научная статья по теме РАСЧЕТ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ РЕКТИФИКАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «РАСЧЕТ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ РЕКТИФИКАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 3, с. 301-308

УДК 519.7:541.12

расчет многокомпонентной ректификации с использованием принципов компьютерного моделирования © 2014 г. Ю. А. Комиссаров, Дам Куанг Шанг

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва

котш@ты&г. ги Поступила в редакцию 03.07.2013 г.

Компьютерное моделирование химико-технологического процесса (например, ректификации) обычно сводится к решению системы нелинейных уравнений со многими неизвестными с использованием базы данных по физико-химическим свойствам газов и жидкостей. В данной работе при решении систем нелинейных уравнений использован метод Бройдена для расчета многокомпонентной ректификации, сходимость алгоритма расчета гарантируется.

Ключевые слова: многокомпонентная ректификация, компьютерное моделирование, метод Бройдена. БО1: 10.7868/80040357114030087

ВВЕДЕНИЕ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА БРОЙДЕНА

Пусть задана система с п уравнениями и п переменными:

Г (X) = 0, (1)

где Г = (Г1, Г2,..., Г„) — вектор функций; X = (х1, х2, ..., хп) — вектор переменных.

Для решения системы (1) обычно используют метод Ньютона—Рафсона [1, 2]:

АХ(к) = -/{к))Г(Х(к)), (2)

X(к+1) = X(к) + АХ(к);

где X(к), X(к+1) — векторы переменных на к-й и (к +

+ 1)-й итерациях соответственно; / (к)) — обратная матрица Якоби, рассчитанная на к-й итерации.

Матрица Якоби может быть вычислена аналитическим или численным методом. Аналитический метод имеет высокую точность, однако возникают трудности при решении сложных систем уравнений. В общем случае матрица Якоби реализуется с помощью метода конечных разностей:

=

(х, + к,) - Г (х,) .

дх,

к,

к, = 0.001ху-. (3)

Для преодоления этой трудности в работе [3] был использован следующий алгоритм.

1. Расчет функций при начальном значении переменных Х(0):

Г(0) = (0)).

2. Аппроксимация матрицы Н(0) = -/0-1, где /0 — матрица Якоби, определенная по формуле (3).

3. Определение А X(к) = Н(к )Г(к).

4. Определение демпфирующего коэффициента зк таким образом, чтобы удовлетворить неравенство

N

N

X г2 (X(к) + .кAX(к))< X Г2 (X(к)). (4)

1=1

1=1

Недостатком метода Ньютона—Рафсона является трудность по обеспечению сходимости решения, когда начальное значение переменных принято недостаточно хорошо и необходимо рассчитывать матрицу Якоби на каждой итерации.

Тогда проводится следующее испытание. Сначала задается = 1, потом проверяется неравенство (4). Если неравенство (4) выполняется, то определяется значение переменных на новой итерации. Если условие (4) не выполняется, то рассчитывается новое значение зк путем использования следующих формул:

1 X Г2 X + .к А X «) 3п '

.к,2 _

N

X Г2 (X(к))

1=1

5. Расчет значения переменных на новой ите рации

уравнения теплового баланса

X (к+1) = X (к) + АХ (к)

и определение:

Г

(к+1)

р (X

(к+1)).

у (к) _ Г (к+1) _ р (к).

(к 1) (к) (н (к)У(к) + н +1) = н - -_

зк АХ(к)) [АХ(к) ]7

н

(к)

[ах (к) ]т н (к)у(к)

6. Проверка критерия сходимости

= X р2

<

1=1

М.- = I,- -1 + V,-+1 + р- г.,- + - +1- = 0;

'.1+1 с

XV к. -+1 к=1

XVк. -

- п К I . Ы-= 0;

1 Г'. 1 с '

к=1

Н- = Н^ 1 + + ГН +

'=1

1=1

+ - ян X I- - Щн] XV'. 1 - О- = о;

'=1

дополнительные уравнения

с с

'=1

V,

Если т < ^ (заданная погрешность расчета), то расчет заканчивается. В противном случае расчет возвращается к пункту 3.

