ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 2, с. 228-232
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 541.182.65.011
РАСЧЕТ СКОРОСТИ СТЕСНЕННОГО ОСАЖДЕНИЯ БИМОДАЛЬНОЙ СМЕСИ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2007 г. А. С. Кондратьев, Е. А. Наумова
Московский государственный открытый университет ask41@mail.ru Поступила в редакцию 22.05.2006 г.
Предложен метод расчета скорости осаждения бимодальной смеси частиц произвольной формы, использующий понятие эффективного диаметра частиц, характеризующего ее поверхность, объем и миделевое сечение, и учитывающий контактное взаимодействие частиц различных классов за счет их ударений между собой. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными по осаждению бимодальных смесей частиц известняка произвольной формы.
Расчет скоростей осаждения полидисперсных смесей твердых частиц произвольной формы в ньютоновской жидкости является значительно более сложной задачей по сравнению с расчетом скорости осаждения монодисперсных частиц [1, 2].
В работе [3] проведен анализ известных методов расчета скоростей стесненного осаждения бимодальных (бидисперсных) смесей твердых частиц [4-9]. Эти методы исходят из общей расчетной схемы, согласно которой скорость стесненного осаждения каждой из фракций равна произведению скорости стесненного монодисперсного осаждения частиц той же крупности, умноженной на некоторую поправочную функцию. Учет взаимодействия частиц в бимодальной смеси осуществляется путем искусственного подбора плотности среды, в которой происходит процесс их осаждения, что представляется физически некорректным, вследствие чего предложенные расчетные зависимости могут рассматриваться как полуэмпирические. В работе [3] предложен метод расчета скоростей стесненного осаждения бимодальных сферических частиц, учитывающий контактное взаимодействие частиц в виде ударов, которая достаточно удовлетворительно согласуется с опубликованными опытными данными. Ниже этот метод расчета обобщается для случая стесненного осаждения бимодальных смесей частиц произвольной формы.
В работах [2, 10] показано, что при расчетах осаждения твердых частиц произвольной формы частицу можно охарактеризовать четырьмя эквивалентными диаметрами:
dv = (6 V/n)
dm = (4 SJn)1'2
1/3
1/2
ds = (SJ%) de = ( 2 ds + dm )/3,
(1)
где dv - эквивалентный диаметр шара, определенный по объему частицы V, используемый при расчете числа Архимеда; ds - эквивалентный диаметр шара, определенный по площади боковой поверхности частицы Ss, используемый при расчете величины de; dm - эквивалентный диаметр шара, определенный по площади миделевого сечения частицы Бт, используемый при расчете величины de и учета контактного взаимодействия между частицами первого и второго видов; de - эффективный эквивалентный диаметр частицы, используемый при расчете числа Рейнольдса.
В процессе осаждение бимодальной смеси образуются четыре слоя. В верхней части сосуда образуется слой чистой жидкости. Ниже находится смесь, состоящая из монодисперсных частиц отмеченных индексом 11, которые осаждались в бимодальной смеси с меньшей скоростью, с концентрацией фп, которая определяется в ходе решения. В расположенной еще ниже части сосуда находится смесь, состоящая из исходной бимодальной смеси частиц с индексами 12 и 22 с концентрациями ф12 и ф22 соответственно. На дне сосуда образуется осадок, состоящий из смеси частиц первого и второго видов.
В переменных число Рейнольдса - число Архимеда, выражение для закона сопротивления при движении одиночной частицы первого вида может быть представлено в виде
Ret + ^Re2
■ Cj = 0,
(2)
где А = 32 + 77/Cf min, By = (768 - 4ArlJTlß)/Cf min; Су = 128АгуТД3 Cf min); Cf min = 0.44 - значение минимального коэффициента гидравлического сопротивления [11]; Агу - число Архимеда частиц i-го вида в у-м слое; Rey - число Рейнольдса частиц
/-го вида ву'-м слое; Ту - коэффициент, учитывающий контактное взаимодействие частиц друг с другом.
Уравнение (2) можно решить методом последовательных приближений по рекуррентной формуле:
Re, = (2ReV A Re2 -1 + C. ^) / (3Re 2 _г + 2 ARe. _!+ Bj ).
(3)
Начальное значение Rei0 определяют с помощью выражения:
Re¿o =
= [ 144/C2min + 4Ar!;^;./(3 C/min)]1/2 - 12/C/min.
(4)
Скорость обтекания частиц потоком жидкости определяется выражением:
Щ = Rel,Tl.^l./( dJi.p),
(5)
где /у - поправочная функция, учитывающая стесненность потока [2].
/п = (1- п(6ф„/п)2/3/4)-1/2;
/12 = /22 = (6) = [(1 - п( 6Ф12/П)2/3/4)( 1 - п( 6 Ф22/П)2/3/4)]-1/2.
Величину динамической вязкости монодисперсной и бимодальной смесей рассчитывали по формулам [12]:
I11 = |( 1- фп/0.65)
-1.675
|12 = |22 = |( 1- (Ф12 + Ф22)/0.65)
1.675
(7)
риваемом случае для частиц произвольной формы имеют вид:
T12 = 1+ «22Cdv2/(p1- р),
3
T22 = 1- а«12Cdw/(p2 - р),
(8)
где п12 = 6ф12/(п ) - количество частиц первого вида в единице объема бимодальной смеси; п22 =
= 6ф22/(п dv2) - количество частиц второго вида в единице объема бимодальной смеси; = п^т2 + + dm1)2/4 - площадь поперечного сечения, на котором находящиеся на ней частицы первого вида взаимодействуют с одиночной частицей второго вида (сечение взаимодействия);
С = 5( 1 + Г)(р1 + р/2)х х (р2 + р/2)/[(р1 + р/2)dll + (р2 + р/2^2] х (9)
х( и22^ - и 12^)2/2/£;
где К = 1 при абсолютно упругом ударе; 0 < К < 1 при частично упругом ударе.
