ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2015, том 42, № 1, с. 56-62
КАЧЕСТВО И ОХРАНА ВОД, ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
УДК 532.543
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА
© 2015 г. Б. В. Архипов, В. В. Солбаков, M. Б. Соловьев, Д. А. Шапочкин
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН 119991 Москва ГСП-1, ул. Вавилова, 40 E-mail: arhip@ccas.ru Поступила в редакцию 15.12.2011 г.
Предложен метод расчета характеристик загрязнения водной среды. Показано, что корректное определение и расчет этих характеристик возможны только с использованием лагранжева подхода. Для преодоления сложностей расчета на деформирующейся лагранжевой сетке рассмотрены особенности интерполяции расчетных величин при переходе с деформированной лагранжевой сетки на недеформированную. Предложен оригинальный прием, позволяющий обеспечить сохранение значений основных функционалов при выполнении такого интерполирования. Проанализирован характер возмущений расчетных величин, возникающих из-за перестроения сетки и последующей интерполяции. Показано, что эти возмущения несущественны.
Ключевые слова: гидродинамические процессы, лагранжев подход, оценка воздействия на окружающую среду.
Б01: 10.7868/80321059614060029
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Хозяйственная деятельность часто сопровождается загрязнением водоемов, рек и морей. Загрязняющие вещества оказывают отрицательное воздействие на различные группы гидробионтов, в том числе на промысловые виды рыб и зообен-тоса. Последствия антропогенного воздействия на гидробионты представляют научный, практический и экономический интерес [6]. Для расчета размера ущерба гидробионтам при попадании загрязняющих веществ (ЗВ) в водную среду необходимо в качестве основы расчета определить набор гидрологических характеристик.
Рассмотрим следующую модель гибели микроорганизмов. Предположим, что за время ТЦт гибнет 100% микроорганизмов в некотором объеме V, концентрация ЗВ в котором выше некоторого заданного порогового значения СЦт, а за время ' < ТЦт гибнет доля их общего количества, равная ?/ТЦт. Такой подход приемлем при определении доли погибших организмов в неподвижной жидкости в лабораторном сосуде, когда фиксировано время существования загрязнения и его концентрация. При непрерывном продолжительном поступлении ЗВ в движущийся поток, скорость которого меняется во времени и пространстве, ис-
пользование описанной модели затруднено в связи с необходимостью определения объема загрязненных вод и продолжительности загрязнения. Эти трудности обусловлены тем, что различные объемы воды загрязняются в разной степени и в течение разных периодов времени, как это обычно бывает при попадании ЗВ от некоторого длительно действующего источника в водную среду. Для точного определения этих величин необходимо использовать лагранжево описание движения сплошной среды [3].
Напомним, что лагранжевы координаты х = = (хь х2, х3) маркируют материальную частицу жидкости, а эйлеровы координаты X = (Х1, Х2, Х3) маркируют точку неподвижного пространства. Эйлеровы координаты частиц жидкости в начальный момент времени '0 используются в качестве их лагранжевых координат. Связь лагранжевых и эйлеровых переменных задается уравнениями гидродинамики в лагранжевой форме ([4]):
X (х, ') = х + IV [X (х, Г), Г]Г, (1)
'0
где V(X,- поле вектора скорости. Любую функцию, например концентрацию ЗВ, можно рассматривать как функцию эйлеровых переменных
СЕ (X ,Т) и как функцию лагранжевых переменных С^ (х, г):
Сь (х,г) = Се [X(х,г),Т]. (2)
Пусть О0 - область изменения лагранжевых координат. Для определения массы микроорганизмов, погибших в результате попадания ЗВ в водную среду, введем величину г Цт (х, г) — суммарное время, в течение которого в точке х наблюдалось превышение заданного СЦт:
tlim (x, t)= J dt'.