К преимуществу метода Бройдена относится то, что окрестность сходимости расширяется и необязательно рассчитывать матрицу Якоби на каждой итерации. На рис. 1 приведена блок-схема алгоритма метода Бройдена.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА БРОЙДЕНА ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ

Рассмотрим процесс ректификации многокомпонентной системы, содержащей С компонентов. На рис. 2 изображены материальный и тепловой балансы на одной тарелке, кипятильнике и дефлегматоре. Ректификационная колонна состоит из N тарелок, включая кипятильник и дефлегматор. Для математического описания имеем следующую систему уравнений нау'-й тарелке: уравнение покомпонентного материального баланса

ь ь

ь- = X1и; = XVи; = Ь-; у,- = V- • (8)

1=1 1=1 Ьу у 1

В вышеприведенных уравнениях: 1 < ' < С; 1 < - < N; х.г, у.г — концентрация /-го компонента жидкой и паровой фаз на у-й тарелке соответственно; Ь-. V — профили общего жидкого и паро-

вого потоков соответственно; /;0 = 0;

Чу+1

= 0;

р]+1 = 0; РЬ+1 = 0; Нь — энтальпии жидкости и пара, поступающего на у-ю тарелку соответственно; КI у — константы парожидкостного равновесия; Яь = 1 + Ц-; Я = 1 +—-; Пу — коэффициент Ь-

полезного действия (КПД Мерфри) у-й тарелки. Остальные переменные приведены в табл. 1.

Величины К-, Нь , Н] , находящиеся в уравнениях (5)—(7), рассчитываются по формулам

К- К,. у

т. р.

-' -' с

X к- X

V ку

к=1

к=1

(9)

Ь к (5)

р-+1г' .-+1 - я-1' .--я- ^и - = П' уравнение парожидкостного равновесия через КПД тарелки

с

XVк . -

Е- = V.- - (1 -П-М „ ^^

нЬ = нЬ

I,-

Т- Р с

X ^

к=1

н] = н]

(6)

\

(10)

Т р -

± г-1 г

V ,

Ч'-Ч' с

XV к . -к=1

Уравнения (5)—(7) составляют систему Щ2С + 1) независимых нелинейных уравнений. Таким образом, необходимо выбрать ^2С + 1) независимых переменных. В табл. 1 приведен список исходных и выбранных независимых переменных.

п

с

Рис. 1. Блок-схема алгоритма Бройдена для решения системы нелинейных уравнений.

Если отвод и подвод От теплоты неизвест- ступени контакта ректификационной колонны

ны, то уравнения теплового баланса Н1, Им заме- можно упорядочить функции и переменные в

няются на альтернативные функции (табл. 2). следующей последовательности:

Для получения матрицы Якоби с минималь- т

ной полосой заполнения уравнений для каждой Г = [[,Г2,.......,FN] ; X = X2,............,XN],

^ ПТ Р1

1 1 ' 1 1

ип

(а)

ь1 - 1 V

Т - 1

х1,1 - 1 ум

Р1 - 1 и- 1 и!

Т

Р

Т

Р

1-я тарелка

Р Т

1, 1

И?

', 1

и+ 1

V+1

Уи + 1

Т+1

Р1+1

щ

о,

(б)

(в)

ьл - 1 ИЛ- 1 И V ' ИЛ !л и 1 ' И? иV

ТЛ - 1 ТЛ Т1 Т1

х(, Л- 1 У¡, N Х(, 1

РЛ - 1 РЛ Р1 Р1

(+) Подвод тепла

иЛ

У\

У, 1

Т1 Р1

?1 !2

Т2

х1, 1 У¡, 2

Р2

И? И!

(—) Отвод тепла

Рис. 2. Структура материального и теплового балансов по потокам ректификационной колонны: (а) — обычная тарелка, (б) — кипятильник, (в) — дефлегматор.

где р = [[, ^, M2J,..., Mc)j, ^, ^,..., Ec,j ]Т;

Xj = К}, V2,}..... VС,1 > Т1> К1.12,1 >.... lC,} ].

