ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 3, с. 301-308
УДК 519.7:541.12
расчет многокомпонентной ректификации с использованием принципов компьютерного моделирования © 2014 г. Ю. А. Комиссаров, Дам Куанг Шанг
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва
котш@ты&г. ги Поступила в редакцию 03.07.2013 г.
Компьютерное моделирование химико-технологического процесса (например, ректификации) обычно сводится к решению системы нелинейных уравнений со многими неизвестными с использованием базы данных по физико-химическим свойствам газов и жидкостей. В данной работе при решении систем нелинейных уравнений использован метод Бройдена для расчета многокомпонентной ректификации, сходимость алгоритма расчета гарантируется.
Ключевые слова: многокомпонентная ректификация, компьютерное моделирование, метод Бройдена. БО1: 10.7868/80040357114030087
ВВЕДЕНИЕ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА БРОЙДЕНА
Пусть задана система с п уравнениями и п переменными:
Г (X) = 0, (1)
где Г = (Г1, Г2,..., Г„) — вектор функций; X = (х1, х2, ..., хп) — вектор переменных.
Для решения системы (1) обычно используют метод Ньютона—Рафсона [1, 2]:
АХ(к) = -/{к))Г(Х(к)), (2)
X(к+1) = X(к) + АХ(к);
где X(к), X(к+1) — векторы переменных на к-й и (к +
+ 1)-й итерациях соответственно; / (к)) — обратная матрица Якоби, рассчитанная на к-й итерации.
Матрица Якоби может быть вычислена аналитическим или численным методом. Аналитический метод имеет высокую точность, однако возникают трудности при решении сложных систем уравнений. В общем случае матрица Якоби реализуется с помощью метода конечных разностей:
=
(х, + к,) - Г (х,) .
дх,
к,
к, = 0.001ху-. (3)
Для преодоления этой трудности в работе [3] был использован следующий алгоритм.
1. Расчет функций при начальном значении переменных Х(0):
Г(0) = (0)).
2. Аппроксимация матрицы Н(0) = -/0-1, где /0 — матрица Якоби, определенная по формуле (3).
3. Определение А X(к) = Н(к )Г(к).
4. Определение демпфирующего коэффициента зк таким образом, чтобы удовлетворить неравенство
N
N
X г2 (X(к) + .кAX(к))< X Г2 (X(к)). (4)
1=1
1=1
Недостатком метода Ньютона—Рафсона является трудность по обеспечению сходимости решения, когда начальное значение переменных принято недостаточно хорошо и необходимо рассчитывать матрицу Якоби на каждой итерации.
Тогда проводится следующее испытание. Сначала задается = 1, потом проверяется неравенство (4). Если неравенство (4) выполняется, то определяется значение переменных на новой итерации. Если условие (4) не выполняется, то рассчитывается новое значение зк путем использования следующих формул:
1 X Г2 X + .к А X «) 3п '
.к,2 _
N
X Г2 (X(к))
1=1
5. Расчет значения переменных на новой ите рации
уравнения теплового баланса
X (к+1) = X (к) + АХ (к)
и определение:
Г
(к+1)
р (X
(к+1)).
у (к) _ Г (к+1) _ р (к).
(к 1) (к) (н (к)У(к) + н +1) = н - -_
зк АХ(к)) [АХ(к) ]7
н
(к)
[ах (к) ]т н (к)у(к)
6. Проверка критерия сходимости
= X р2
<
1=1
М.- = I,- -1 + V,-+1 + р- г.,- + - +1- = 0;
'.1+1 с
XV к. -+1 к=1
XVк. -
- п К I . Ы-= 0;
1 Г'. 1 с '
к=1
Н- = Н^ 1 + + ГН +
'=1
1=1
+ - ян X I- - Щн] XV'. 1 - О- = о;
'=1
дополнительные уравнения
с с
'=1
V,
Если т < ^ (заданная погрешность расчета), то расчет заканчивается. В противном случае расчет возвращается к пункту 3.
