МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.375
© 2008 г. С.А. ЗОРИН, В.Н. МАКСИМЕНКО
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ И ТОНКИМИ УПРУГИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Решается задача определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей систему тонких прямолинейных упругих включений. Предполагается, что между включениями и пластиной осуществляется идеальный механический контакт. Предлагается уточненная модель соединения, учитывающая изгибную жесткость включений (при переходе через линию контакта терпят скачок касательные и нормальные напряжения, а также производные от смещений). Решение задачи строится в виде комплексных потенциалов, автоматически удовлетворяющих краевым условиям на контуре эллиптического отверстия и на бесконечности. Задача приводится к системе сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Исследуется влияние жесткост-ных и геометрических параметров упругих включений на распределение и величину напряжений на контуре отверстия в пластине. Дается сопоставление полученных численных результатов с известными данными.
1. Введение. Задачи по расчету тел с включениями имеют важное значение в связи с широким применением композиционных материалов, конструкций, усиленных или армированных тонкостенными элементами. В ряде работ, посвященных задачам упругости для тел с включениями (см. [1, 2] и обзоры в них), включение рассматривалось как одномерный континуум (стержень), работающий только на растяжение-сжатие (при этом подходе включение моделировалось линией, при переходе через которую терпят скачок касательные напряжения, а нормальные напряжения и смещения изменяются непрерывно). В некоторых работах предполагалось, что включение представляет собой пластинку с пренебрежимо малой изгибной жесткостью. В третьем подходе включение рассматривалось как пластина, и исходя из того, что один из ее линейных размеров существенно меньше другого, строилась его модель.
В настоящей работе впервые проводится исследование напряженно-деформированного состояния бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой прямолинейных тонких упругих включений. Упругое включение рассматривается в рамках третьей модели как пластина, один из линейных размеров (ширина) которой существенно меньше другого. Граничные условия на включении записываются в предположении, что при переходе через линию контакта терпят скачок касательные и нормальные напряжения, а также производные от смещений. Строятся специальные интегральные представления решения задачи, определяемые из граничных условий вдоль линий контакта и автоматически удовлетворяющие краевым условиям на контуре эллиптического отверстия и на бесконечности. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и дается алгоритм ее численного решения. Приводятся результаты расчетов, иллюстрирующие влияние геометрических и жесткостных (изгибной жесткости и жесткости на растяжение-сжатие) параметров упругих включений на распределение напряжений на контуре отверстия в пластине.
Фиг. 1
В случае вырождения эллиптического отверстия в прямолинейный разрез вычисляются значения коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах разреза. Дается сопоставление численных результатов с данными, полученными с использованием упрощенной модели упругого включения, представляющего собой одномерный упругий континуум, работающий только на растяжение-сжатие.
2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную прямолинейно-анизотропную пластину толщины Н с эллиптическим отверстием Ь0 = {(х/а)2 + (у/Ь)2 = 1} и системой М прямолинейных тонких упругих включений. В пластине введем общую прямоугольную систему координат хОу. Для у-го включения (у = 1, М) введем локальную систему координат Х(у)О(у)У(у), где О(у - геометрический центр включения, ось ОуХу) направлена вдольу-го включения, угол между осью ОуХу) и осью Ох обозначим через Ху (фиг. 1). Пусть у-е включение имеет длину 2', ширину 2Ьу и толщину Н. Отрезок [-', '] оси ОуХ' обозначим через Ьу, а величинам, характеризующим у-е включение, будем приписывать индекс (у). Индексами (+) и (-) будем обозначать граничные значения функций соответственно при у у ^ +0 и у у ^ -0. Пластина загружена внешними усилиями
Хп + 1Уп на контуре отверстия и усилиями о~ , о^ , Т~у на бесконечности. Считаем, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а на берегах включений осуществляется идеальный механический контакт с материалом пластины.
Условия контакта включений и пластины можно представить в виде
(оУЛ - уу = ±Ьу = (Оу - IТху)|уу = ^ (2.1)
( "(Л + 1и(/))\ у(у) = ±Ьу = ( и + г'и)1 у(у) = ±Ь; - Щ (2.2)
где Щу - угол поворотау-го включения как жесткого целого.
