ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 8, с. 19-22
УДК 539.12.04
РАСЧЕТ ПРОБЕГОВ АТОМНЫХ ЧАСТИЦ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ДЛЯ КВАЗИМАЛОУГЛОВОГО РАССЕЯНИЯ
© 2004 г. А. Н. Пустовит
Институт проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН, Черноголовка, Московская область, Россия Поступила в редакцию 09.09.2003 г.
Для квазималоуглового рассеяния и степенного потенциала взаимодействия Линдхарда-Нильсена-Шарфа вычислены дифференциальное сечение рассеяния, упругие ядерные потери и средний проецируемый пробег частицы в твердом теле. Установлено, что предельная энергия, переданная при столкновении ударяемому атому, зависит от степени экранирования потенциала взаимодействия. Проведено сравнение расчетных средних проецируемых пробегов частиц в веществе с имеющимися экспериментальными данными других авторов. Показано, что удовлетворительного согласия между экспериментальными и расчетными данными можно достичь без учета неупругих ядерных потерь.
ВВЕДЕНИЕ
При расчете среднего проективного пробега (Яр) частиц в твердом теле известно [1, 2], что чем легче атомы мишени, меньше энергия и больше масса налетающих частиц, тем роль неупругих (электронных) энергетических потерь становится менее значительной. Однако объяснить наблюдаемые экспериментально энергетические зависимости Яр только за счет упругих взаимодействий между частицами не удается [3]. Для устранения этих расхождений рассматривались различные теоретические и эмпирические потенциалы взаимодействия (ПВ), учитывались дополнительно неупругие энергетические потери частиц в разных видах (классическом или согласованном) и т.д. [2-9]. Возникает вопрос: почему все теории и модели не могут объяснить экспериментальные данные в диапазоне энергий до нескольких сотен кэВ на базе теории упругих ядерных столкновений?
Для ответа на этот вопрос вычислим, используя формулу (11) [10] и стандартную процедуру [2, 6], зависимость Яр от энергии Е для нормального падения ионов с массой т1 и зарядом ядра Z1 на поверхность твердого тела, состоящего из атомов с массой т2 и зарядом ядра Z2. Будем считать, что процессы взаимодействия между частицами упругие и происходят в поле степенного ПВ (13) [10]. Все результаты (промежуточные и конечные) сравним с вычисленными на базе формулы (5) [10].
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Используя соотношение йо = й(пр2) [11] (йо -дифференциальное сечение рассеяния, р - при-
цельный параметр в (24) [10]), имеем:
2 2 2 /5
йо(а) = (2па /5)(Z1Z2д к5Б1/2аЕ0) х
х( 1/а -1/Б1 )2/5-1 (й а/ а2).
Поскольку рассматривается упругое рассеяние, то, произведя в (1) замену а через переданную энергию Т, согласно [11],
а = 2 (Т/ Тт )1/2, (2)
где Тт - максимальная переданная энергия, равная Тт = уЕ0 = [4т1т2/(т1 + т2)2]Е0, получим следующую зависимость йо(Т) от переданной энергии:
2 2 2/5
й о( Т) = па Б1 (Z1Z2д к5/2аЕ0) х
^/пт1/2^ ^1/2,2/5-1,„1/2.0 „1/5 +1(3)
х(Б1Тт /2- Т ) (Тт /2яТ )йТ.
Отметим, что если при вычислении йо( а) используется формула (5) [10], то производить замену а через переданную энергию Т по (2) нельзя, так как для рассеяния на малые углы а < 1 [12] и йо(Т) рассчитывается для этого случая, а из (2) следует, что при Т = Тт а = 2.
Сечение упругого ядерного торможения иона (£я) вычисляется по формуле [1, 2]:
Т
т
Бя( Е) = | Тйо( Т), (4)
о
с одним существенным изменением. В (4) верхний предел интегрирования равен Тт. Замена а в (2) из (25)[10] приводит к
Т < б1 Тт/4 = (35 -1)Тт/252 = ТI, (5)
19
2*
Ti/Tm, отн. ед.
