ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
УДК 539.3:621.81
© 2004 г. Тихонов В.А.
РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННОЙ ЖЕСТКОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА
Определена жесткость сферического подшипника с конической боковой поверхностью при пространственном перемещении фланцев. На основе асимптотического подхода решена задача сжатия и сдвига тонкого резинового слоя. Для подшипника в виде чередующихся тонких кольцевых сферических резиновых и металлических слоев получены переходные функции вибрационной жесткости. Дана оценка частотного диапазона использования полученных характеристик.
В вертолетостроении и космической технике в качестве подшипников используются слоистые эластомерные конструкции. Для пассивной и активной виброизоляции трубопроводов предлагается применить тонкослойные резинометаллические элементы. Изделия отличаются от обычных резиновых виброизоляторов малыми габаритами при повышенной несущей способности и эксплуатационной надежности, а также значительным (до двух-четырех порядков) перепадом жесткостей по осям элемента и малой зависимостью жесткости от давления в трубе. Направленная передача вибрационной энергии вдоль оси наибольшей жесткости в элементах различной конфигурации используется в активных виброзащитных системах и в стендах для динамических испытаний. Для снижения связанности линейных и угловых колебаний в патрубках применены сферические сегментные тонкостенные резинометаллические элементы с конической боковой поверхностью. Подобные конструкции используются в редукторах несущего винта вертолета и подвесках ракетных сопел как сферические упругие виброизолирующие подшипники.
Задачи пассивной и активной виброизоляции патрубка связаны с определением передаточных характеристик как частотных функций жесткости всех упругих элементов, входящих в конструкцию, при пространственных перемещениях. Модель сферического подшипника представляет собой многослойную структуру из чередующихся жестких металлических слоев - тарелей и упругих резиновых слоев в виде кольцевых сферических сегментов. Определяющей является задача деформации тонкого резинового слоя при заданном взаимном пространственном перемещении жестко связанных с ним тарелей. В работах [1-3] разработан метод решения задач деформации плоского и цилиндрического резинового слоя с учетом слабой сжимаемости резины при различных кинематических граничных условиях.
В работах [3, 4] получены уравнения для определения напряженно-деформированного состояния в центральном сферическом тонком сегментном резиновом слое при осевых взаимных перемещениях тарелей. Настоящая работа посвящена исследованию деформации слоя в виде кольцевого сферического сегмента при осевом и поперечном смещении торцевых металлических тарелей, а также при их взаимном повороте. Затем определяются интегральные динамические характеристики многослойной структуры.
Рассмотрим кольцевой резиновый сегмент (рис. 1) в сферической системе координат г, у и ф: у - угол относительно оси 0г, перпендикулярной плоскости чертежа; ф -угол относительно вертикальной оси 0у. Резиновый слой считаем тонким, т.е. отно-
0 х шения толщины к линеиным размерам слоя
мало: (Нг/Ь) < 20, (Нг/Яс) < 20. Здесь Ь и Яс -ширина обода и средний радиус сферического сегмента. В тонких слоях резина при Яе стесненной деформации сжатия ведет себя как слабосжимаемьш материал (в традиционных виброизоляторах резина считается несжимаемой), т.е. учитываются упругие модули сдвига и объемного сжатия (О и К) как конечные величины, но их отношение мало О/К = 10, ..., 10-4 ^ 1. Тогда можно применить асимптотическии по сжимаемости и геометрическим параметрам метод расчета, предложенный в [1-3].
Помимо указанных, принимаем следующие предположения. Ввиду слабоИ сжимаемости резины нормальные напряжения приближенно равны гидростатическому давлению ог = оу = оф = о(у), которое зависит только от угловоИ координаты. Гипотеза плоских сечениИ предполагает равенство нулю сдвиговых деформации егф = еуф = 0. Примем также ограничения на поля перемещении диф/дг > (1/г)(Эиг/Эф), диу/дг > > (1/г)(Эиг/Эу). При данных предположениях решим следующие краевые задачи.
1. Задачу осевого центрального сжатия вдоль оси 0г ставим при окружном перемещении иф = 0 и граничных условиях
Рис. 1
иг = А. ео8 у, иу = -А. у при г = Я;; иг = 0, иф = 0 при г = Яе
(1)
По методике [3] производим интегрирование радиальных и угловых перемещении, выраженных из уравнении теории упругости, по толщине слоя при граничных условиях (1). Опуская промежуточные выкладки, связанные с разложением функции в ряд по малому параметру относительнои толщины £ = Нг/(2Яс), Яс = 0,5(Я; + Яе) и оставлением членов не выше второго порядка малости, окончательно получим уравнение относительно гидростатического давления о(у)
2 1
А¥о - к о = д(у), Ау =
у у йу
й \ 2 3а
81п узтт, 1, к = -^2,
й у
2 А.
<?(у) = -к К—-сову, о(у 1) = о(у2) = 0.
Н-Г-
(2)
Краевую задачу (2) можно решить аналитически, приводя уравнение к классу гипергеометрических, введением переменнои х = сов(у), (1 - х )(й о/йх ) - 2х(йо/йх) - ко = = д(х), общее решение которого выражаем через функции Лежандра
о = С1 Ру( х) + С2 х) -
д(х) 2 + к2
у(у + 1) = -к , о(сову 1) = о(сову2) = 0. (3)
Решаем краевую задачу численными методами. Получаем распределение давления по угловои координате у и все требуемые переменные через гидростатическое давление. После интегрирования по кольцевои площади внутреннеи тарели определяем осевую жесткость С. как соответствующую силу при единичном перемещении А.
