МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. О.Р. КУЗНЕЦОВ
РАСЧЕТ ПРЯМЫХ ЗАМКНУТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ СТРИНГЕРАМИ, С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Рассматриваются тонкостенные прямые замкнутые призматические оболочки с жестким контуром поперечного сечения. Оболочки такого типа приняты за расчетную схему тонкостенных пространственных конструкций различного назначения.
Использование при их расчете нелинейных физических и геометрических соотношений позволяет расчетным путем выявлять прочностные резервы соответствующих конструкций.
В работе предлагается методика получения краевой задачи, расчета оболочек такого типа с учетом нелинейных факторов, которая представляется в виде системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Показано, что в рамках предлагаемого подхода эта краевая задача имеет фиксированную структуру, которая не зависит от конкретного вида нелинейности. Все многообразие задач статического расчета прямых замкнутых призматических оболочек с учетом нелинейных факторов сводится к решению этой краевой задачи. Способы учета конкретной нелинейности трактуются как различные способы получения выражений для переменных коэффициентов матриц краевой задачи.
Приводится методика численного решения этой краевой задачи, которая не зависит от конкретного вида нелинейности.
1. Введение. Пространственные тонкостенные конструкции типа прямых замкнутых призматических оболочек приняты за расчетную схему конструкций, которые широко используются в различных областях техники и строительных сооружений (пространственные коробчатые системы крупнопанельных зданий, кессон крыла самолета, крановые коробчатые балки, шарнирно-стержневые системы типа пролетных строений мостов и т.д.). На фиг. 1, 2 изображены мостовая балка и фрагмент несущей конструкции корпуса корабля.
Одно из направлений строительной механики связано с созданием теории расчета призматических оболочек Власова [1] и на ее основе методик расчета конкретных конструкций в линейной постановке.
Начиная с 70-х годов появляются конструкционные материалы, допускающие уровень эксплуатационных напряжений 400-500 Мпа и выше. Это сделало целесообразным использование при расчете конструкций нелинейных геометрических и физических соотношений, что позволяет расчетным путем выявлять их прочностные резервы.
Применительно к рассматриваемому объекту исследования в линейной постановке имеется обширная литература, например, [2], [3]. Публикаций, в которых рассматриваются нелинейные задачи, сравнительно мало. При этом рассматриваются задачи с различными подходами, например, [4], [5], которые представляются и понимаются независимо друг от друга. Это осложняет оценку их универсальности и понимания степе-
Фиг. 1
I I + 1
Фиг. 2
ни их взаимосвязи. Поэтому возникает необходимость в систематизации накопленных знаний, выработке единообразных подходов, в проведении некоторых обобщений.
С этой целью используется метод Власова [1] расчета прямых замкнутых призматических оболочек средней длины, который в рамках соответствующей расчетной модели обладает необходимой универсальностью. При таком подходе в линейном случае решение задачи сводится к линейному дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами с линейными краевыми условиями.
Учет нелинейности независимо от ее содержания (физическая, геометрическая или иная) проявляется в замене линейного оператора некоторым нелинейным, решение которого возможно только с помощью численных методов.
Одним из способов построения приближенного решения нелинейного оператора является метод последовательного нагружения, предложенный в [6]. Решение нелинейной краевой задачи сводится к прослеживанию изменения этого решения с ростом нагрузки. За начальное приближение принимается решение краевой задачи в линейной постановке. Достоинством такого подхода является ясный физический смысл преобразований и допущений, которые выполняются в рамках метода.
2. Постановка задачи. Рассматриваются тонкостенные прямые замкнутые многострингерные призматические оболочки средней длины с произвольным контуром по-
перечного сечения, который образован отрезками прямых. Контур поперечного сечения предполагается жестким в своей плоскости. Торцы оболочки некоторым образом закреплены. Оболочка находится под действием произвольных крутящих и изгибающих нагрузок (распределенных, сосредоточенных) и в продольном направлении усилена продольными элементами (стрингерами) с площадью поперечного сечения (/-номер узла поперечного сечения). Под узлом понимается точка излома контура или точка расположения стрингера. Продольные перемещения точек контура определяются продольными перемещениями ее узлов. Продольные элементы (стрингеры) воспринимают только нормальные напряжения. Касательные и нормальные напряжения, по толщине оболочки распределены равномерно.
2.1. Статико-геометрическая модель. В соответствии с методом Власова расчета призматических оболочек средней длины компоненты вектора перемещений точек контура в продольном (в направлении оси 2) и вдоль контура оболочки (в направлении оси 5) задаются соответственно в виде
п
и( 5) = В £ и( 2)фг( 5) = ви/ (2 )ф/(5) (2.1)
V(z, 5) = B £ Vh(z)¥h(S) = BVh(z)¥h(S) (2.2)
h = 0
где фг- (s), yh(s) (i = 1,..., n; h = 0,..., m) - задаваемые безразмерные аппроксимирующие функции, Ui(z), Vh(z) - неизвестные безразмерные функции, подлежащие определению. Системы аппроксимирующих функций ф^), yh(s) должны обладать свойствами ортонормированного базиса в Гильбертовом пространстве продольных и поперечных перемещений. Геометрические размеры оболочки задаются следующими безразмерными параметрами [7]: n = B/d, n1 = l/B, n2 = B/5, di = d/B, 5i = 5/5, z = z/l, s = s/B; d, B -характерные поперечные размеры контура; 5 - характерная толщина пластинок составляющих оболочку. В дальнейшем все величины приведены в безразмерном виде для безразмерных координат z и s. Верхняя черта для сокращения записи опускается.
