систему (12), получим:
хх = х0 + 4 sin (90)' уу = у 0 + 4 cos (90). (13)
Подставив соотношения (13) в выражение (11), получим уравнение зависимости 4 от ф (10).
Зависимость ф(4), необходимую для подсчета всех величин в формуле (8), можно получить двумя способами: решением трансцендентного уравнения или посредством интерполяции массива точек (ф;, 4¿), насчитываемых по формуле (10).
Нахождение ф(4) при помощи решения трансцендентного уравнения (10) разбивается на два этапа: нахождение приближенного корня уравнения (14), полученного из соотношения (10) при замене шв(ф) ~ 1, sin^) = ф и итерационного уточнения с помощью линеаризации точного уравнения:
ф^1 + w2ф + w3 = 0,
(14)
где
w1 = - 4(х 1cos(90) + у 1sin(90)) - (у 1 х0 + у0х 1);
I, отн. ед.
Координаты по регистратору, см
Рис. 3. Расчет формы линии для геометрии на рис. 2: сплошная кривая - кривая качания; ■ - расчет по формуле (8).
-5 -4-3-2-10 1 2 3 Координаты по регистратору, см
Рис. 4. Расчет формы линии при угле падения в центр зеркала 39°, расстояние от источника до регистратора 10 см: сплошная кривая - кривая качания; ■ - расчет по формуле (8).
w 2 = 2 y Icos (60) + (R - 2 x 1) sin (60)) +
+ R (2 x 1 + x 0) + 2 (y 1 y 0- x 1 x 0);
w 3 = £(( x 1- R) cos (6 0) + y 1 sin (6 0)) +
+ (x 1-R) y 0 + (x 0-R) y 1.
Рассмотрим форму линии для различных геометрий измерений. При достаточно удаленных источниках от зеркала и больших углах падения форма линии в основном определяется кривой качания k(6). Это связано с тем, что все остальные сомножители в выражении (8) слабо меняются в пределах диапазона углов эффективного отражения.
Рассчитаем форму линии по формуле (8) для геометрии измерений на установке "Искра-5", изображенной на рис. 2. Э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.