ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 10, с. 1783-1800
УДК 519.634
РАСЧЕТ УДАРНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ1)
© 2015 г. А. Г. Аксенов
(123056 Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18 ИАП РАН) e-mail: aksenov@icad.org.ru Поступила в редакцию 13.01.2015 г.
Предложено описание многотемпературного кода для численного решения уравнений многокомпонентной газовой динамики в задачах с высокой плотностью энергии в веществе. Скорости всех компонент с ненулевыми массами предполагаются одинаковыми. Вместе с переносом газа с табличным уравнением состояния код может включать электронную теплопроводность, радиационный перенос, обмен энергиями между компонентами и химические реакции. Газодинамическая часть основана на годуновской схеме и эффективном решении задачи о распаде разрыва с применением приближенного локального уравнения состояния. Библ. 20. Фиг. 10.
Ключевые слова: ударные волны в плазме, разностный метод сквозного счета, уравнения многокомпонентной газовой динамики.
DOI: 10.7868/S0044466915100038
1. ВВЕДЕНИЕ
В 1957 г. С.К. Годунов (см. [1]) предложил метод сквозного счета, пригодный для решения задач газовой динамики с разрывами и ударными волнами (УВ) без явного выделения разрывов в расчете. Метод счета основан на введении в расчетной области пространственной сетки, в которой определены усредненные по объему независимые физические величины U(r, t) на временном шаге t = tn. Эволюционные уравнения газовой динамики записываются в виде законов сохранения для консервативных величин
^ + divF( U) = 0.
Дифференциальные уравнения рассматриваются как законы сохранения, поскольку нелинейные уравнения газовой динамики могут приводить к разрывным решениям даже в случае гладких начальных условий. На языке конечных разностей схемы это означает для произвольных объемов AVj выполнение равенства
Щ + V FkA sjk _ 0
dt L, a v
k J
где суммирование потоков Fjk производится по всем поверхностям Asyk вокруг объема AV. После введения шага по времени At = tn +1 — tn можно записать явную конечно-разностную схему
U+1 - U- + V < Fk ASjk _ 0
At ^ A V
k
под <Fjk> следует понимать усредненные по времени потоки через границы ячеек. (На самом деле Годунов рассматривал одномерную задачу в лагранжевых переменных (m, t), но для пояснения сути проблему лучше излагать в многомерных неподвижных координатах Эйлера (г, t).)
Предложение Годунова состояло в получении усредненных по времени потоков из решения задачи о распаде разрыва. Задача о распаде разрыва (или задача Римана) — это одномерная задача
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-02-00754-а).
1783
1784
АКСЕНОВ
о нахождении автомодельного решения (зависящего от параметра х/1) из двух постоянных состояний газа слева и справа от координаты х = 0. Для устойчивости явной схемы необходимо выполнение условия Куранта — ограниченный временной шаг, при котором надо учитывать область зависимости. А порядок аппроксимации схемой дифференциальных уравнений первый, если, как
в оригинале, считать постоянные значения и(г, 1) = и" внутри ячеек во время всего шага интегрирования. Годунов также провел исследование и доказал, что только схемы первого порядка среди всех одношаговых дают монотонные решения — т.е. на каждом шаге переводят монотонное решение в монотонное, не генерируя нефизичных схемных осцилляций (см. [2]). Схема не требовала явного введения схемной вязкости. Распад разрыва рассматривался для идеального газа.
В дальнейшем порядок схемы годуновского типа был расширен за счет реконструкции решения и(г, 1) внутри ячеек на основе данных из соседних ячеек и" (см., например, [3]). Монотонность обеспечивалась искусственным недопущением локальных минимумов и максимумов при интерполяции, а усредненные по времени потоки определялись из решения задачи Римана для приготовленных усредненных решений из инвариантов Римана слева и справа от границ, т.е. удалось сочетать в годуновских схемах высокий порядок для небольших возмущений газа и монотонность. В вычислительном эксперименте это означает возможность расчета УВ произвольной интенсивности без выхода за физически допустимые значения сеточных функций, а также малое размазывание контактных разрывов по вычислительной сетке.
В уравнении состояния первоначально рассматривался идеальный газ. Расширение на произвольное табличное уравнение состояния Р = Р(р, е), е = е(р, Т) было проведено в [4], [5]. В первом случае рассматривалась линеализованная задача Римана, во втором был построен эффективный приближенный "решатель" задачи Римана, основанный на построении локальной модели уравнения состояния.
Особый интерес в физике представляют задачи для многофазной газодинамической смеси разных веществ а, описываемых набором плотностей ра(г, 1) = са(г, 0р(г, 1) (са — концентрации), внутренних энергий ре(г, 1) (еа — удельная энергия) и одинаковой скоростью у(г, 1) для всех массивных частиц. Уравнение состояния Р = Р(р, еа), еа = еа(р, Та). Компоненты могут обмениваться энергиями, могут переносить энергию с помощью теплопроводности, не связанную со скоростью массивных частиц та Ф 0, могут участвовать в химических реакциях. Такие задачи возникают в инерциальном термоядерном синтезе (см. [6]), в экспериментах лазерной абляции (см. [7], [8]), астрофизике сверхновых звезд (см. [9]). Это промежуточный случай между описанием кинетическими уравнениями Больцмана для одночастичных функций распределения /а(г, р, 1) и классической газовой динамикой для однокомпонентного газа. Основной математической проблемой является газодинамическая часть и построение эффективной разностной схемы годуновского типа, основанной на приближенном "решателе" задачи Римана.
