РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 2, с. 230-236
ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ
УДК 621.385.632.12
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА СВЯЗИ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА В ЛАМПАХ С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ С ПОМОЩЬЮ ПАРАМЕТРОВ
ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ЛИНИИ © 2010 г. Ю. Н. Пчельников
Поступила в редакцию 29.04.2009 г.
Рассмотрена возможность расчета коэффициента связи усиливаемой волны с электронным потоком в лампах с бегущей волной через параметры эквивалентной линии, включающей погонную индуктивность и погонную емкость. Установлено, что представление эквивалентной емкости в виде суммы двух емкостей, одна из которых является функцией поперечной постоянной, определяемой с учетом решения уравнений электроники, позволяет включить параметры электронного потока в уравнение эквивалентной линии. Показано, что разложение эквивалентных параметров в ряд до членов первого порядка малости относительно невозмущенного значения поперечной постоянной и сравнение уравнений эквивалентной линии при наличии и отсутствии электронов позволяет выразить коэффициент связи через эквивалентные параметры рассматриваемой замедляющей системы. Полученное выражение проверено на простейших примерах, для которых коэффициент связи был рассчитан ранее с помощью уравнений электродинамики.
ВВЕДЕНИЕ
При расчете усиления и выходной мощности ламп с бегущей волной (ЛБВ) первостепенное значение имеет коэффициент, учитывающий эффективность взаимодействия электронного потока (ЭП) с волной в замедляющей системе (ЗС). Основоположник линейной теории ЛБВ, Дж. Пирс, охарактеризовал эффективность взаимодействия введенным им сопротивлением связи К [1]. Отметим, что использование этого параметра затрудняет сравнительную оценку эффективности различных ЗС на разных частотных диапазонах. Оценка эффективности взаимодействия оказывается более простой при использовании введенного Л.Н. Лошаковым коэффициента связи Кс [2], который позволяет сравнивать различные ЛБВ с одинаковой плотностью электронного потока, что отмечалось в [3]. Определяемый через отношение мощностей коэффициент связи является нормированной величиной, не зависящей, в отличие от сопротивления связи К, ни от рабочего диапазона волн, ни от величины замедления. Именно этот коэффициент использовался в многочисленных работах по теории спиральных ЛБВ, а также ламп обратной волны (ЛОВ) на гребенчатых ЗС [4—9]. Предложенные в [6—8] методы электродинамического расчета Кс не только не требуют нахождения общего потока мощности, что во многих случаях является трудоемкой задачей, но и позволяют найти этот поток, заменяя требовавшееся для этого интегрирование дифференцированием.
При расчете ЛБВ на связанных резонаторах и других ЗС со сложной конфигурацией часто при-
бегают к замене реальных систем эквивалентной линией с сосредоточенными или распределенными параметрами [10—13]. В этих случаях применение уравнений электродинамики оказывается затруднительным, и сопротивление связи находится через волновое сопротивление. Именно для этих случаев представляет наибольший интерес разработка метода расчета коэффициента связи с помощью эквивалентных параметров линии, замещающей реальную ЗС. С этой целью ниже проводится обобщение разработанного ранее метода расчета параметров эквивалентных линий на случай, когда в одной из областей ЗС, прилегающей к импе-дансному проводнику, проходит ЭП.
Отметим, что в случае мощных ЛБВ, использующих резонансные ЗС, использование как коэффициента связи, так и сопротивления связи теряет смысл, так как они обращаются в бесконечность на границах полосы пропускания и за ее пределами [14]. В этом случае можно пользоваться введенным В.А. Солнцевым "локальным импедансом связи", принимающим конечные значения как в полосе пропускания, так и в полосе запирания [15, 16].
1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Хотя при анализе ЛБВ часто пользуются постоянной распространения волны, мнимая часть которой является фазовой постоянной, а действительная, в зависимости от знака, является постоянной нарастания или постоянной затухания, будем для упрощения выкладок пользоваться фазовой постоянной р, полагая ее комплексной ве-
личинои, мнимая часть которой характеризует либо нарастание, либо затухание волны
в = Яер ± Дшр. (1)
При этом распределение поля в поперечном сечении ЗС вне ЭП определяется поперечной постоянной т, связанной с фазовой постоянной Р и волновым числом к соотношением
(а)
(б)
т2 = р2 - к2, к = ю^
(2)
т
1 -
Р2
Р2( 1 - Пе)2
(4)
Здесь це — отношение фазовой скорости волны к средней скорости электронов и0
Пе = Vио, (5)
Рр — плазменно-волновое число, определяемое выражением
Рр =
его
¡тео и0
(6)
где ю — угловая частота, б0 и — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Отмечая индексом нуль фазовую и поперечную постоянные при отсутствии ЭП, напишем вместо (2)
т0 = Р° - к2. (3)
Отличие между постоянными т и т0 определяется косвенно — "возмущением", вызванным взаимодействием ЭП с продольной компонентой напряженности электрического поля в области, заполненной электронами. Эта же постоянная определяет поле волны магнитного типа и в заполненной электронами области, в то время как поле волны электрического типа в этой области определяется поперечной постоянной, учитывающей непосредственное возмущение поля электронами. Обозначая эту постоянную через Т, напишем выражение для Т, учитывающее как плотность ЭП, так и его скорость [7]
Рис. 1. Поперечные сечения пролетных каналов для цилиндрического (а) и ленточного (б) потоков электронов; Ь — радиус цилиндрического канала, а — радиус электронного потока, н> и к — соответственно ширина и высота прямоугольного канала, 2с — толщина ленточного потока электронов.
2. ОБОБЩЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА СВЯЗИ
Обозначая через х и у и относительные изменения поперечных постоянных, вызванные взаимодействием с ЭП, напишем
т = т0(1 + х), х ^ 1, (7)
Т = т0(1 + У), У ^ 1. (8)
Приближенное преобразование дисперсионного уравнения практически любой ЗС с ЭП к характеристическому уравнению ЛБВ позволяет найти следующее выражение для коэффициента связи [7]:
К =
2 то
Р2 у
- X
(9)
где е — заряд, т — масса электрона, 10 — постоянная составляющая плотности тока ЭП. Отметим, что выражение (4) было получено при совместном решении уравнений Максвелла и уравнения движения электронов.
Поперечные постоянные т и Т входят в дисперсионное уравнение ЗС с ЭП. При относительно небольшом их отличие от "холодной" постоянной т0 , разложение в ряд Тейлора входящих в это уравнение функций около т0 позволяет найти выражения для коэффициентов характеристического уравнения ЛБВ, коэффициента связи Кс и коэффициента депрессии Г. При этом для определения Кс достаточно преобразований с точностью до величин первого порядка малости. Отметим, что расчет коэффициента депрессии должен проводиться с точностью до членов второго порядка малости. Его расчет с точностью до членов первого порядка малости приводит к принципиально неправильному выражению.
При рассмотрении конкретных ЗС, выражения, получаемые с помощью формулы (9), полностью совпадают с выражениями, получаемыми с помощью более сложной формулы, использовавшейся при введении коэффициента связи. В пренебрежении затуханием в ЗС эта формула имеет следующий вид [2, 9]:
Кс = Г|Е\ I2(10) с 2РоРо^ ^ ()
Здесь Ег — продольная компонента напряженности электрического поля в области занятой ЭП, Б — поперечное сечение ЭП, Р0 — поток мощности через поперечное сечение ЗС.
В большинстве представляющих практический интерес случаев, пролетный канал имеет простую, цилиндрическую или прямоугольную форму, что в случае однородного по поперечному сечению ЭП позволяет найти достаточно простую зависимость Кс от степени заполнения канала электронами. Так, в случае цилиндрического ЭП с радиусом а в аксиально-симметричном поле пролетного канала с радиусом Ь (рис. 1а) [8]
К =
Ю6о
2-Р-Р-- о
па2[4(тоа) - 11(тоа)],
(11)
где 10 и 11 — модифицированные функции Бесселя первого рода, нулевого и первого порядка соот-
Ь
С0
:сп
Рис. 2. Эквивалентная линия; С0 — суммарная погонная емкость, Ь — погонная индуктивность, определяемая поперечными токами.
Рис. 3. Модель спирально-проводящего цилиндра с радиусом Ь и углом ф между направлением витков и продольной осью г.
ветственно. Зная величину Кс при полном заполнении канала, т.е. при а = Ь, легко найти значение Кс для любого отношения радиусов
К (а) = Ке( Ь)й 2 [ 1 ( Т 0 *) - 1 ( Т 0 * ) ]. (12) Ь2[/0(тоЬ) -12(тоЬ)]
В случае ленточного ЭП в прямоугольном пролетном канале с шириной м существенно превышающей высоту канала 2Н (рис. 1б),
Кс ( а ) = Кс (И ) 2 т ое + Л ( 2 т ое )
где 2с — толщина ЭП.
2 т 0 И + (2 т 0 И )
(13)
Это позволяет, зная выражение для эквивалентных параметров, в том числе для области, заполненной ЭП, рассчитать коэффициент связи через эти эквивалентные параметры.
Полагая, что С1 является эквивалентной емкостью пролетного канала, а поперечная постоянная в пролетном канале равна Т, разобьем правую часть (14) на два слагаемых
(16)
т2 = ю2Ь(т)С2(т) + ю2Ь(т)С1(Т).
Обозначая первые производные по аргументам штрихом и заменяя входящие в уравнение (16) функции двумя первыми членами разложения относительно хт0Ь и ут0Ь, получим с учетом (7) и (8)
3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНИЯ
Любую ЗС можно, с той или иной степенью точности, заменить эквивалентной ей длинной линией или эквивалентной схемой с сосредоточенными индуктивностями и емкостями. На практике удобней пользоваться так называемой "укороченной" длинной линией (рис. 2), в которой погонная индуктивность Ь в продольном проводнике определяется только поперечными токами и не включает запаздывание потенциала. При этом погонная емкость С0 определяется полем волны электрического типа, в то время как индуктивность Ь определяется полем волны магнитного типа [11]. Дисперсионное уравнение "укороченной" линии записывается относительно поперечной постоянной т в виде
т2 = ю2Ь(т)С0(т, Т). (14)
В уравнении (14) параметры Ь и С0 представлены как функции поперечных постоянных, какими они и являются, за редким исключением. При отсутствии ЭП Т = т = т0 и уравнение (14) становится "холодным"
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.