(3)
[o, x Й G
(4)
N
M » £ CoVi
i=1
Ji_ T
lim
C0
T
N
^ £V-t;,
lim i=1
(7)
где C0 - начальная концентрация микроорганизмов в объеме G[. В пределе при max Vt ^ 0 сумма
в правой части этого выражения переходит в интеграл
TSnrn — Jt limdx
lim"
(8)
Пусть М0 = С0¥{ - начальная масса микроорганизмов в объеме 0[. Тогда доля погибших микроорганизмов М/М0 удовлетворяет соотношению
С(х,г ')>Сцт
Рассмотрим следующие области (зависящие от времени 1): область 0[, состоящую из тех точек, в
которых гЦт (х,г) > 0; О'2 — область, состоящую из точек, в которых концентрация ЗВ превышает значение СЦт в текущий момент времени.
Характеристические функции соответствующих множеств обозначим 0п (х,г),п = 1,2:
M = 1Н ^. T
Mo Tim V
rt Jtlimdx =
Ti
lim
где
T = Vt Jtlimd V . Vi i
(9)
(10)
Назовем величину
Vfresh (г) = V = | йх = 10! (х, г) йх (5)
Оо
объемом протекших загрязненных вод, а величину Vplume (г) = ^ = |йх = 102 (х, г) йх (6)
О2 Оо
объемом шлейфа загрязненных вод. О соотношении этих величин говорится ниже.
Возникает вопрос о том, какую величину следует использовать в качестве интегрального показателя времени загрязнения частиц жидкости при определении доли организмов, погибших в результате воздействия ЗВ во всем рассматриваемом объеме жидкости. Разобьем весь объем О1 на N частей с объемами V, так что V/ = ^^ V, и зафиксируем длительность загрязнения г{ выше заданного порогового значения СЦт в каждом из этих объемов. Оценим массу микроорганизмов
М, погибших в объеме О[, по формуле (предполагается, что г1 < ТЦт)
Таким образом, знание величин Vfresh и T позволяет определить долю микроорганизмов, погибших в течение некоторого рассматриваемого промежутка времени во всем рассматриваемом объеме жидкости.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В КАНАЛЕ
Проиллюстрируем вычисление введенных величин на примере задачи о распространении ЗВ в канале с постоянным уклоном дна глубиной H = const и шириной 2L = const. Поле течений в таком канале определим на основе решения задачи мелкой воды [1], взятой в следующем виде:
дн + d(HU) + d(HV) = 0
dt дх1 дх2 '
dHU , dHU , dHVU
dt
д
дХ1 с
vH
дХ2
dU
д (gH 2/2)
дХ1
дХ1 ^ дХ1
dHV , dHUV , dHV
-д-ívH—
дХ2 ^ дХ2
д (gH 2/2)
dt
д
дХ1 f
vH
дХ2 dV'
дХ
2
дХ1 V дХ1 dh
д
дХ2
г
v H—
v дХ2
gH
дХ1 -в U,
gH ^
дХ 2
-в V,
(11)
(12)
(13)
= const, —— = 0, U(X,,0) = 0, U(X,,2L) = 0.(14)
dxx dx2 1
Здесь H = ^ + — - полная глубина, — - невозмущенная глубина, q - отметка свободной поверхности, U и V - компоненты скорости течения, g - гравитационное ускорение, v - коэффи-
G
циент турбулентной вязкости, р - коэффициент трения.
Ищем решение в виде
U = U(X2), V = 0, U (0) = 0, U (2L) = 0, H = const.
В таком случае уравнения (11)—(13) сводятся к одному уравнению
g — + -в U = 0, dX dX2 H
решение которого — следующее параболическое по форме поле скорости в области (—да < X1 <
< +да, 0 < X2 < 2L):
U (X1, X2, t) = a exp (a X2) + b exp ( -a X2) + »m V (Xi, X2, t ) = 0,
(15)
где
a = -m,
M b=», (1^20)
2sh (2a)
2sh(2a)
a = LA-*—,
H dh
Um = g--.
ßÖx
(16)
M =
M0 = const, t < Ts,
0, t > t„
действующим в течение времени Ts и расположенным в точке XS = ( X1s, X2s ) = (0, L):
dCE + и дСж + v дСА =
= к
dT
Гд 2Ce
+ ■
dX1 д 2c 4
dXi dX:
2 J
dX 2
+ § 8 (X - Xs ),
(17)
где 5(X - XS) - дельта-функция, K - коэффициент диффузии.