В соответствии с выбранной расчетной моделью оболочки отличными от нуля компонентами деформации являются продольные деформации ez в направлении оси z и деформации сдвига esz срединной поверхности пластинок, составляющих оболочку. Отличны от нуля компоненты тензора напряжений osz(z, s) и oz(z, s). В общем случае компоненты деформаций и напряжений являются нелинейными функциями обобщенных перемещений Ui(z), Vh(z) и их производных. Напряженно-деформированное состояние оболочки полностью определяется этими обобщенными перемещениями и их производными.
Для линеаризации исходных нелинейных соотношений применяется метод последовательных нагружений [6]. Приращения величин обозначаются малыми буквами или значком приращения А. Тогда приращения обобщенных перемещений на текущем этапе нагружения обозначаются
U(z), u'(z), Vh(z), uh(z) (i =1,..., n, h = 0, ..., m) (2.3)
а накопленные на к этапе нагружения в виде
UK( z), (Ui( z ))к, VK(z), (Vh( z ))к (2.4)
Приращения для компонентов деформации, напряжений и усилий
Ае2 = Aez(z, s), Aeu = AesZ(z, s)
Ao2 = Aoz(z, s), Ao12 = Aosz(z, s), AN2 = 5Ao2, AS12 = 5Ag12
i = 1
m
3. Вывод разрешающих уравнений. Уравнения равновесия оболочки для определения обобщенных перемещений получаются на основе прямого применения принципа возможных перемещений Лагранжа. На этапе нагружения имеем
SAT - SAW = 0 (3.1)
SAT = B2lJ( R (z )Svk + PY( z )S uY) dz + B2( R*Svk + P* SuY)
(3.2)
Rk(z) = (z, 5)Vk(s)ds, PY(z) = °P2(z, ^)фу(s)ds
R* (z) = °p* (z )Vk (s) ds, P* (z) = °p* (z )фу( s) ds, z = 0; 1 где SAT - работа внешних сил; p1(z, s), p2(z, s) - распределенная по поверхности оболочки нагрузка, действующая соответственно в направлении осей s и z; p* (z), p* (z) -нагрузка, приложенная на торцах оболочки z = 0 и z = 1, отнесенная к единице длины контура и действующая соответственно в направлении осей s и z.
Расчетная модель оболочки задается следующим выражением
SAW = Bl J°(A N2ASe2 + AS12 ASe12 )dzds
(3.3)
Группируя слагаемые при одинаковых вариациях приращений обобщенных перемещений и приравнивая их нулю, получим краевую задачу (3.4), (3.5) для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2(п + т + 1) с переменными коэффициентами относительно неизвестных (2.3). Уравнения равновесия записываются в виде (3.4), а статические граничные условия в виде (3.5). Здесь Л(УК- 1^)), Л*(УК- - матрицы коэффициентов, вычисленные с учетом накопленных на к - 1 этапе нагружения обобщенных перемещений (2.4):
A (Yк-1(z))AyK = AQ (z), A (YK-1(z)) =
A11 A 12 A13 A 14 A 15 V A21 A22 A23 A24 A25 J
A * (YK-1 (z))Ay* = AQ * (z), A * (YK-1 (z)) =
A * A * A *
A 11 A 12 A 13
A * A * A *
A 21 A 22 A 23
z = 0; 1
(3.4)
(3.5)
Элементы матриц Л и Л* сами являются матрицами, которые имеют следующую раз-
Л*1, Л*2- (п х п) -(п х (т + 1)) Л*, Л*2, -((т + 1 )х п) -((т + 1) х (т + 1))
Векторы-столбцы искомых приращений обобщенных перемещений и векторы-столбцы правых частей имеют вид
мерность
A11, A12, A 13
A 14, A 15, A* A 13
A21, A22, A23
A24, A25, A* A23
AУк(z) = (u"(z), u\(z), u(z), Vh(z), vh(z))T, i = 1, ..., n, h = 0, ..., да Ay*(z) = (u'(z), щ(z), Uh(z))l, i = 1,., n, h = 0, ..., m, z = 0; 1
(3.6)
z = 1
0
z = 0
0
АQ(2) = -Е(Py(2), Rk(^)/, У = 1, п, k = 0, ..., т
Е (3.7)
АQ*(2) = Ё1§(Р*(г), R*(z))T, У =1, ..., п, к = 0, ..., т, 2 = 0; 1
В записи компонентов правых частей выражений (3.6), (3.7) понимается следующее. Например, в выражении (3.6) под записью щ(2) следует читать и^), и2(2), ..., ип(2). Таким образом, размерность вектора Аук(2) равна 3п + 2(т+1). Аналогично и для остальных компонентов векторов.
При таком подходе все многообразие задач статического расчета прямых замкнутых призматических оболочек с учетом нелинейных факторов сводится к решению краевой задачи, (3.4), (3.5) для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Учет конкретной нелинейности сводится к получению выражений для переменных коэффициентов соответствующих матриц краевой задачи.
4. Примеры вычисления коэф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.