Величина а, характеризующая частоту соударений, определяется выражением [3]:
2/3 -1 2/3 а = («12 S) , при «22 S ^ 1;
2/3 2/3 2/3
а = n22 /«12 , при n22 S > 1.
(10)
В бимодальном слое осаждающихся частиц контактное взаимодействие учитывали следующим образом. Приняли, что частицы обоих видов расположены в узлах простой кубической решетки и контактное взаимодействие между частицами одного вида отсутствует. В этом случае, в системе координат, связанной с частицами первого вида, осаждающимися в лабораторной системе координат со скоростью и125, частицы второго вида, осаждающиеся в лабораторной системе координат со скоростью и225, перемещаются относительно первых с относительной скоростью и225 - и12г Исходя из условия, что при контактном взаимодействии (ударе) между частицами первого и второго видов выполняется условие равенства импульса сил взаимодействия [13], и с учетом того, что при нестационарном движении в жидкости вместо истинной массы частиц используют их приведенную массу [11], (у сферических частиц она превышает истинную массу на половину массы шара, состоящего из жидкости) в работе [3] получены выражения для коэффициента Ту, которые в рассмат-
В монослое скорость осаждения частиц первого вида U11s, рассчитывается по формулам (1)-(10), в которых Т11 = 0.
Исходя из условия сохранения расхода частиц первого вида на границе раздела, уравнение, определяющее объемную концентрацию фш имеет вид:
Ф11 = Ф12( U22s - U12S)/( U22S - UUs) . (11)
Выражения, связывающие скорости обтекания частиц жидкостью Un, U12 и U22, скорости осаждения U11s, U12s и U22s и скорость противотока жидкости в моно слое U/1 и в бимодальной смеси Uf2, имеют вид;
UШф11 = U/1 ( 1- ф11 ), U 12s^2+ U22s^2 =
= u/2(1-Ф12-Ф22); U11 = UUs + U/1; (12) U12 = U12s + U/2; U22 = U22s + U/2.
Соотношения (1)-(12) позволяют рассчитать скорости осаждения U11s, U12s, U22s и фп при заданных значениях dvX, dV2, dsU dS2, dm1, dm2, pb p2, p, ||
ф12 и ф22.
Результаты расчетов по предложенному методу сопоставляли с опытными данными работы [14], в которой экспериментально определялись скорости стесненного осаждения частиц известняка крупностью в диапазоне 1-0.45 мм при сов-
Сравнение скоростей стесненного осаждения при монодисперсном осаждении частиц отдельных классов и их совместном осаждении
что распределение частиц по размерам внутри каждого класса равномерно, и ёт рассчитывали по формулам:
Объемная доля содержание частиц
Скорость осаждения смесей частиц различных классов, см/с
ф12 ф22
эксперимент расчет эксперимент расчет
Классы 1 -0.45 мм и 0.45-0.30 мм
0.245* 3.50* 3.18*
0.25* 1.97* 2.04*
0.05 0.20 2.40 2.19 3.26 3.65
0.10 0.15 2.30 2.13 3.10 3.55
0.20 0.05 1.93 2.05 3.34 3.38
Классы 1 -0.45 мм и 0.30-0.25 мм
0.245* 1.36* 1.32*
0.052 0.207 1.38 1.04 3.17 3.59
0.106 0.158 1.25 1.04 3.78 3.49
0.202 0.050 1.23 1.21 4.50 3.56
Классы 1 -0.45 мм и 0.25-0.21 мм
0.215* 1.00* 1.04*
0.092 0.138 0.80 0.70 3.64 3.94
0.17 0.042 0.80 0.97 4.10 4.15
< = (¿¿3/к)из,
(13)
* Скорость стесненного осаждения при монодисперсном осаждении частиц отдельных классов.
местном осаждении с частицами известняка крупностью в интервалах 0.45-0.30, 0.30-0.25 и 0.25-0.21 мм в неподвижной воде. В опытах использовали смеси частиц класса 1-0.45 мм с одними из указанных частиц более мелкого класса в пропорциях: 80, 60 и 20 %. При этом суммарную объемную концентрацию твердой фазы изменяли в пределах от 0.215 до 0.26. В работе [14] приведены также скорости стесненного осаждения монодисперсных частиц каждого из рассмотренных классов примерно при тех же значениях суммарной объемной концентрация твердой фазы. К сожалению, в работе [9] не приведено значение плотности известняка и не описана форма частиц. В расчетах было принято, что плотность известняка равна 2650 кг/м3. Характерные размеры частиц определяли следующим образом. Полагая,
где 4 = + (¿тах - <4т) (г - 0.5)/к; г = 1, ..., к; к -произвольное целое число, на которое разбивают интервал изменения размеров частиц каждого класса.
Величину определялют по формуле: ё, = ¿/О1/2,
где О - коэффициент сферичности частицы, определяемый как отношение поверхности эквивалентного по объему шара к поверхности частицы [1]. Его значение в работе [14] не приведено, он подбирался по результатам сопоставления опытных данных с расчетом по скорости стесненного осаждения монодисперсных частиц каждого из рассмотренных классов.
В расчетах были приняты следующие размеры эффективных диаметров частиц:
класс 1-0.45 мм - ёу= 0.764 мм, ёт = 0.742 мм, 4 = 1.469 мм, О = 0.2704;
класс 0.45- 0.30 мм - ё = 0.382 мм, ёт = 0.383 мм, 4 = 0.402 мм, О = 0.9025;
класс 0.30- 0.25 мм - = 0.276 мм, ёт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.