Переходя в (17) к лагранжевым координатам xb x2 и к новой искомой функции CL(x1, x2, t), получаем уравнение переноса—диффузии в лагран-жевой записи:
dcL JW + W + M5(x - xs), (18)
dt
где
dx1 dx2 OCl
H
дСт
W1 = Kn^ + Kl2-^
W2 = K21
K11 = K
1 +
dX 1 dx2
dx1
дСт дх1 2"
K
22
дх 2
дСт дx,
(19)
K12 - -K
dX 1 dx2 '
(20)
положе-
В случае распространения ЗВ в канале, когда профили скоростей течений определены зависимостями (15), формула перехода от лагранжевых координат х = (х1, х2) к эйлеровым координатам X = (Х1, Х2) имеет следующий вид:
Х1 = XI (х1, х2,') = и (х2)(' - '0) + хь
X2 = Х2 (x1, x2, ') = х2.
Для моделирования процесса распространения ЗВ в канале воспользуемся двухмерным уравнением переноса—диффузии с точечным источником с интенсивностью М:
ЙУ
1
K 21 - -K --, K 22 - K,
0x2
xs = К, x2s) = (X1s - U(X2s) (t - to ) , X2s ) -ние источника в лагранжевой системе.
Уравнение (18) рассматриваем в конечной области
G0 = {(x1,x2):L1 < x1 < L2,0 < x2 < 2L},
выбирая L1 и L2 так, чтобы источник ЗВ находился достаточно далеко от ее границ в течение всего времени его действия. В начальный момент времени полагаем С L = 0, а в качестве граничных условий задаем отсутствие потоков на берегах канала:
W = K21 ^ + K22 ^ = 0
(21)
дх1 дх2
при х2 = 0 и х2 = 2Ц,
и однородные граничные условия: СЦ = 0 на границах х1 = Ь1 и х1 = Ь2. Последнее означает, что рассматривается достаточно протяженная область потока Ц < х1 < Ц и в течение рассматриваемого времени концентрация ЗВ на ее границах остается пренебрежимо малой.
ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА Для решения поставленной задачи введем в области 00 равномерную прямоугольную сетку лагранжевых координат с узлами
x1,i = L + ikxh x2j = jAx2, 0 < i < N1, 0 < j < N2,
(22)
где Дх1 = (Ц2 - Ц)/Иъ Ах2 = 2Ц/И2. Через х1,1 и х2,/ обозначим координаты центров ячеек:
х1,1 = Ц + ( + 0.5)Дх1, х2,/ = (/ + 0.5)Дх2,
0 < I < Ж1, 0 < / < ж2.
Нумерация ячеек соответствует нумерации их левых нижних узлов.
Значения Ci
искомой функции СЦ будем относить к центрам ячеек, а потоки ЗВ Ж1 и Ж2 -
i+1/2,j+1/2
(23)
к центрам границ ячеек (х1;, х2, ■) и (х1;, х2,j), обозначая их соответственно ^,;+1/2 и Щ-+1/2,;. Через X1,;■,j■ и X2,;■,j■ будем обозначать координаты подвижных узлов эйлеровой сетки, отвечающих введенным лагранжевым узлам (22):
Xу,■ = X1>;. ■ (г) = и (х2,■) (г - го) + ху,
X2,1,] = X2lj (г) = х2,■, о < ; < N1, о < ■ < N2.
Из закона движения узлов сетки (23) видно, что исходные прямоугольные ячейки с течением времени превращаются в параллелограммы, но при этом площадь каждой из ячеек остается неизменной.
Применяя метод контрольного объема [5], аппроксимируем уравнение (18) явной разностной схемой
Ч+1/2,у+1/2 - С;+1/2,■+1/2 _
дг "
Щ+1
■+1/2 ■+1/2 , Щ+1/2, ■+1 - ^+1/2, ■ + м; +1/2,■+1/2
Axj Ax2
1 < i < N1 -1, 0 < j < N2,
H
C/2,j+1/2 = 0, 0 < i < N1, 0 < j < N2, = 0, i = 0, N1 -1, 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.