3. Получение системы уравнений задачи. Будем рассматривать включение как анизотропную пластину с главными осями анизотропии, направленными вдоль осей О( уХ( у), О(уу(у) соответственно. Напряженно-деформированное состояние у-го включения можно описать двумя аналитическими функциями Фуу (гуу), где = Ху + Ц^уу Цу - корни соответствующего характеристического уравнения с положительными мнимыми частями [3]:
(о(Х), о<уЛ, тХЦ) = 2Яе | £ (ц^-, 1, -Цуу)Фуу(^)} (3.1)
(«(и(Л) = Же! £ (qVJ()} + (О, «) (3.2)
и=1 ^
Р\] = ^пМу' - ^бУу + а<12 , Чу. = ап№у] - ^^Млу - ^26*
где аЦ^ - коэффициенты деформаций материала .'-го включения.
Предполагая, что включения тонкие по ширине, воспользуемся разложением комплексных потенциалов Ф'гу) в ряд Тейлора по степеням Ь. в окрестности точки t действительной оси 0(')Х(.) и, пренебрегая величинами высших порядков малости по сравнению с Ь., получим:
(а^t), '(t)) = 2Яе| £ (1, )х±'(t)} (3.3)
= 1 ^
('t), и(±(t)) = 2Яе| £ (р. qVj)х±.(t) 1 (3.4)
= 1 ^
Х±.(t) = Ф.t) ± Ь^Ф.t), t е Ь}, (' = 1м)
Напряжения и производные от смещений в пластине имеют вид [3]:
(ах, а у, Тху) = 2Ие<| £ (Щ, 1, -Цу)Фу( } (3.5)
= 1 ^
(и\ и) = 2Яе| £ (Ру, qv)Фv(+ (0, «о) (3.6)
и=1 ^
Ру = а11 цУ - а1бЦу + a12, qv = а12Цу - а22^у] - а2б, ^ = х + ЦуУ
где ц,, ак - параметры анизотропного материала пластины; «0 - угол поворота пластины как жесткого целого.
Комплексные потенциалы Фу(гу), описывающие напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины по аналогии с [4, 5], будем разыскивать в виде:
2
Фу(= £ Фу((3.7)
I = о
Здесь функции Фу0(гу) определяют известное основное напряженное состояние, вызванное внешней нагрузкой на контуре отверстия и на бесконечности в пластине без упругих включений, а функции Фу1(гу), Фу2(гу) описывают возмущенное напряженное состояние, возникающее из-за наличия упругих включений.
Исходя из решения задачи о действии сосредоточенной силы во внутренней точке т бесконечной анизотропной пластины со свободным от внешних усилий эллиптическим отверстием Ь0 и не нагруженной на бесконечности [3]:
* 1 ( Ау 1уА1 пуА2 }
Ф*(гу) = «Ю 1 ёу-п + + ^ХСуПГ-!) ] (3.8)
а -1Ъ а + I гу = юу(Су) = —2— ^ + —2— ^ , Ы> 1
/~2 71 2,2, Г г ( ) + 7гу _(а + Ь ) )
^ = ^ =-а^цъ-• = -
/"1 71 2,2, г . , % + V% _ (а + ЦуЬ )
^ = =-а^цъ-• Тт =Ке Т+^1т Т
^ = ^э^^ц-Рк, ^ = (V = 1, 2)
Мл* - Д3- V - Д3- V
и используя принцип суперпозиции, функции (к = 1, 2) будем разыскивать в виде
ф ( ) _ 1 М "VK^'S 'V ~1 K^'^ -V \ I 7
vK(Zv) = Zv (Z v ni - i) Zv (Zv n2 - i)1
AVK (T) _ ¡v Ai K (T) _ nvA2K (T)
L 1
= i г I QyK(T)dTv _ ¡vQ1K(T )dT i + nv^2K(T)dT2 I (3 9)
2n¿«v( Zv)¿l nv - Zv Zv(i - Zvñ i ) Zv(i - Zvñ)J
M
QvK(t) = -2niAvK(T)/Mv(T); Mv(x) = ¿vsinX(t) + cosX(t), L = u Lj
j = i
где Qvk(T) = {(T)l T 6 Lj, j = i, M; K, v = 1, 2} - неизвестные комплексные функции
на контурах L; X = Х(т) = {Х,(т) | т 6 L,, j = i, M }; Xj(t) - угол наклона j-го включения относительно оси Ox; dTv = Mv(T)ds (ds -элемент дуги L).
