РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 52-57
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.396.674.3
РАСЧЕТ ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МИКРОПОЛОСКОВОГО ВИБРАТОРА МЕТОДОМ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ © 2015 г. Д. С. Клюев, Ю. В. Соколова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Российская Федерация, 443010 Самара, ул. Льва Толстого, 23 E-mail: klyuevd@yandex.ru Поступила в редакцию 26.09.2013 г.
Предложен самосогласованный метод расчета входного сопротивления микрополоскового вибратора (МПВ). Получено гиперсингулярное интегральное уравнение (ГСИУ) относительно неизвестной функции распределения плотности тока на поверхности МПВ. Описан численный метод решения ГСИУ. Приведены графики зависимости входного импеданса от длины вибратора, а также от толщины подложки.
DOI: 10.7868/S0033849415010076
ВВЕДЕНИЕ
Одними из первых работ по микрополосковым антеннам (МПА) являются работы [1, 2]. На данный момент вышло в свет огромное количество публикаций, посвященных вопросам анализа и синтеза МПА, описанию их конструкций, функциональных разновидностей и т.д. Подобного рода научный ажиотаж вокруг МПА вызван их неоспоримыми преимуществами: малые габариты, небольшой вес, недорогая технология производства как самих МПА, так и соответствующих элементов фидерного тракта.
Микрополосковая антенна представляет собой подложку из высокочастотного диэлектрика, на поверхности которого расположены планар-ные излучатели различной формы. Диэлектрик служит для выполнения конструктивных функций и обеспечения требуемых характеристик излучения.
В подавляющем большинстве работ, посвященных МПА, внутренняя задача анализа такого рода антенн сводится к интегральным уравнениям (ИУ) Фредгольма первого рода, численное решение которых, как известно, относится к классу некорректно поставленных задач по Адамару [3]. В [4, 5] такие ИУ получены для микрополосково-го вибратора (МПВ).
В [6] предложен самосогласованный метод решения внутренней задачи анализа узкого МПВ, ширина которого много меньше его длины и длины волны. Здесь под самосогласованным методом понимается получение сингулярного (гиперсингулярного) интегрального представления (СИП (ГСИП)) электромагнитного поля, которое при
подстановке в него соответствующих граничных условий на излучающей поверхности переходит в СИУ (ГСИУ), численное решение которых является математически корректной задачей. По сути, самосогласованный метод является методом физической регуляризации некорректных электродинамических задач [7].
Данная статья посвящена описанию самосогласованного метода решения задачи о распределении плотности тока на поверхности МПВ произвольной ширины, а также расчету его входного сопротивления.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗЛУЧАТЕЛЯ
Микрополосковый вибратор представляет собой следующую конструкцию (рис. 1): на подложке из высокочастотного диэлектрика, металлизированного с одной стороны, расположена тонкая
Рис. 1. Геометрия микрополоскового вибратора.
металлическая полоска с зазором, к которому приложена сторонняя электродвижущая сила (ЭДС). Длина полоски 21, ширина 2w, ширина зазора 2й, толщина подложки к.
Используем физическую модель МПВ, аналогичную предложеной в [6]:
1) будем считать МПВ бесконечно тонким и идеально проводящим;
2) ЭДС, включенная в зазор, является гармонической;
3) электрический ток на плечах МПВ вместе с магнитным током в зазоре заменяется некоторым эквивалентным непрерывным в области зазора электрическим током с поверхностной плотностью ]8 (х, у).
Ограничение на ширину полоски, в отличие от [6], накладывать не будем, она может быть произвольной.
На поверхности МПВ должны выполняться следующие граничные условия:
где
jS (x, -l) = jS (x, +l) = 0, jS (-w, y) = il (w, y) = 0,
(1a)
Уу (-м,у) = ]У, (у) = да,£ (х,-I) = л (х,I) = да, Ёх (х, у) =
[0 при х е \-м>,м],у е [-/,-й] и[й,I], (1б)
[-Етст при х е \-м, м>], у е \-й, й],
где Етст = {Есх , Есут} — тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля в зазоре вибратора.
