ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 9, с. 9-14
УДК 539.941
РАСЧЕТ РЕНТГЕНОВСКИХ СПЕКТРОВ ФОТОЭЛЕКТРОНОВ В ШИРОКОМ ИНТЕРВАЛЕ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ
© 2015 г. В. П. Афанасьев*, П. С. Капля, О. Ю. Головина, А. С. Грязев, Ю. О. Андреева
Национальный исследовательский университет МЭИ, 111250 Москва, Россия
*Е-таИ: v.af@mail.ru Поступила в редакцию 18.02.2014 г.
Построена методика расчета спектров рентгеновской фотоэлектронной эмиссии в широком интервале потерь энергии. Граничная задача для уравнения переноса фотоэлектронов решается на основе принципов инвариантного погружения. Полученные уравнения допускают точное численное решение. Представленная в настоящей работе методика, в отличие от подходов на основе моделирования методом Монте-Карло, обладает более высоким быстродействием и меньшей погрешностью. Апробация полученных результатов выполняется на основе сравнения с экспериментальными данными. Показана высокая эффективность расчетов на основе малоуглового приближения.
Ключевые слова: спектры характеристических потерь электронов, рентгеновская фотоэлектронная эмиссия, метод инвариантного погружения, многократное рассеяние электронов.
Б01: 10.7868/80207352815090048
ВВЕДЕНИЕ
Исследование поверхностей твердых тел методом традиционной рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии (РФЭС) строится на анализе пиков фотоэлектронной эмиссии — пиков, сформированных фотоэлектронами, вышедшими в вакуум и не испытавшими неупругого рассеяния. Область мишени, о которой несут информацию электроны, сформировавшие пик, имеет порядок длины свободного пробега между двумя неупругими соударениями 11п. Возможность увеличения глубины зондирования образцов и определения их послойного профиля открывается, если создать методики расшифровки спектров, измеренных в широком интервале потерь энергии. В созданных в настоящее время процедурах восстановления послойного состава мишени из спектров РФЭС [1, 2] пренебрегают процессами упругого рассеяния фотоэлектронов, несмотря на примерное равенство сечений упругого и неупругого рассеяния. Наибольшие погрешности, достигающие сотен процентов, возникают при попытке использования методик, представленных в [1, 2] для описания энергетических спектров фотоэлектронов, измеренных в широком диапазоне углов визирования. В [3] проведены точные расчеты и определены погрешности, возникающие при интерпретации спектров РФЭС с угловым разрешением на основе подходов, игнориру-
ющих процессы упругого рассеяния фотоэлектронов. Для учета весьма заметного влияния процессов упругого рассеяния на энергетические спектры РФЭС обычно использовали два подхода [1, 2]: моделирование методом Монте-Карло (МК-моделирование) и транспортное приближение. МК-процесс требует заметных затрат времени, транспортное приближение используется для оценок в ситуациях, когда пробег частиц превышает транспортный пробег [4, 5]. Представленная в работах [1, 2, 4] аналитическая методика, основанная на транспортном приближении, ограничена рассмотрением полубесконечных мишеней и не способна анализировать слои и слоисто-неоднородные мишени. В настоящей работе мы "продолжим реабилитацию" малоуглового приближения, которое легко адаптируется к описанию слоев произвольной толщины и обладает значительно меньшей погрешностью, чем транспортное приближение.
Особое внимание в работе уделяется быстродействию вычислительных процедур, что необходимо для обеспечения комфортного решения обратных задач на основе процедуры фитинга. Граничная задача — описание плотности потока фотоэлектронов — решается в рамках метода инвариантного погружения. Точное решение полученных уравнений строится на основе численной процедуры. Проводится сравнение результатов,
полученных на основе адекватных сечении упругого рассеяния электронов [6] и транспортного сечения. Получены решения уравнении для плотности потока фотоэлектронов в малоугловом приближении. Выполнено сравнение расчетных и экспериментальных результатов.
В работе показано, что метод расчета спектров РФЭС, основанный на численной процедуре решения адекватных процессу фотоэлектроннои эмиссии уравнений, дает высокую точность, а время прямых расчетов спектра составляет доли секунды. Допустимая погрешность достигается при выполнении расчетов в рамках малоуглового приближения. Расчеты, полностью игнорирующие процессы упругого рассеяния электронов, так же как и транспортное приближение, дают в определенных ситуациях недопустимо высокие погрешности.
ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА ФОТОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ РФЭС
Задача заключается в определении спектров РФЭС в соответствии с формулой:
Q (А, Цо, Ц, ф) =
го
= Qo (цо, Ц, ф) 5(А) + УQk (Цо, Ц, ф>fn (А),
(1)
k=1
ионизации; ц = cos0, где 9 — полярный угол, отсчитываемый от нормали к поверхности мишени, направленной вверх; ф — азимутальный угол.
Хе1(ц',ц,ф') _ Ц,Ф'). Xin(Eо,А) = .
Gel CTin
X _ G el . X _ G x ^e
CT in +CT el CT in +CT el
3
f (ц Цo, ф) = -1 У ßipi (cos у). 4n
(3)
i=0
где х;п (А) — нормированное на единицу сечение однократного неупругого рассеяния,
А
хI (А) = хщ (А); хкп+1 (А) = ¡хкп (А - е)хщ (е) йе, (2)
о
0к (ц0, ц, ф) — плотность потока фотоэлектронов, испытавших к неупругих рассеяний и вышедших в вакуум.
Сечение однократного неупругого рассеяния Х;п (А) определяет энергетический спектр, наблюдаемый после акта однократного неупругого рассеяния, а к-кратная свертка хкП (А) определяет спектр потерь энергии А, фиксируемый после к последовательных актов неупругого рассеяния.
