РАСЧЕТ ИНТЕНСИВНОСТИ ТУШЕКОВСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
В НАКОПИТЕЛЕ ВЭПП-4М
С. А. Никитин* И. Б. Николаев**
Институт ядерной физики им. Г. И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук
630090, Новосибирск, Россия.
Поступила в редакцию о октября 2011 1".
Получены формулы для расчета интенсивности внутрисгусткового рассеяния электронов в нерелятивистском и релятивистском случаях в борновском приближении для одномерной и двумерной моделей столкновений. Проанализирована релятивистская двумерная модель Байера-Каткова-Страховенко с кулоновскими поправками. С ее использованием получены формулы в ультрарелятивистском пределе. Выполнено сравнение различных моделей друг с другом. С учетом условий регистрации рассеявшихся частиц счетчиком в ВЭПП-4М проведены расчеты интенсивности тушековских электронов и поляризационного вклада в сравнении с экспериментальными данными.
1. ВВЕДЕНИЕ
Метод резонансной деполяризации с использованием тушековского поляриметра [1] успешно применен для измерения энергии пучка ускорителя ВЭПП-4М [2] в диапазоне энергии 1.5 1.9 ГэВ, что позволило прецизионно измерить массы мезонов J/ф, ф(2Б) [31, Ц3770) [41, D [51, а также т-леп-тона [6]. В настоящее время обсуждаются планы экспериментов в области энергии 5 ГэВ, среди которых возможным является уточнение масс частиц Т-семейства.
Для оценки эффективности тушековского поляриметра в данной области энергии необходимо провести расчет интенсивности тушековского рассеяния и поляризационного вклада с учетом релятивистской модели в системе центра масс сталкивающихся частиц.
В работе проведены расчеты интенсивности внутрисгусткового рассеяния электронов в борновском приближении для нерелятивистского и релятивистского случаев с одномерным и двумерным распределением поперечных импульсов в пучке.
Кроме того, необходимо прояснить влияние куло-новских поправок па интенсивность внутрисгусткового рассеяния и поляризационный эффект не только для задачи измерения энергии методом резонанс-
E-mail: S. A.Nikitin(fflinp.nsk.su
**E-mail: I.B.Xikolapvfflinp.nsk.su
ной деполяризации, но и для расчетов параметров пучка ВЭПП-4М. В связи с этим проанализированы формулы двумерной релятивистской теории с кулоновскими поправками Страховенко [71. Проведено сравнение двух подходов.
Для понимания характера поведения интенсивности внутрисгусткового рассеяния с изменением энергии получены ультрарелятивистские формулы. Ультрарелятивистский случай соответствует большим по сравнению с массой электрона поперечным импульсам в пучке.
Чтобы сравнить полученные формулы с экспериментальными данными, необходимо учесть условия регистрации рассеявшихся частиц конкретным счетчиком, расположенным в конкретном месте кольца ВЭПП-4М. Эти условия регистрации описываются верхней и нижней границами переданного в результате рассеяния импульса. В работе выполнены расчеты этих границ в приближении одного и многих оборотов.
С учетом условий регистрации выполнен численный расчет интенсивности тушековских электронов и имеющегося в ней поляризационного вклада в зависимости от энергии пучка и от положения сцин-тилляционного счетчика на ВЭПП-4М. Поскольку двумерность пучка существенно влияет [8,91 па в0~ личину поляризационного вклада в интенсивность рассеяния, в работе рассмотрено влияние отношения поперечных разбросов импульсов в двумерной модели пучка ВЭПП-4М па величину поляризацион-
ного эффекта. Проведено сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными.
2. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ И РЕЛЯТИВИСТСКИЙ РАСЧЕТЫ В ВОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
2.1. Одномерная модель столкновений
Нерелятивистская формула для сечения упругого (мёллеровского) рассеяния неполяризованного электрона на неполяризованном электроне, записанная в борцовском приближении {а/3 -С 1, а: = = 1/137 постоянная тонкой структуры) в системе центра масс (с.ц.м.) имеет вид [10]
da dtt
16/í4
1
1
sin4 (0/2) созЦв/2)
sin (0/2) cos2(#/2)
(1)
Здесь 3 величина скорости частиц в единицах скорости света, г о классический радиус электрона, 0 угол рассеяния, первый член в скобках резер-фордовский, второй член необходим для симметрии формулы для упругого рассеяния, так как при смене аргумента в на тг — в величина сечения должна сохраняться. Третий член описывает интерференцию прямого и обменного рассеяния двух тождественных частиц. Сечение быстро растет в области малых углов в -С 1, где становится по виду резерфордовским: (Ьт/(К1 « (г§//*4)/04.
В релятивистском варианте формула сечения без учета спиновых эффектов выглядит как [10]
da dñ
4 (2Í/2 + l)2
4/í4 (q2 + l)a
sin в sin" в
«Г
(2í/2 + l)2
sin2 9
(2)
где д начальный импульс частицы в с.ц.м. в единицах массы электрона1^. При в ■С 1, как и в нерелятивистском случае, дифференциальное сечение пропорционально
Эффективность тушековского поляриметра определяется скоростью счета частиц, испытавших внутрисгустковое рассеяние. В произвольно выбранной системе отсчета число актов рассеяния dNs в
Здесь и далее импульс и энергия даны в единицах массы электрона: m = с = 1.
элементе объема dV за время dt дается величиной [11]
dNg = vdt = da\J(v*i —v2 )2 — [v*i xv2]2nin2 dV dt =
= da
\/Í4imY2
m4
£i£-2
ríi'tí-idV dt, (3)
где V число актов рассеяния в единицу времени; (1сг инвариантное сечение; /¿1, п2 и VI, у2 плотности и скорости сталкивающихся потоков частиц с массами т; </1>2 4-импульсы; £1>2 энергии частиц. Важно отметить, что величины / = = \/(Ч1Ч-2)2 — т4. (IV М, «1 ;2/¿'1,2 инварианты, как и число событий. Импульс в системе центра масс (д) для пучка в накопителе определен через поперечные к оси пучка компоненты импульсов частиц (рлл,2) в лабораторной системе отсчета (л.с.о.) соотношением
q= ^(p-Li
P_L2)
которое справедливо в нерелятивистском случае (|р±1,21 -С 1), а в релятивистском (|рлл,2| ^ 1) В0Р~ но с точностью порядка произведения разброса поперечного импульса и относительного разброса энергии в пучке [7].
В нерелятивистском случае в л.с.о. количество рассеянных частиц в единицу времени равно
,non~rcl
(12qa)cN2
i2V
(4)
где 7 лоренц-фактор; V = 8тг3/2ихиуи~ эффективный объем сгустка; их, иу, и- радиальный, вертикальный и продольный гауссовы размеры сгустка в л.с.о.; Лг число частиц в сгустке; а сечение рассеяния в заданный телесный угол, зависящее от импульса ц. Скобки (...) означают усреднение с функцией распределения по импульсу ц > 0, которая для одномерного (1-0) разброса импульсов в с.ц.м. (плоский пучок) выглядит как [12]
f(<l) dq =
'на „
■ ехр
dq,
(5)
aq = 7<тд-', а\> характерный угловой разброс в пучке в горизонтальной плоскости.
Пусть -гр угол в с.ц.м. между направлением импульса рассеянного электрона и осыо, совпадающей с осыо у, вдоль которой движется пучок в л.с.о., а if азимутальный угол рассеяния относительно направления импульсов в начальном состоянии. При этом cos в = sin ф cos if, a dil = sin ip di¡> dp. Электрон в результате рассеяния приобретает приращение импульса вдоль оси у, которое в л.с.о. равно
Ар = 7 Ч сов 'Ф ■ В единицах начального импульса р к « (£ч = \/д'2 + 1 энергия частицы в с.ц.м. изменение импульса можно записать как
П,
Ар _
Р ~ \R
q cos >ф
1
= /5 COS 'Ф = ßii
(6)
где /?ц проекция скорости рассеявшейся частицы в с.ц.м. на ось у (направление движения пучка в л.с.о.).