Система уравнений (5)—(10) решена по методу Бройдена с использованием критерия сходимости, рассчитанного по формуле

N

Е

т =

H 2+Е((+Е1)

i=1

N (2C +1)

^ е,

где И, М, Е — уравнение теплового баланса, материального баланса и фазового равновесия соответственно; е = 10-10.

Если 01 и являются переменными, то после того, как критерий сходимости выполняется, отвод и подвод теплоты рассчитываются по формулам

Ql = Г2Н% - \_ViHlV + (А + Ul )H1L ]; (11) QN = Е (( + Р^Н* - иН - WjHVj ) -

1=1

N-1

(12)

- Е Qj - ГН - LNHLN.

1=1

Прежде чем перейти к использованию метода Бройдена по решению систем уравнений матери-

Таблица 1. Список исходных и независимых переменных

Переменная Число Исходная Независимая

Нагрузка теплоты (0у) N N -

Питание на каждую тарелку Щ) N N -

Давление питания (Р?) N N -

Температура питания (Т;Р) N N -

Состав питания (ц у) N х С N х С -

Боковые отборы и у, Жу-) 2 х N 2 х N -

Температура на тарелке (Ту) N - N

Давление на каждой тарелке (Ру) N N -

Частные жидкий и паровой потоки (1, у; V, у) 2 х N х С - 2 х N х С

Сумма Nх (3с + 8) N х (С + 7) N х (2с + 1)

Таблица 2. Альтернативные функции для #1, Им

Исходные параметры

Для #1 Для Н N

с с с с

I 'и —11 Б 1 Чц = 0 х и Ум х в х

г=1 г=1 -=1 г=1

Т - Тб = 0 ТМ - ТВ = 0

с с

I V, ,1 - Б = 0 X км - В = 0

г=1 г=1

V ,1 - ^ 0 '-М - = 0

(с л (с л

V,! - У, Б = 0 X Х,В

1м ) V г=1

Флегмовое число — или — Б В

Температура ТВ или Тв Дистиллят Б или кубовый продукт В

Поток компонента продукта di или

Концентрация компонента продукта или х,в

ального и теплового балансов, фазового равновесия и т.д. рассмотрим базу данных физико-химических свойств газов и жидкостей.

БАЗА ДАННЫХ ПО ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ

Одним из условий успешного функционирования программного обеспечения при расчете процесса ректификации является наличие необходимой информации, в частности данных, характеризующих термодинамические, физико-химические свойства веществ, используемых при расчете процесса ректификации. Причем точность этих данных играет решающую роль для определения результатов. Эти данные составляют базу данных программы.

В настоящее время база данных является необходимым условием компьютерной программы моделирования любого химико-технологическо-

го процесса. В ней содержится информация о физико-химических, термодинамических свойствах веществ, параметрах оборудования, технологических схемах, показателях эффективности производства и т.д. Совокупность таких данных составляет информационную базу [5].

При расчете процесса ректификации обычно приводят системы математических уравнений, описывающих материальный и тепловой балансы, а также уравнения фазового равновесия [1]. В этих уравнениях содержатся также физико-химические и теплофизические величины (давление пара, теплота испарения, удельная теплоемкость, плотность, фазовое равновесие систем жидкость—пар, жидкость—жидкость, жидкость—жидкость—пар, теплоемкость, критические давление, температура, объем и т.д.). Значения этих величин необходимо выражать в диапазоне требуемых температур. Авторы разработали базу данных для газов и жидкостей и программу управления этой базой данных.

Таблица 3. Структура таблицы данных по физико-химическим свойствам жидкостей и газов

№ Название поля Описание Тип данных

1 No номер вещества "Integer"

2 Formula формула вещества "Text"

3 Name название вещества "Text"

4 MM мольная масса "Text"

5 TP нормальная температура плавления [К] "Text"

6 ТВ нормальная температура кипения [К] "Text"

7 ТС критическая температура [К] "Text"

8 PC критическое давление [Гбар] "Text"

9 VC критический объем [см3/моль] "Text"

10 ZC критический коэффициент сжимаемости "Te

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Химическая технология. Химическая промышленность»