МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3:534.1
© 2008 г. Н.П. ТЮТЮННИКОВ, Ф.Н. ШКЛЯРЧУК
РАСЧЕТ ПОДКРЕПЛЕННОЙ СЛАБОКОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ КОНТУРЕ ЕЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Тонкостенные слабоконические и цилиндрические оболочки с произвольным открытым, одно- или многозамкнутым контуром поперечных сечений, подкрепленные продольными элементами (стрингерами, лонжеронами), используются в конструкциях крыльев, фюзеляжей, судовых корпусов. Чтобы не допустить существенных деформаций контура, такие конструкции подкрепляются поперечными элементами (нервюрами, шпангоутами).
Для расчета напряженно-деформированного состояния таких составных конструкций используются различные расчетные модели и методы. В частности, для расчета основного напряженного состояния при изгибе, поперечном сдвиге и кручении удлиненных конструкций часто используется теория тонкостенных балок [1], основанная на гипотезе свободных (нестесненных) депланаций и искривлений контура поперечных сечений. Для расчетов с учетом стеснения депланаций и искривлений контура, вызванных переменным распределением нагрузок, поперечными подкреплениями и различием геометрических и жесткостных параметров отсеков оболочек, в общем случае обычно используется метод конечных элементов или суперэлементов (под-конструкций) [2, 3].
Для определенных частных случаев (в основном для отдельных отсеков цилиндрических и слабоконических оболочек, расположенных между поперечными подкрепляющими элементами, с использованием дополнительных упрощающих допущений) разработаны эффективные вариационные методы расчета в перемещениях [4-8] и в напряжениях [9], сводящие задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В одночленном и двучленном приближениях эти методы позволяют получить аналитические решения, удобные для практических расчетов. Однако для оболочек с многозамкнутыми контурами поперечных сечений, а также для уточненных расчетов при использовании вариационного метода Власова [4] возникают трудности выбора функций, представляющих депланации и искривления контура поперечных сечений. В работе [10] при расчете цилиндрической оболочки с однозамкнутым недеформируемым контуром поперечного сечения депланации представлялись в виде разложений по ортогональным на контуре собственным функциям, для определения которых методом разделения переменных было получено специальное интегродифференциальное уравнение. В [11] получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка типа уравнения Штурма-Лиувилля, решения которого представляют собой полную систему ортогональных функций, имеющих также ортогональные производные, на произвольном открытом, одно- или многозамкнутом контуре дискретно подкрепленной продольными элементами без-моментной цилиндрической оболочки. При расчете такой оболочки с разло-
жением перемещений по этим функциям получаются несвязанные между собой обыкновенные дифференциальные уравнения.
В публикуемой работе методом разделения переменных получены дифференциальные и соответствующие вариационные уравнения для численного определения полных систем собственных функций на произвольном контуре дискретно подкрепленной безмоментной слабоконической оболочки и слабоконической оболочки с недеформируемым контуром. С использованием полученных систем собственных функций задачи деформирования этих двух типов оболочек сводятся к несвязанным дифференциальным уравнениям, которые решаются точно.
1. Безмоментная слабоконическая оболочка. Рассмотрим короткий отсек тонкой слабоконической (в частном случае - цилиндрической) оболочки с произвольным открытым, одно- или многозамкнутым контуром поперечного сечения, дискретно подкрепленной продольными элементами (стрингерами) (фиг. 1). На торцах отсека x = 0, L могут быть заданы погонные усилия N, S или соответствующие им тангенциальные перемещения и, и, т.е. N или u, S или и. Отсек может быть частью составной конструкции, которая соединяется на торцах через посредство поперечных стенок и окантовок (нервюр, шпангоутов) с другими отсеками, как это имеет место в конструкциях крыльев, фюзеляжей, судовых корпусов. В таком случае отсек оболочки рассматривается как подконструкция (укрупненный конечный элемент или суперэлемент), для которой матрицу жесткости по отношению к обобщенным координатам, характеризующим перемещения торцов и, и, можно получить на основании аналитического решения в перемещениях. Последующие упрощения и допущения используются для того, чтобы получить точное решение такой задачи.
Положение любой точки срединной поверхности слабоконической оболочки будем характеризовать координатами x и s0, где x - произвольная продольная ось, проходящая через вершину конуса, а s0 - длина дуги контура поперечного сечения x = 0. Оболочка считается слабоконической, если угол a(s0) между осью x и любой образующей s0 = const является малым (sin a ~ a, cos a ~ 1).
Контуры поперечных сечений оболочки являются геометрически подобными:
У = У0 (s0) k (x), z = z 0 (s0) k (x), s = s0 k (x); k = 1 + x/L0
где у0(,0), г0(,0) - координаты точки контура в сечении х = 0; Ь0 - расстояние от вершины конуса в точке х = -Ь0 до торца х = 0. Если оболочка является сужающейся, то величина Ь0 будет отрицательной. В случае цилиндрической оболочки Ь0 ^ ±«> и к ^ 1.
Толщина оболочки к не изменяется по длине отсека, а площади продольных подкрепляющих элементов, направленных вдоль образующих = у, изменяются по линейному закону / = /0ук(х); тогда приведенная толщина к^(у0) = к(,0) + 1у/0у5(л0 - ,0, у) не зависит от х. Если площадь поперечного сечения у-го стрингера постоянна и равна /у, то в пределах длины короткого отсека его можно заменить эквивалентным по жесткости на растяжение стрингером переменного сечения/ = /0ук(х), где/0у = /у (Ь/Ь0)[1п(1 + Ь/Ь0)]-1.