Разложим векторы напряженности электрического поля Е, магнитного поля Н и поверхностной плотности тока у 5 на вибраторе по координатам х, у в интегралы Фурье:
Е (х, у, г) =
( х (г, а, в) + у^ у (г, а, в) +г (г, а, в)) х
П<
x exp (-/ах - /'вy) dаdв, H (x, y, г) =
(2)
= | | (x (г, а, в) + yky (г, а, в) + ^ (г, а, в)) x
—œ —œ
x exp (-iax - /'вy) dаdв, iS (x, y ) = [яо, H(2) (x, y, г = h) - H(1) (x, y, г = h)] =
œ œ
= Il ((ix (а, в) + Zojy (а, в)) exp (-iax - /'ву ) d adв,
%(г, a, p)=-1I f f (xoEx (x', y', z) +
—œ —œ
+ yoEy (x', y', г ) + ZooEz (x', y', г )) x x exp ((ax' + /py')dx'dy',
œ œ
Ж (г, a, p)=-L || ( xoHx (x', y', г ) + 4n J J
(3)
—œ —œ
+ УоНу (x', y', г ) + ZoHz (x', y', г )) x x exp ('ax' + /py')dx'dy',
w l
f S (a, P) = 4П2 I J(( (x', y') + ZojS (x', y')) X
—w —l
x exp (/ax' + /'py')dx'dy',
xo, yo, Zo — единичные векторы (орты) на координатных осях, no — единичный вектор нормали к границе раздела первой и второй сред, направленный из первой среды (области) во вторую;
H №, H (2) — векторы напряженностей магнитного поля в плоскости г = h областей 1 (г < h) и 2 (г > h)
соответственно; {Ex, Ey, Ez], {Hx, H y, Hz], j, jsy} -составляющие векторов напряженности электрического поля E, напряженности магнитного поля
Г т s
H и поверхностной плотности тока j соответственно; x, % у, % г}, {Ж, Ж у, Ж,}, {$SX, fy} — составляющие векторов фурье-образов напряженности электрического поля E, напряженности магнитного поля H и поверхностной плотности
т S
тока j соответственно.
В (3) учтено, что поверхностная плотность тот S
ка j отлична от нуля только на поверхности МПВ: г = h, x e [-w,w], y e [-l,l].
На плоскости г = h фурье-образ %т = {%x,% у} тангенциальной составляющей напряженности
электрического поля ET и фурье-образ fS = = {fSx, fSy} поверхностной плотности тока jS на вибраторе связаны через матрицу поверхностных импедансов [Ж] плоскости г = h следующим образом [8]:
(4)
где Ж у (/, j = 1,2) — элементы матрицы поверх-
"% У1 "(ЗУ Ж 11 se ~ Ж 12 "f у "
.% x _ OV .Ж 21 OV Ж 22 _ .f x .
ностных импедансов [Ж], представляющие собой функции переменных фурье-пространства a, Р:
Ж j = Ж у (а, в).
—œ —œ
Для определения матрицы поверхностных им-педансов [Ж] проще сначала найти матрицу поверхностных адмитансов [ЗД] :
$ у
2 х.
(5)
"ЗД 11 ЗД 12 .ЗД 21 ЗД 22
где ЗДу (/, у = 1,2) — элементы матрицы поверхностных адмитансов [ЗД], которые также являются функциями переменных а и р.
Так как из матричных соотношений (4) и (5) следует, что матрица [ЗД] есть обратная матрице [Ж], то несложно установить связь между элементами этих матриц:
Ж11 (а, в) = ЗД 22 (а, в)/ А (а, в), Ж12 (а, в) = -ЗД 12 (а, в) А (а, в), Ж 21 (а, в) = - ЗД 21 (а, в) А (а, в), Ж 22 (а, в) = ЗДц (а, в) А (а, в),
(6)
где
А (а, в) = ЗДц (а, в) ЗД 22 (а, в) - ЗДП (а, в) ЗД л (а, в).