у2
С. = п Я;
|о(у)
у1
Вш2у йу.
(4)
Расчет проводим по каждому слою в пакете подшипника со своими геометрическими параметрами в соответствии с чертежом сферического элемента. Затем сум-
А. = 1
мируем податливости слоев и вычисляем суммарную жесткость пакета. Расчет вибрационной жесткости слоистой структуры проводим либо по распределению, либо по средней жесткости пакета.
2. Задачу поперечного смещения вдоль оси 0x ставим в предположении распределения смещений и гидростатического давления в виде ur = u(r, ¥)sin ф, и¥ = u(r, ¥)cos ф, иф = w(r, ¥)sinф, G = s(¥)cosф и следующих граничных условиях: ur = Axsin¥cosф, u¥ = = Axcos¥cos ф, иф = -Ax sin ф при r = R¡; ur = 0, u¥ = 0, иф = 0 при r = Re. В рамках допущений задачи 1, выполняя аналогичные процедуры, получим
A¥s - к2s = q(¥), G = scosф, к2 = 3а/Z2,
= -к2 КA 'sin ¥ , s (¥i) = s (¥2) = 0.
(5)
В результате исследования показано, что оставление членов, зависящих от w, дает в правой части уравнения (5) добавку в выражения большего порядка малости ). Решение уравнения можно получить аналитически, подобно выражению (3), через функции Лежандра. После интегрирования определим жесткость Сх как поперечную силу при единичном перемещении Дх
¥2
C = 4 R
J s (¥)
¥1
sin ¥ d¥.
(6)
A = 1
Жесткость при угловом перемещении у0 сферического слоя определим аналогично решению задачи деформации плоского слоя при чистом сдвиге. По относительной деформации сдвига отдельного резинового слоя и соответствующему моменту определяем угловую жесткость сферического подшипника в виде
C¥ = M ¥ / ¥0 = GS¡R¡/hr
(7)
где 81 - опорная площадь тарели с внутренним радиусом Я;.
Матрицу вибрационной жесткости пакета (переходная и входная жесткость) определяем по методике [4] на основании уравнений структурной механики
Fi = C11 x0 - C12xn, F2 = - C21 x0 + C22xn, C12 = C21 =
C = r = F1 , r11 = r22 = —
, (8)
где х0}, хп} - соответственно вибрационные силы и смещение на входе и выходе подшипника, как четырехполюсника; Сп, С22 - входные вибрационные жесткости пакета; С12, С21 - переходные жесткости элемента.
Из уравнений движения как системы рекуррентных соотношений относительно перемещений каждой тарели, исключая их и выражая через перемещения фланцев х0 и хп, получим выражения для вибрационных сил через полиномы в виде
Pn-2
xn + -
1
2
F 2 pn - 2 - pn - 3 pn-1 . pn-1-pn-2
Pn-1
r
Pn-1
- xn + -
Pn-1
(9)
Можно показать, что рп _ 2 -рп - 3рп - 1 = 1 для систем регулярной структуры. Тогда элементы матрицы жесткостей будут С12 = С21 = С/рп _ 1, С11 = С22 = [1 - (рп - 2/рп _ 1)] С.
Задаем параметры пакета, в том числе комплексную вибрационную жесткость резинового слоя в заданном направлении (4), (6) или (7) - среднюю по всем слоям. Например, в поперечном направлении из (6) имеем С = Сх{ = пгСих(1 + /п), где Сих -вибрационная (из эксперимента) поперечная жесткость элемента на низких часто-
0
x„ = 0
0
xn = 0
n
|Сг|/С„, тг 10
1 0,1 0,01 1 • 10
|СХ|/С„, тх
0 2000 6000 0 2000 6000 0 400 800 12001600
I, Гц
Рис. 2. Модуль вибрационной жесткости сферического подшипника: в направлении оси 0г (а) и оси 0х (•): 1 - переходная жесткость С^/С^ 2 - входная жесткость |СП|/Сп, 3 - коэффициент передачи Т; а также в угловом направлении относительно оси 0у (в): 1 - переходная жесткость С^/С^, 2 - входная жесткость |СП|/С8, 3 - коэффициент передачи Т
тах (/, Гц - близких к 0); п - коэффициент потерь; п = пг - число резиновых слоев. Вы-
2 2
числяем частотный параметр е(/) = 2[1 - (4п / ш/Сх,)], где ш, - масса тарели. Полино-
мы, фигурирующие в (9), вычисляем из выражений рп - 2 = ^ с
п - 2;
-2,; е , Рп
- 1 -
лп - 1, 1
п - 21 + 1 , .,( п е , к= сей|2
Здесь компоненты матрицы А задаются алгоритмом
- а1 - 2 I- 1 (I = 2, • • •, к) при I > 2},
; = 1
вычислений а;, ^ = 0, а;, : = 1, а22 = -1, {а;, 1 = а{ - 1г г = 1, •.., п, = 1, к.
По выражениям переходной и входной жесткости элемента определяем коэффициент передачи вибрационной силы Т = -Ру^ = -С21/Сп, важный при оценке частотного диапазона виброизоляции пакета слоистого подшипника и как передаточная функция в управляемой виброизолирующей системе. При расчетах по получаемому распределению различных жесткостей слоев в пакете решаем систему уравнений, получаемую из соотношений (8) и уравнений движения элементов пакета. Уточнение при этом не превышает 15%.
Конструкция, параметры сферического тонкослойного резинометаллического элемента и экспериментальные данные представлены ООО Калужский турбинный завод.
При расчетах задавали следующи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.