0.8
0.6
0.4
0.2
1
3
7
9 5
Рис. 1. Зависимость отношения от параметра
экранировки s.
SM/Sn, отн. ед.
1.2
На рис. 1 представлен график зависимости отношения Tl/Tm от величины s, полученный с использованием формулы (5). Отметим, что T = Tm только для кулоновского ПВ (s = 1). Из (5) следует, что верхний предел интегрирования в (4) должен быть равен максимальной величине правой
части этого неравенства, т.е. Tl = B2X Tm/4.
Заменяя в (4) предел интегрирования, значение dö(T) по формуле (3), произведя интегрирование и учитывая связь между Tm, E0 и E, согласно, (2) [10], получим:
2
S,
,(E) = J Tda( T) = J Tda(T) =
2, 4r s/2 s/2-1,, ,s - K2 /s
= (2n a/s)[ m1 m2 /(m1 + m2) J x x [Z1 Z2q2kJ2aJ2/sß?B2El~2ls,
(6)
где В2 = В[(2я - 2)/5, 2/5] - бэта-функция.
Аналогичные вычисления с использованием формул (5) [10] и (4) дают следующий результат расчета сечения упругого ядерного торможения (обозначим через 5п0) [11-13]:
^=[ ^-1) J[ m2»m--/(,„,+ ) • - Г (77)
x [Z1 Z2q2ks/2aJ s(B1/2)2lsE1~2ls.
s -b2/s.
1.0
0.8
0.6
Рис. 2. Зависимость отношения Sn0/Sn от параметра экранировки s.
где введена предельная переданная энергия Tl (the limit energy transfer in the collisions). Физический смысл неравенства (5) состоит в том, что чем больше экранирован ПВ (т.е. больше р и s), тем меньшая предельная энергия передается атому мишени.
Неравенства (25) [10] и (5) являются важным результатом, так как приводят к выводу о том, что для каждого значения прицельного параметра существуют разные максимальные значения а и T. При полной экранировке ПВ (s = T = 0. Ранее считалось, что для любого угла а максимальная переданная энергия постоянна и равна Tm. Из значений а и T при s = ^ следует, что в этом случае при учете только упругих ядерных потерь ион с любыми значениями Z, m и E проходит через мишень, состоящую из произвольных атомов, не останавливаясь в ней (т.е. средний пробег R(E) =
Отношение Sn0 к Sn выражается формулой:
Sno/Sn = s21-2/s/ [(s -1) B?-2/sB2 J,
(8)
из которой видно, что различие этих величин наблюдается только в зависимости от 5.
Для количественной оценки различия на рис. 2 представлен график зависимости левой части выражения (8) от 5. Для имплантации важен диапазон изменений 5 < 4 [8, 11]. В этом диапазоне величина 8п < 5„0 и имеет наибольшее отличие (на ~37%) при 5 = 1.5 (рис. 2).
Средний пробег иона определяется стандартным выражением [2, 6]:
Е
R (E) = J[ NSn( E )J-1 dE,
(9)
где N - плотность числа атомов в мишени. Подставляя в (9) Sn(E из (6) и вычисляя интеграл, получаем:
Я (Е) = 52 [ 2 а (т: + т2)5 -1/т1/2т2/2 ^ Х2 q2 к5 ]х
x E2ls/4п Na2 B? B2.
(10)
Ниже, при сравнении расчетов с экспериментальными данными, мы воспользуемся результатами работы [3], где экспериментальные исследования
T
0
о
о
о
РАСЧЕТ ПРОБЕГОВ АТОМНЫХ ЧАСТИЦ
21
проводились для частиц с m1/m2 ^ 1. Для этого случая, согласно [1],
Rp(E)/R(E) = 4 (2 5 - 1) / [ 4 (2 5 - 1) + (m2/m1) 52 ] .(11)
С использованием (11) и (10) выражение Rp(E) примет окончательный вид:
Rp (E) = 52( 25 - 1)[ 2a (т j + m2)5-1/mf2m2/21 х
х Z 1Z2q2ks]2lsE2ls/%Na2[4(2s - 1) + (12)
+ (m2/m1) 52] B21B2.