В нерелятивистском пределе для скоростей 3 -С 1 сечение рассеяния частиц в такой телесный угол, при котором приобретается относительное приращение импульса |Л/>//>| = |/?ц| > е, равно
areeos(e/ß)
sin 'ф (1ф ■ 2 / dip =
J dil
о
7ГГ5 2/i4
1 + In
ß
w-
(7)
где Н(х) функция Хевисайда2К
Используя (4) с усреднением получившегося сечения (7) по поперечному разбросу импульсов (5) найдем интенсивность рассеяния для |/?ц| > е:
non~rcl 1D
(е) =
S/TTIqcN2 i2Vcrq
1 + In ■
Ч
Ч3
dq. (8)
Условие регистрации рассеявшихся частиц счетчиком определяется нижней (Ар±) и верхней (Дрг) границами полученного при рассеянии импульса. Д/>1 характеризует минимальное отклонение энергии от равновесной, при превышении которого частицы попадают на счетчик. Др-2 указывает на апер-турные ограничения. С учетом условий регистрации скорость счета выглядит как
v = р(е
р(е
О)
где величины Е\ = Л/>| //> и е-2 = Л/>-_>//> определяются соответствующими границами рассеяния по импульсу. При этом £1 < е-2, а у{£\) > 1/(ег).
Выражение (8) записано на основе подхода, предложенного в книге [12]. Ниже этот подход модифицирован для учета релятивистских эффектов в с.ц.м., а также поляризационного вклада.
2) Щх) = 1, х > 0; Щх) = 0, х < 0; Щх) = 1/2, х = 0.
г-а
. <тв(1.85 ГэВ) ав(1.85 ГэВ)
Рис.1. Отношение Л,
Г-Н
ur,ü/vn
интен-
сивностеи внутрисгусткового рассеяния, подсчитанных по релятивистской ут,л (11) и нерелятивистской ¡у'10"''411 (8) формулам в одномерной модели, в зависимости от энергии пучка для ВЭПП-4М. Сплошная кривая (ад = 0.4) соответствует параметрам ВЭПП-4М. Для иллюстрации изменения релятивистских эффектов в зависимости от поперечного разброса приведены расчеты для абстрактного случая с а1} = 0.2
В релятивистском случае выражение для интенсивности внутрисгусткового рассеяния имеет вид
vrcl =
(2цуУ + l(j)(:N'2 i2V
(10)
В результате вычислений, подобных проделанным выше, получим
»[¿(ß) =
1 + In
°ХРНГ/<Ч1,. (И)
Рассмотрим степень влияния релятивистских поправок в сечении внутреннего рассеяния в пучке на загрузку счетчиков, используя отношение
к*// -
V
rcl 1D
.non-rcl
(12)
1D
На рис. 1 построена зависимость Ясц от энергии Е в л.с.о. для параметров пучка ВЭПП-4М (ач = 0.4(£'/1.85)2) в диапазоне от 1.5 до 5.5 ГэВ.
При этом е = 1.0%, что соответствует типичному расстоянию счетчика до орбиты А = 17 мм. При энергии 2 ГэВ релятивистские поправки составляют около 10 %, а при энергии 4 ГэВ уже 100 %. Согласно полученному результату скорость счета рассеянных неполяризованных частиц для условий экспериментов на ВЭПП-4М в области энергий Е < 2 ГэВ можно оценивать и в иерелятивистском приближении, однако при более высокой энергии нерелятивистский подход неприменим.
Проведенный расчет релятивистской поправки позволяет предположить, что е
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.