К преимуществу метода Бройдена относится то, что окрестность сходимости расширяется и необязательно рассчитывать матрицу Якоби на каждой итерации. На рис. 1 приведена блок-схема алгоритма метода Бройдена.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА БРОЙДЕНА ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ
Рассмотрим процесс ректификации многокомпонентной системы, содержащей С компонентов. На рис. 2 изображены материальный и тепловой балансы на одной тарелке, кипятильнике и дефлегматоре. Ректификационная колонна состоит из N тарелок, включая кипятильник и дефлегматор. Для математического описания имеем следующую систему уравнений нау'-й тарелке: уравнение покомпонентного материального баланса
ь ь
ь- = X1и; = XVи; = Ь-; у,- = V- • (8)
1=1 1=1 Ьу у 1
В вышеприведенных уравнениях: 1 < ' < С; 1 < - < N; х.г, у.г — концентрация /-го компонента жидкой и паровой фаз на у-й тарелке соответственно; Ь-. V — профили общего жидкого и паро-
вого потоков соответственно; /;0 = 0;
Чу+1
= 0;
р]+1 = 0; РЬ+1 = 0; Нь — энтальпии жидкости и пара, поступающего на у-ю тарелку соответственно; КI у — константы парожидкостного равновесия; Яь = 1 + Ц-; Я = 1 +—-; Пу — коэффициент Ь-
полезного действия (КПД Мерфри) у-й тарелки. Остальные переменные приведены в табл. 1.
Величины К-, Нь , Н] , находящиеся в уравнениях (5)—(7), рассчитываются по формулам
К- К,. у
т. р.
-' -' с
X к- X
V ку
к=1
к=1
(9)
Ь к (5)
р-+1г' .-+1 - я-1' .--я- ^и - = П' уравнение парожидкостного равновесия через КПД тарелки
с
XVк . -
Е- = V.- - (1 -П-М „ ^^
нЬ = нЬ
I,-
Т- Р с
X ^
к=1
н] = н]
(6)
\
(10)
Т р -
± г-1 г
V ,
Ч'-Ч' с
XV к . -к=1
Уравнения (5)—(7) составляют систему Щ2С + 1) независимых нелинейных уравнений. Таким образом, необходимо выбрать ^2С + 1) независимых переменных. В табл. 1 приведен список исходных и выбранных независимых переменных.
п
с
Рис. 1. Блок-схема алгоритма Бройдена для решения системы нелинейных уравнений.
Если отвод и подвод От теплоты неизвест- ступени контакта ректификационной колонны
ны, то уравнения теплового баланса Н1, Им заме- можно упорядочить функции и переменные в
няются на альтернативные функции (табл. 2). следующей последовательности:
Для получения матрицы Якоби с минималь- т
ной полосой заполнения уравнений для каждой Г = [[,Г2,.......,FN] ; X = X2,............,XN],
^ ПТ Р1
1 1 ' 1 1
ип
(а)
ь1 - 1 V
Т - 1
х1,1 - 1 ум
Р1 - 1 и- 1 и!
Т
Р
Т
Р
1-я тарелка
Р Т
1, 1
И?
', 1
и+ 1
V+1
Уи + 1
Т+1
Р1+1
щ
о,
(б)
(в)
ьл - 1 ИЛ- 1 И V ' ИЛ !л и 1 ' И? иV
ТЛ - 1 ТЛ Т1 Т1
х(, Л- 1 У¡, N Х(, 1
РЛ - 1 РЛ Р1 Р1
(+) Подвод тепла
иЛ
У\
У, 1
Т1 Р1
?1 !2
Т2
х1, 1 У¡, 2
Р2
И? И!
(—) Отвод тепла
Рис. 2. Структура материального и теплового балансов по потокам ректификационной колонны: (а) — обычная тарелка, (б) — кипятильник, (в) — дефлегматор.
где р = [[, ^, M2J,..., Mc)j, ^, ^,..., Ec,j ]Т;
Xj = К}, V2,}..... VС,1 > Т1> К1.12,1 >.... lC,} ].