Формула, связывающая средний проецируемый пробег Rp0(E), вычисленный на базе (5) [10], и Rp(E) имеет вид:
Rp0 (E) = (5 -1) в\~2"в2 Rp (E)/5 21 -2/ 5. (13)
Оценим область изменений параметра 5. Впервые в практику расчетов этот параметр (в оригинале - n) был введен в работе [12]:
s = 1 + r/a.
(14)
Из (14) следует, что r/a = 5 - 1. Для r > a в качестве нижнего предела получаем 5 > 2. На практике в диапазоне E от десятка до нескольких сотен кэВ 5 < 4 [8, 11].
На рис. 3 приведены результаты вычислений зависимостей Rp (сплошные линии) и Rp0 (пунктирные линии) от энергии E имплантированных в углерод ионов меди (рис. 3а), галлия (рис. 36) и свинца (рис. 3в), рассчитанных по формулам (12) и (13), а также экспериментальные (темные квадраты) [3] и рассчитанные по программе TRIM (светлые квадраты) [13] значения средних проецированных пробегов для аналогичных систем ион-мишень. Величины 5, использованные при расчетах, равнялись 2.1, 2.05 и 3.52 соответственно для Cu, Ga и Pb.
Анализ полученных результатов показывает, что наблюдается удовлетворительное согласие между экспериментальными данными, полученными с ошибкой 5% [3], и расчетами, выполненными на базе формулы (11) [10].
Начиная с классической работы [1], во всех теориях при вычислении T используется формула sin2(a/2) = T/Tm (погрешность, связанная с заменой этого равенства формулой (2), для 5 > 2 не превосходит 11%). Из этой формулы следует, что так как значение синуса может изменяться от 0 до 1, то T должна изменяться от 0 до Tm. Однако, применяя в расчетах теорию рассеяния на малые углы, необходимо использовать условие T/Tm < 1. Но из этого неравенства невозможно установить диапазон изменений величины T, и поэтому при вычислении сечения Sn(E) по формуле (4) во всех моделях используются пределы интегрирования от 0 до Tm.
Rp, А
1600 h
1200 800
400-
Rp, А 2000
1500
1000
500
0
Rp, А
700-
500
300-
100
40 80 120 160 180
E, кэВ
100
200
300 E, кэВ
40 80 120 160 200
E, кэВ
Рис. 3. Энергетические зависимости Rp ионов Cu (а), Ga (б) и Pd (в) в углеродных пленках: ■ - экспериментальные данные [3], □ - расчеты по программе TRIM [3, 13], пунктирная и сплошная линии - расчеты для малоуглового и квазималоуглового приближений со-
ответственно.
Для квазималоуглового рассеяния эта ситуация изменяется коренным образом. Как показано выше, чем больше экранирован ПВ, тем меньшая энергия передается атому мишени, и в (4) верхний предел интегрирования должен отражать этот факт. Формула (4) верна только для кулоновско-го ПВ, рассмотренного в работе [12]. Конкрет-
0
ный вид верхнего предела интегрирования должен зависеть от рассматриваемого ПВ. В данной работе для ПВ (13) [10] он обозначен Т1 и определяется по формуле (5).
По нашему мнению, это является главной причиной невозможности объяснить экспериментальные данные на базе теории упругих ядерных столкновений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для объяснения экспериментальных энергетических зависимостей средних проективных пробегов ионов в твердом теле только за счет упругих взаимодействий между частицами в работе проведен расчет зависимости Яр от энергии частиц Е с использованием квазималоуглового приближения (формула (11) [10]) и степенного ПВ Линдхар-да-Нильсена-Шарфа (формула (13) [10]). Найдено, что в процессе рассеяния переданная ударяемому атому предельная энергия Т1 зависит от степени экранирования (величины 5) и равна максимал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.