Построенные таким образом функции OvK(zv) автоматически удовлетворяют условиям Xn = Yn = 0 на отверстии L0 и затухают на бесконечности. Следовательно, выбор функций Ov(zv) в виде (3.7), (3.9) обеспечивает выполнение краевых условий на контуре отверстия L0 и на бесконечности.
На берегах включений потенциалы Ov(zv) должны удовлетворять краевым условиям [4, 5]:
a,( t )Ф; (t) + bi (t )Ф; (t) + Ф2 = F-(t) (3.10)
--M
a2(t)Ф±(t) + b2(t)Ф±(t) + Ф±(t) = W±(t), t 6 L = U Lj (3.11)
j = i
m Mi(t) Mi(t) ц, - Ц
ai(t) =aoMm' bi(t) = b°M2^' ao = ^
ц, - ц2 M, (t) M, (t)
b° = цгц • a2(' > =A m • b2('1 =rn
. P2?1- pq n P2?1- Pi A0 = =-=• й0 = =-=
P2P2Í2 P2Í2" P2
^^ Txy( t) + Ц2 (t) TI,±
F( t) = -2:-=-22-
(Ц2- )M2 (t)
(t) - q2 u' (t)
, W (t) = -y-
(P2q2- ^2)M2(t)
где т±у (t), а± (t), г/±^), и'±(0 - неизвестные контактные напряжения и производные от смещений пластины на берегах включений Ь..
На берегах включений должны выполняться следующие соотношения [5]:
ai( t )Qn (t) + bi( t )Qn( t) + Ü2i( t) = 0
M
a2(t)Q12(t) + b2(t)Q12(t) + Q22(t) = 0, t e L = U L,
(3.12)
j = i
Вычитая в уравнениях (3.10), (3.11) функции с индексом (-) от функций с индексом (+) и используя соотношения (3.12) и формулы Сохоцкого-Племеля, получим:
a*( t )Q12 (t) + b*( t )Q12 (t) = F+( t) - F( t)
a*(t)Qn(t) + b*(t)ОЦ(t) = -(W (t) - W(t))
a*(t) = a1 (t) - a2(t), b*(t) = b1 (t) - b2(t), t e L
(3.13)
Для упрощения получаемых соотношений будем предполагать, что материал пластины и включений - ортотропный, т.е. ц = г'Ру, ц. = ¿Ру (Ру; ву - параметры материала пластины и включений соответственно).
Из уравнений (3.13), используя соотношения (2.1), (2.2), (3.3), (3.4), получим
£ CkvAv(t) + Ck,v + 2Bv(t) = RkФ1(t) + (-1 )*Яз-kФ2(t) (k =1, 2)
/ = 1
2
k
£ Ck + 2, vAv(t) + Ck + 2, v + 2 Bv( t) = Rk V1( t) + (-1 r H3-k ¥2 (t)
, Tv2 = 2b jQv cos X,
v = 1
(3.14)
Lkv
Pvj
vj
- ZZki + (-1 )k + 1 T3 - k: 2"
P2
k, v + 2
P
= P
vj
vj
k2
Lk + 2, v
P
P2 (-1)'
+ (-1)
k + 1 T3- k, 1'
k +1 T2, 3- k T1k~!
vj
Lk + 2, v + 2
P2-I
, Q1
, Tv 1 = 2 bjQv sin Xj 1
Re
M2( t)
pv,
2k
+ (-1)
k + 1 T1, 3 - k
Q2 = Im
1
M2( t)
Lp2 7 P2
R1 = Re{a*(t) + b* (t)}, H1 = Re{a *(t) - b *(t)}, sv = -iqv R2 = Im{a*(t) + b* (t)}, H2 = Im{a *(t) - b* (t)}, svj = -iqvj
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.