Система уравнений (5)—(10) решена по методу Бройдена с использованием критерия сходимости, рассчитанного по формуле
N
Е
т =
H 2+Е((+Е1)
i=1
N (2C +1)
^ е,
где И, М, Е — уравнение теплового баланса, материального баланса и фазового равновесия соответственно; е = 10-10.
Если 01 и являются переменными, то после того, как критерий сходимости выполняется, отвод и подвод теплоты рассчитываются по формулам
Ql = Г2Н% - \_ViHlV + (А + Ul )H1L ]; (11) QN = Е (( + Р^Н* - иН - WjHVj ) -
1=1
N-1
(12)
- Е Qj - ГН - LNHLN.
1=1
Прежде чем перейти к использованию метода Бройдена по решению систем уравнений матери-
Таблица 1. Список исходных и независимых переменных
Переменная Число Исходная Независимая
Нагрузка теплоты (0у) N N -
Питание на каждую тарелку Щ) N N -
Давление питания (Р?) N N -
Температура питания (Т;Р) N N -
Состав питания (ц у) N х С N х С -
Боковые отборы и у, Жу-) 2 х N 2 х N -
Температура на тарелке (Ту) N - N
Давление на каждой тарелке (Ру) N N -
Частные жидкий и паровой потоки (1, у; V, у) 2 х N х С - 2 х N х С
Сумма Nх (3с + 8) N х (С + 7) N х (2с + 1)
Таблица 2. Альтернативные функции для #1, Им
Исходные параметры
Для #1 Для Н N
с с с с
I 'и —11 Б 1 Чц = 0 х и Ум х в х
г=1 г=1 -=1 г=1
Т - Тб = 0 ТМ - ТВ = 0
с с
I V, ,1 - Б = 0 X км - В = 0
г=1 г=1
V ,1 - ^ 0 '-М - = 0
(с л (с л
V,! - У, Б = 0 X Х,В
1м ) V г=1
Флегмовое число — или — Б В
Температура ТВ или Тв Дистиллят Б или кубовый продукт В
Поток компонента продукта di или
Концентрация компонента продукта или х,в
ального и теплового балансов, фазового равновесия и т.д. рассмотрим базу данных физико-химических свойств газов и жидкостей.
БАЗА ДАННЫХ ПО ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Одним из условий успешного функционирования программного обеспечения при расчете процесса ректификации является наличие необходимой информации, в частности данных, характеризующих термодинамические, физико-химические свойства веществ, используемых при расчете процесса ректификации. Причем точность этих данных играет решающую роль для определения результатов. Эти данные составляют базу данных программы.
В настоящее время база данных является необходимым условием компьютерной программы моделирования любого химико-технологическо-
го процесса. В ней содержится информация о физико-химических, термодинамических свойствах веществ, параметрах оборудования, технологических схемах, показателях эффективности производства и т.д. Совокупность таких данных составляет информационную базу [5].
При расчете процесса ректификации обычно приводят системы математических уравнений, описывающих материальный и тепловой балансы, а также уравнения фазового равновесия [1]. В этих уравнениях содержатся также физико-химические и теплофизические величины (давление пара, теплота испарения, удельная теплоемкость, плотность, фазовое равновесие систем жидкость—пар, жидкость—жидкость, жидкость—жидкость—пар, теплоемкость, критические давление, температура, объем и т.д.). Значения этих величин необходимо выражать в диапазоне требуемых температур. Авторы разработали базу данных для газов и жидкостей и программу управления этой базой данных.
Таблица 3. Структура таблицы данных по физико-химическим свойствам жидкостей и газов
№ Название поля Описание Тип данных
1 No номер вещества "Integer"
2 Formula формула вещества "Text"
3 Name название вещества "Text"
4 MM мольная масса "Text"
5 TP нормальная температура плавления [К] "Text"
6 ТВ нормальная температура кипения [К] "Text"
7 ТС критическая температура [К] "Text"
8 PC критическое давление [Гбар] "Text"
9 VC критический объем [см3/моль] "Text"
10 ZC критический коэффициент сжимаемости "Te
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.