Элементы матрицы поверхностных адмитансов плоскости г = Ь легко определяются через матрицы входных адмитансов области 1 — [ЗД(1)] и области 2 - [ЗД(2)] (см. рис. 1) [8]:
ЗД у = зд(2) - ЗДУ (7)
Матрицы входных адмитансов вводятся следующим образом [8]:
С
ЗД(1"1) ЗД(Пу здП ЗД(2"2у.
%(п)
п = 1,2;
(8)
где С — фурье-образы тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей в плоскости г = h для областей 1 и 2 (см. рис. 1) (здесь и далее верхним индексом в скобках (п) будем обозначать номер соответствующей области).
Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд в областях 1 и 2 ({Е""1,Е(п),
{н(п), Н{п), Н
(п)
в декартовой системе координат:
дЕ(п) дЕ\
(п)
ду дг
-гюЦпЦоН
(п)
дН
(п)
ду
дН{у) . р(п)
--— = те„е0Ех',
дг
(9)
дЕХп дЕ.
дг
(п)
дх
-тр.п^оН
(п)
дН
(п)
дг
дН"] . Ап) --^ = т&п£оЕу ',
дх
дх
(п)
ду
Я(п)
. п. о г \
дН{п) дН
дх
(п)
ду
= №&„&0Ег
(п)
где ю — циклическая частота, б 0 — электрическая постоянная, ц 0 — магнитная постоянная, б1, — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки (области 1) соответственно; б2, ц 2 — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости окружающей среды (области 2) соответственно.
Выразим составляющие Е^, через Е(\ НУп :
к 2бпЦп Н^ +
д2Нп) . дЕ:
= т£„£
п°0
у
д 2Н{п)
у +д у
(п)
дг дудх
ду
-.2^ (п)
, 2 „(п) д Ех
к епЦпК' +—Т1Г = 0 _ _ _
ду дг дудх
дН
(п) р,2Т7(п)
+ д Еу
(10)
где к2 = ю2б 0 — волновое число. Разложив
Нх , Е; ' и Н "' в интеграл Фурье с помощью (2), подставив полученные выражения в (10) и выполнив несложные математические преобразования, получаем следующие выражения, связывающие составляющие фурье-образов напряженности электрического и магнитного полей %(пх\ С^ с \
Сп :
(п) _
1
(к2&„Рп - р2) 1
%(п) = ■
гюб„б0
(к2е#п - р2) Определим и С
дг
дСу'2) дг
- арС(
п)
- ар
(11)
у у из решения уравнений
Гельмгольца с учетом граничных условий:
^(п) = С (п) (^) ,п = 1 ; 1 (-/у 2г ),п = 2,
= С
(п)
(у^ ),п = 1
(12)
exp (-/у 2г ),п = 2,
где с(я), с|и) — некоторые неизвестные константы,
Уп =4к2&пРп - а2 -р2.
Теперь подставим (12) в (11) и затем, выразив С через %(пх), (для этого необходимо сначала выразить неизвестные константы С1(п), С(2п через ^У1 с помощью выражений (11), (12)),
у
получаем значения элементов матриц входных
адмитансов плоскости z = h областей 1 и 2 — Y,
(n)
Асимптотическое представление (14) при ai ^ да, |ß| ^ имеет вид
(i, j = 1,2) :
55
Ai (a, ß) в (17)
(a, ß) = (k2gn "a2)X(П), Y(2n) (a, ß)_^*
V°Vn«Y n '(n) R\ - V(n) I
(n)
= гюц 0
ß2
^ 2
Y2(2n) (a, ß)_-
Y^ (a, ß) = -Yin (a, ß), ((snVn -ß2)(n) (n) _ Ji ctg Y1h, n _ 1,
'[1,n _ 2.
X _
VoV n®Y
Теперь, подставляя (13) в (7), а затем полученные выражения в (6), можно получить выражения для элементов матрицы поверхностных импедансов % j, (i, j = 1,2). Здесь приведем в явном виде лишь элемент % 11, который будет использован в дальнейшем.
% = Ç ßCT^ р^ 2 Y1Y 2 (14)
Q (a, ß)
к (б2 + б1))а + в2 (И 2 + )) а2 + р2
(13) Как следует из (17), интегралы по а и в в (16) расходятся. Устранить эту расходимость можно следующи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.