АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 5, с. 518-525
АКУСТИЧЕСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ШУМЫ И ВИБРАЦИЯ
УДК 534.121
РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ШПАНГОУТОВ В ПОДКРЕПЛЕННОЙ ОБОЛОЧКЕ, МОДЕЛИРУЮЩЕЙ ФЮЗЕЛЯЖ САМОЛЕТА
© 2014 г. Б. М. Ефимцов, Л. А. Лазарев
Научно-исследовательский Московский комплекс ЦА1И 105005 Москва, ул. Радио 17 E-mail: LeonidL74@mail.ru Поступила в редакцию 25.12.2013 г.
Шум в салон самолета от внешних источников проникает через бортовую конструкцию несколькими путями. Среди них можно выделить прямой путь через слои рыхло-волокнистого материала и косвенный — через места крепления панели интерьера к поперечным ребрам (шпангоутам). Аналитический метод расчета колебаний ортогонально подкрепленной оболочки, разработанный ранее авторами, позволяет корректно рассчитать колебания шпангоутов. Это дает возможность аналитически определять прохождение шума в салон через места крепления панели интерьера. В работе представлена первая часть решения этой задачи, т.е. представлены соотношения и примеры расчета колебаний шпангоутов при точечном возбуждении оболочки и при возбуждении пульсациями давления турбулентного пограничного слоя.
Ключевые слова: шум в салоне, подкрепленная оболочка, метод пространственных гармонических разложений, турбулентный пограничный слой, колебания шпангоутов.
DOI: 10.7868/S0320791914040042
Создание метода прогноза шума в салоне самолета, полностью базирующегося на аналитических моделях бортовой конструкции фюзеляжа, по-прежнему является актуальной задачей. Актуальность остается, главным образом, для области средних частот. На этих частотах метод конечных элементов требует очень большого объема вычислений, а статистический энергетический метод требует большого числа уточняющих эмпирических данных.
В работах авторов [1—4] представлен метод расчета шума в салоне, основанный на аналитических моделях для расчета колебаний регулярно подкрепленной оболочки, моделирующей фрагмент фюзеляжа самолета. Наибольший интерес представляет модель, в которой учитывается дискретность всех ребер — и стрингеров, и шпангоутов. В работах [2, 3] представлен метод решения и соотношения для ограниченной оболочки с учетом всех трех компонент смещения оболочки и ребер. В работе [4] соотношения расписаны для упрощенной задачи о колебаниях бесконечной замкнутой цилиндрической оболочки с рассмотрением только нормальной компоненты смещения.
В основе метода расчета лежит принцип пространственных гармонических разложений для расчета колебаний одномерных и двумерных периодических структур [5, 6]. Высокая эффективность применения этого подхода объясняется тем, что при разложении колебаний двумерных
регулярно неоднородных структур по гармоническим функциям (exp, sin, cos) взаимосвязанными оказываются только амплитуды для тех функций, для которых одинаковы сдвиги фаз на длине и на ширине ячейки. Это следует из теоремы Блоха—Флоке о возможности представления собственных форм колебаний периодически неоднородных структур в виде произведения периодической функции на гармоническую. Теорема Блоха—Флоке в свою очередь следует из трансляционной симметрии структуры.
Для ограниченных регулярно подкрепленных оболочек число таких независимых групп функций с одинаковыми сдвигами фаз примерно равно числу ячеек. Размер системы уравнений, разрешаемых отдельно для каждой группы функций, зависит от размера ячеек, но не от их числа. Кроме того, решение системы уравнений сводится к определению обобщенных реакций ребер, число которых значительно меньше числа функций в группе. Все это позволяет быстро проводить расчет для фрагментов оболочки больших размеров практически во всем звуковом диапазоне частот.
Данная работа посвящена способу расчета колебаний шпангоутов при возбуждении ограниченной незамкнутой цилиндрической оболочки детерминированной силой или полем случайных сил. Решение этой задачи может быть использовано при расчете косвенного пути прохождения
шума в салон самолета через места крепления панели интерьера к шпангоутам.
Уравнения колебания оболочки и ребер в работе записываются в общем виде, т.е. в виде матричных упруго-инерционных операторов размером 3 х 3 для оболочки и 4 х 4 для ребер, выражения для которых здесь не приводятся. При решении задачи о колебаниях ортогонально подкрепленной оболочки методом пространственных гармонических разложений решение сводится к определению сил, действующих на ребра. Изложим здесь в сжатом виде соотношения для расчета этих сил и колебаний оболочки, а затем запишем соотношения для колебаний шпангоутов.
Рассмотрим фрагмент ограниченной регулярно подкрепленной тонкой цилиндрической оболочки с радиусом R (рис. 1). Фрагмент свободно опирается по краям и состоит из Nx пролетов длиной dx между шпангоутами и из Ny ячеек шириной dy между стрингерами в каждом пролете. Ребра представляются как линейные элементы. Для того чтобы можно было рассматривать свободно опертую по краям оболочку как часть бесконечной оболочки, добавим по границам фрагмента "половинки" ребер. Условимся жирным шрифтом обозначать векторы и матрицы, а обычным шрифтом — скаляры или элементы матриц. В данной работе мы имеем дело с многомерными матрицами. Для удобства работы с ними будем использовать индексные обозначения. Например, WapBm(- — матрица всех обобщенных смещений оболочки, а Wap„m¡ — ее конкретный элемент. Произведение (точнее, свернутое произведение) двух многомерных матриц предлагается записывать в следующей компактной форме: Сы=AkcsBscl (вместо
общепринятой Cksl = AkclsхcBscl). Здесь c — совокупность общих индексов, по которым производится суммирование (кэлиевые индексы); s — совокупность общих индексов, по которым не производится суммирование (скотовые индексы); к, l — совокупности индивидуальных индексов. Индексы, по которым идет суммирование, обозначаем явно, двойным подчеркиванием в левом из сомножителей. При произведении нескольких сомножителей умножение производится строго справа налево (ABC = A(BC)). При обращении матрицы подчеркиваем одной чертой индексы, по которым
производится обращение, например InmJf = K^- ■•
Векторы смещений оболочки w,, шпангоутов wГ
s
и стрингеров w/ связаны с распределенными силами, действующими на них, уравнениями колебаний, которые можно записать в следующем общем операторном виде:
Точки крепления панели интерьера
Стрингеры
Рис. 1. Регулярно подкрепленная оболочка.