Построение эффективных алгоритмов задачи Римана для таких задач продолжается (см. [10]). Разрабатываются также "решатели" для специфических случаев "двучленного" уравнения состояния Р = (у — 1)ре + с0 (р — р0) для смеси газов с разными температурами (см. [11]) и для смеси веществ в предположении о локальном уравнении состояния Ми—Грюнайзена с линейной зави-
Г
симостью давления от внутренней энергии АР = --- Де с одной температурой (см. [12]).
В ИТЭФ для задач инерциального тяжелоионного синтеза (см. [6]) была разработана локальная модель уравнения состояния многокомпонентной смеси (см. [13]) и "решатель" задачи Римана по типу локальной модели (см. [5]), использовалась конечно-разностная годуновская схема (см. [3]). Помимо задач инерциального термоядерного синтеза (см. [14]—[16]), метод применялся для задач лазерной абляции в ПАП РАН (см. [17]). Каждый компонент смеси имеет свою плотность и свою удельную внутреннюю энергию. Предлагаемая локальная модель уравнения состояния использует предположение о малости изменения энтропии в соседних расчетных ячейках и заранее вычисляемых изменениях безразмерных коэффициентов для уравнений состояния
уа = 1 + Ра/(реа) и удельных внутренних энергий уа = — по приращению давления на скачке.
е
В случае произвольно большого скачка давления обеспечиваются физически разумные результаты. С помощью оригинального метода адиабатического распада разрыва были просчитаны дву-
мерные задачи о волне горения в цилиндрических дейтериевых и дейтерий-тритиевых мишенях с учетом обмена энергиями и даже переноса излучения. Получены параметры плазмы для существования стационарной волны горения, в том числе с неравновесными температурами компонентов (ионов, электронов, излучения). Однако мы специально не рассматривали тестовые задачи корректности нашего подхода в части решения задачи о распаде разрыва. Предполагалось, что "решатель" задачи Римана оперирует с небольшими скачками давления на неподвижной сетке из-за теплопроводности.
В 1957 г. Шафранов (см. [18]) рассмотрел структуру УВ в плазме. Это решение является подходящим тестом для разрабатываемой методики. Оказалось, что в тестовой задаче скачки на УВ в соседних ячейках сетки не являются малыми. Кроме того, корректность гиперболической части системы уравнений с недивергентными членами в многокомпонентной смеси для решений с разрывами нами не обсуждалась. Если в 1957 г. стояла задача получить решение вблизи поверхности разрыва, то сейчас разработка метода предполагает автоматическое получение структуры разрыва в любой сложной многомерной геометрии в вычислительном эксперименте.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
При решении многомерных задач удобнее использовать неподвижные эйлеровы координаты и вводить концентрации са = ра/р вещества сорта а. Система включает уравнения для переноса масс компонентов
Фа ■
— + РаV = рса ,
ОТ
^ + DivП = 0,
дг
закон сохранения импульса
уравнения для плотностей энергий
+ ЯУ (рЕа + Ра) V + V(СаЕГаёР - gradPа) = О^гаё Та) = Р V Хав( Та - Тр) + р<2а, (1)
в
где введены плотности энергий Еа = еа + са^/2, тензор П- = рх(-ху- + Р5-, уравнение состояния Р = V Ра(р, с, еа), удельные энергии еа (р, с, еа). Кинетические коэффициенты С а , ка Ху, Оа
а
зависят от р, с, Т (см. [19]). Вместо функций распределений разных частиц/а(г, р, 1) мы ограничиваем описание газодинамическими величинами: плотностями компонентов ра(г, 1), температурами Та(г, 1), и считаем, что скорости частиц с ненулевыми массами не различаются и равны х(г, 1). Такой подход позволяет описывать даже перенос фотонов и быстрых частиц плазмы как в прозрачном, так и непрозрачном случаях с помощью диффузии с ограничением потоков.
В случае однокомпонентного газа (сумма уравнений по а) консервативная запись уравнений газовой динамики означает выполнение законов сохранения при появлении разрывов в решении. В случае многокомпонентного газа в лагранжевых переменных (для простоты напишем для
д
р(%, г), 1), — =
то дгЕ
д д д д = — — V р — , — = р — , имеем систему уравнений
дгL дт дх дт
дт _ дх = о
дг дт
^ = о,
дг
дх+дР = 0
дг дт
1786
АКСЕНОВ
+ А , р_ V) + V (, дР - 0
•Л , -Л V (X / \ СХ, /"•»
д? дт V дт дт
или уравнение для удельных энергий д-е-а + Ра — = 0. Концентрации са не зависят от времени и,
д1 дт
вообще говоря, не нужны, если первоначально разные вещества были распределены по своим ячейкам и н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.