Выпишем полученные в [3] уравнения для функции плотности потока фотоэлектронной эмиссии 0, где приняты следующие обозначения: п — концентрация атомов среды; г — глубина, отсчитываемая от поверхности мишени; юе1 (ц', ц, ф'), сте1 — дифференциальное и полное сечения однократного упругого рассеяния; ю1п(^0, А), ст1п — дифференциальное и полное сечения однократного неупругого рассеяния; стх ^ е — полное сечение фото-
Здесь cos у = - )/(- - )(- - ^о)cos Ф;
F (ц, Ц,, ф) = Vx^ef (и, И 0, ф); F (ц, ^0, ф) - функция источников фотоэлектронов, у — угол между направлением рентгеновского излучения и направлением вылета электронов из мишени.
Добавление тонкой полоски dz к верхней части слоя толщиной z и исследование процессов, меняющих фотоэлектронную эмиссию, приводит к уравнению, определяющему функцию плотности потока фотоэлектронной эмиссии Qk(т, ц, ц0, ф) слоем конечной толщины z, где т = (ст el + ст in)nz:
VQk ( ^ ^ ф) + - Qk ( ^ ф) - х
дт ц ц
X Qk-1 (т, ц0, ц, ф) = 8k0^/ (ц0, ц, ф) +
2п 0
) d ф' ц'
^ JJQk ( ц 0, ^ ф' - ф) el (ц ^ ^ ф'))Г d ф"
^Y J Jf (цо,ц',ф'-ф))к(т,ц',ц,ф'))"dф' +
2 о1 -1 ц (4)
2п 1
о
к-1 2п 2п 1
+ J J jQk-m (T, И о, И, ф') J Xel (И, И', ф" - ф') :
т=о о о о
-1
х Ят (т, И, ф"-ф)) й Ф' % й Ф".
И И
Величина 00 описывает фотоэлектроны, формирующие пик с характеристической энергией, значение которой определяется из закона сохранения энергии, вышедшие после фотоионизации в вакуум и не испытавшие неупругого рассеяния.
Стандартный подход к определению энергетического спектра [1, 2] или вычисления, полностью игнорирующие процесс упругого рассеяния, заключается в замене уравнения (4) радикально уре-
занным уравнением в приближении прямолинейного движения:
^Ок (т, И0, И, ф) +1 Ок (т, И0, И, ф) - ^^ х дт и и (5)
х Ок-1 (т, И0, И, ф) = 8к0/ ( И, ф)(ш/ ст).
Найдем решение (4) в малоугловом приближении, используя метод сферических гармоник [7]. Поскольку сечение упругого рассеяния имеет резкий максимум при малых углах рассеяния, пренебрежем интегральными слагаемыми в формуле (4). Уравнение (4) преобразуется к виду:
£Ок + О[ - Й^й-1 = х, -±-8(6)
дт ц ц
Уравнения (6) — это цепочка линейных дифференциальных уравнений первого порядка, в которых х'е1 — коэффициенты разложения нормированного сечения упругого рассеяния хе1(|', ф''- ф') по полиномам Лежандра, Р — коэффициенты разложения дифференциального сечения фотоионизации по полиномам Лежандра. Решение (6) пред-ставимо в виде:
Qm = Z 2L+1 P (и 0 Wf ;
l=0 2
Ôm.l X Y F
m,l
1 - exp
1 - Xxt
f л л m,l
1 - Xxd' ,
m,l
1 -X
л л m,l 1 - XXei J
(7)
m
k=0
1 - Xx e
v И
г! \k
1
k !
отраженных электронов, испытавших к актов неупругого рассеяния, получаем:
^ Як(т, ц, ц0, ф) + I - + — I Як(т, Ц, И0, ф) -
дт ^ц Ц0)
- (1 - X) Як-1(т, Ц, Ц0, ф) = ^(ц, -ц0, ф) + (8)
+ ® Rk + XRk ® Xei + R
*-j
Xel ® Rj.
j =0
Погрешность величины Qk (уравнения (4) и (8)) ограничена точностью определения дифференциального сечения упругого рассеяния юе1(|', ф') = = сте1 хе1(|а', ц, ф') и погрешностью величины альбедо для однократного рассеяния — X. Сечения юе1(|', ф') в настоящее время надежно апробированы [6]. Ведется систематическая работа по повышению точности полного сечения неупругого рассеяния [8]. Значительно больше проблем возникает с определением дифференциального сечения неупругого рассеяния [9—12]. Процедура восстановления сечения относится к классу некорректных задач математической физики [13]. Целый ряд процедур восстановления сечений [14—16] представляют сечения в виде суперпозиции поверхностных и объемных возбуждений, смешанных в разной пропорции как в приповерхностных слоях, так и в однородном объеме. В [9—11], напротив, утверждается принцип различной пространственной локализации возбуждений, обладающих разными энергетическими спектрами (рис. 1).
R(A, |io, | ф)
= Ro(l о, l ф)8(А) + z Rk (lo, l Ф)х*п(А) .
(9)
k=1
где m — индекс разложения по азимутальным гармоникам.
Энергетический спектр плотности потока электронов Qsa(A, ц0, И, ф), вычисленный в малоугловом приближении, записывается в соответствии с формулой (1).
В уравнении (6) мы пренебрегли процессами рассеяния, приводящими к изменению движения фотоэлектронов (от приемника) — от нисходящего к восходящему. Связано это с тем, что сечение упругого рассеяния на большой угол значительно меньше сечения рассеяния на малый угол вперед. Для учета процесса перевода нисходящего движения фотоэлектронов в восходящее (это второе и четвертое слагаемые в формуле (4)) необходимо записать уравнение для функции отраж
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.