Wwi(x,y) = qe¡(x,y) - q■ (x,y) - qr(x,y), i = {x,y,z}, %wj(pr ,y) = qÔr (p ,y), j = {x,y,z,0},
Ls s / ÔS/
7/w Ax P) = qj (x P ), (1)
z \T e,r,s / e,r,s e,r,s e,r,s\ T
W i = (Wx, Wy, Wz ), q i = (qx , qy , qz ),
r,s / r,s r,s r,s f\r,s jy\T Ôr,Ôs
w j = (wx , wy , wr , 0 , R) , q j , =
/ Ôr,Ôs Ôr,Ôs Ôr,Ôs Ôr,Ôs / Ti\l
= (qx ,qy ,qz ,m*,y /R)
Здесь L;r — симметричный упруго-инерционный дифференциальный матричный оператор для оболочки размером 3 х 3; LjLj — матричные операторы для шпангоутов и стрингеров размером 4 х 4
[7—9]; q -q Г, -q S — векторы поверхностных внешних сил и сил реакций шпангоутов и стрингеров соответственно; q j(pr,y), q j(x,ps) — погонные силы, действующие на шпангоуты и стрингеры со стороны оболочки; pr, ps — номера шпангоутов и стрингеров соответственно; m^r, m&ys — моменты, рас-
г 5r 5s r s
пределенные по длине ребер. Силы q j , q j и q;-, q t представляют одни и те же силы, действующие на ребра, но имеют разную размерность. Верхний индекс 8 служит для отличия погонных сил от поверхностных сил. Для учета реакции внешней и внутренней воздушных сред и реакции слоев звукоизолирующей конструкции к элементу оператора оболочки Lzz, связывающему нормальные силы с нормальными перемещениями, следует сделать соответствующую реакциям добавку.
Представим смещения оболочки (и ребер) и действующие на них силы в виде рядов, раскладывая их по трехмерным (или четырехмерным) гармоническим функциям, удовлетворяющим
граничным условиям. Эти функции будем называть формами. При разложении разобьем все формы на группы с одинаковыми фазовыми константами. Фазовые константы по двум осям могут принимать значения а = я{0, 1, ..., Nx}/Nx, ß = я{0, 1, ..., Ny}/Ny. Всего получается (Nx + 1)(Ny + 1) пар фазовых констант и столько же независимых групп форм. Волновые числа в группах кат, к^„, зависящие от фазовых констант и "внутригруппо-вых" индексов т, n, принимают следующие значения:
кат = ятaJdx, = япpn¡dy, n,m = 1,2,...
mam = f (a, m) = (2)
Í2(m -1) + a/я, а = 0, я, [{0,2,2,4,4,...} - (-1)mа/я, 0 < а < я," Здесь m, n — "глобальные" индексы.
Hn = f (ß, П).
qe¡(x,y) - qSi(x,y) - q■ (x,y) =
(Qct ßnmi — Q a ßnmi — Q aßnmi ) ^ßniOO^i mi(x) ,
(уФ (/),
q (pr, y) = dyQ l^nj i ßnj .
q (x, P ) = dxQ aßmj ^ßj if" Wamj (x).
Разложения смещений оболочки и ребер для свободно опертого по краям фрагмента выглядят следующим образом:
да да
W(X, У) = ^Х^^пт/^ Рга(У)Ф a mi (x) , i = {x, У, Z} ,
ap m=1 „=1
или wi(x, y) = Waвпш^вт(y)^ami(x), ^ р„й = {sin, - cos,sin}(£p„y), Ф am{i} = {C0s,sin,sin}(^amx),
Wj(P , У) = Wr^%nj(У)Фау(P ), j = {x, У, Z, 0}, (3)
^ j„{j} = {sin, - cos^in^in}^),
Ф a{j} = {cos,sin,sin,cos}(pj a),
wj(x, p ) = W^Prn/(p Wamj(x),
¥в{/} = {sin, -cos,sin,cos}(psp),
Ф am{ j} = {cos,sin,sin,sin}(£amx).
Здесь знаки суммирования заменены двойным подчеркиванием суммируемых индексов; Wapmni, Wjp«j, — обобщенные смещения оболочки,
шпангоутов, стрингеров; ¥ р „(у)Ф ami(x) — формы
смещений оболочки; ^в„/■(У)Фjx/■(pj) — формы смещений сразу всех шпангоутов, дискретные вдоль
оси x; ¥e>j(PS)ФSamj(x) — формы стрингеров, дискретные вдоль y. Фигурные скобки {/} обозначают перечисление всех значений заключенного в них индекса.
Аналогичным образом раскладываются силы, действующие на оболочку и ребра:
Здесь барт„1, Оовшт, 0Гавшт — обобщенные внешние силы, силы реакции шпангоутов и стрингеров,
действующие на оболочку; О^п — обобщенные силы, действующие на ребра, деленные на шаг ребер, чтобы их размерность совпадала с размерностью поверхностных сил.
Рассмотрим далее некоторую отдельную группу форм и будем опускать определяющие ее индексы а, р. Подстановкой форм, по которым произведено разложение, в уравнения колебаний о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.