Считаем, что все стрингеры, чтобы их не выделять, расположены внутри контура поперечного сечения оболочки. Например, стрингер на продольном краю = I располагается на линии ,у0 = I - 0; условный разрез контура может осуществляться с какой-либо одной стороны у-го стрингера при л = ,0, у - 0 или л = ,0, у + 0.
Деформации и перемещения срединной поверхности слабоконической оболочки связаны следующими соотношениями:
ди 1 (ди п) 1 ди , д (и) ,, 1Л
е х = д? ^ = 11(, ^ = Щ + к д-(к) (1Л)
где Я(,0) - радиус кривизны контура в сечении х = 0.
Физические соотношения для погонных усилий продольного растяжения и сдвига для конструктивно ортотропной оболочки примем в виде
Мх = Бех, 5 = ОкУхл (1.2)
При этом используется одно из следующих допущений:
1) М = 0, п/Я = -(ди/д,0 + цди/дх), Б = Ек*
2) е, = 0, п/Я = ди/дБ = Ек*/(1- ц2)
3) N. = 0, е,« 0, п/Я = -ди/д,0, Б = Ек*
Здесь Е, О, ц - модуль нормальной упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона.
Для получения уравнений будем использовать принцип возможных перемещений 5П - 5А = 0, где вариации потенциальной энергии и работы поверхностных нагрузок записываются в виде
ь ь
5П = Ц[ Мх 5ех + 5 5ух5] кйл0йх, 5А = Ц[ рх5и + р, 5и + р 5 п ] кйл0йх (1.3)
0 I 0 I
где I - контур поперечного сечения оболочки при х = 0. Далее будем полагать, что п = -Я(дп/д,0).
Дифференциальные уравнения равновесия оболочки в перемещениях имеют вид
2
„ д (, ди) 1 д („, ди ) , д Б кт- + т=т- Окт— + к
дхV дх) к дV д,0) дхд
Ои) + кРх = 0
(1.4)
1—Г
к дх_
кОкди + къокд (и
д дх (к
- к
р, + д70 (Яр\
Граничные условия на краях x = 0 и x = L записываются в виде: N = Np(s0) или u = uр(s0); S = Sp(s0) или и = Up(s0) (1.5)
где индексом в показаны заданные функции на торцах x = 0 (в ^ 0), x = L (в ^ L).
2. Полная система ортогональных функций на произвольном контуре оболочки. Решение однородных уравнений по методу разделения переменных ищется в виде
u = U( x)9( so), и = V(x)y( so) (2.1)
Тогда уравнения (1.4) при px = ps = p = 0 с учетом (2.1) принимают вид
B (kU' )'m + k— U^ VGh^ 1 + k (k_1V) (Ghw) = 0 ds0 V ds0; о s0
d (2.2) (kU)'ip + [ k3( kV)']' w = 0
о s0
где штрихом обозначается производная по x.
Разделив второе уравнение (2.2) на (kU ')у и учитывая, что первое слагаемое этого преобразованного уравнения зависит от s0, а второе слагаемое - от x, будем иметь:
W = аЭф/Э s0, (kU)' = -а[ k3 (k_1 V)' ]' (2.3)
где а - произвольная константа.
Далее с учетом соотношения (2.3) первое уравнение (2.2) приводится к сумме двух слагаемых, из которых одно зависит от x, а другое - от s0. В результате это уравнение разделяется на два:
д- (Ghдф/дs0) + X2B ф = 0, (kU')'-[ k— U + ak(k_1V)'] = 0 (2.4)
d s0
где - неизвестная константа разделения переменных.
Из уравнения (2.4) можно определить функции ф^0) и константы как собственные функции и собственные значения. Принято, что стрингер, расположенный на краю оболочки, переносится внутрь контура бесконечно близко от края, а линия условного продольного разреза контура замкнутой оболочки не совпадает с линией стрингера, где касательные усилия S имеют разрыв. На основании этого граничные условия для уравнения (2.4) записываются в виде: S = 0 или ЭфДу0 = 0 на свободном краю; u = 0 или ф = 0 на
закрепленном краю; u(x, 0) = u(x, l), S(x, 0) = S(x, l) или ф(0) = ф(0, [дф/д0 ] = 0 = [Эф^0 ] = l на соединенных краях s0 = 0 и s0 = l замкнутой оболочки.
При данных граничных условиях уравнение (2.4) является самосопряженным и имеет бесчисленное множество действительных собственных функций фя^0) и собственных
значений ^ , n = 1, 2, .... Если оболочка не закреплена по продольным перемещениям на каком-либо продольном краю, то, кроме того, имеем ф0^0) = 1, А0 = 0.
Как следует из уравнения (2.4) при Gh = const и B = const в случае оболочки с произвольным однозамкнутым контуром поперечного сечения, имеющем длину l при x = 0, собственными функциями являются sin(ns0/l) и cos(nso/l), n = 0, 1, 2, ....
Выполняются условия ортогональности собственных функций и их производных:
г Г0, т Ф n . ЭфшЭфп Г0, т ф п
= \ т = , J ds0 = К (2-5)
l [an, m = n l оs0 ds0 yknan, m = n
Для численного определения собственных значений и собственных функций на произвольном контуре оболочки переменной толщи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.