МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 533.722
РАСХОД РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ СКВОЗЬ КРУГЛЫЙ КАПИЛЛЯР
© 2015 г. В. В. ЖВИК
Московский физико-технический институт (государственный университет),
Факультет аэромеханики и летательной техники, Долгопрудный, Московская обл.
e-mail: VladZhvick@yandex.ru
Поступила в редакцию 11.07.2014 г.
Определена функция зависимости расхода газа в медленном изотермическом течении Пуа-зейля сквозь бесконечно длинный капилляр кругового поперечного сечения от параметра разреженности (обратного числа Кнудсена). На основе линеаризованного модельного кинетического уравнения БГК получено асимптотическое разложение расхода по малому обратному числу Кнудсена.
Ключевые слова: течение Пуазейля, цилиндрический капилляр, расход газа, модель БГК, число Кнудсена.
Численное исследование задачи о течении Пуазейля в капилляре кругового сечения при произвольном значении числа Кнудсена было начато в 60-е годы. Обзор исследований этой задачи дан в [1, 2]. Капилляр предполагается бесконечно длинным, что позволяет не учитывать зависимость скорости течения от продольной координаты. При этом температура течения определяется только температурой поверхности капилляра, которая предполагается постоянной.
В ряде работ [3—10] задача ставилась для линеаризованного кинетического уравнения БГК при граничном условии диффузного (равновесного) отражения молекул от внутренней поверхности капилляра. В работах [3—8] осуществлялся переход от кинетического уравнения к эквивалентному интегральному уравнению для макроскопической скорости течения. В [3, 6—8] путем численного решения интегрального уравнения был определен расход газа во всех режимах разреженности. Численное решение кинетического уравнения получено в работах [9, 10]. Перечисленные данные хорошо согласуются между собой (с разницей не более 0.1%).
Так же было получено асимптотическое разложение расхода по малому числу Кнудсена (континуальный режим), содержащее четыре члена [4, 7] и разложение по малому обратному числу Кнудсена (в окрестности свободномолекулярного режима), содержащее три члена [4].
Использованное уравнение БГК приближенно моделирует течение при "мягком" взаимодействии молекул (максвелловские молекулы).
В [11] методом дискретных скоростей решалось линеаризованное уравнение Больц-мана для молекул твердых сфер. Отличие значений расхода, определенных в [11] с помощью уравнения Больцмана, от значений расхода, определенных в [6, 7] с помощью БГК-модели, порядка 0.5% в переходном режиме и около 1% в континуальном режиме.
Несмотря на обилие численной информации, удовлетворительное понимание функциональной структуры зависимости расхода от числа Кнудсена достигнуто не
было. В [3, 11] численные результаты сравнивались с интерполяцией Кнудсена экспериментальных данных [12]. Отклонение интерполяции Кнудсена от численных данных в переходном режиме порядка нескольких процентов.
В [13] приведена удачная интерполяция численных значений расхода [14], полученных при помощи 8-модели. Отклонение этой интерполяции от численных данных не превосходит 0.2%. Однако отклонение данных [14] и зависимости [13] от данных [6—8, 11], полученных для БГК-модели и уравнения Больцмана, в переходном режиме составляет примерно 1%.
В настоящей работе для выявления функционального вида зависимости расхода от параметра разреженности в континуальном и переходном режимах используются упомянутые численные данные и асимптотическое разложение при малом числе Кнудсена.
Числа членов в имеющемся асимптотическом разложении зависимости расхода по малому обратному числу Кнудсена недостаточно для контроля численных данных при больших значениях числа Кнудсена, поэтому на основе линеаризованного уравнения БГК получено асимптотическое разложение расхода по малому обратному числу Кнудсена, содержащее семь членов.
Выявленные функциональные зависимости расхода от параметра разреженности позволяют получить хорошие аппроксимации численных данных. Начальная стадия данного исследования доложена в [15].
1. Асимптотическое разложение расхода при больших значениях числа Кнудсена. Вывод линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода для макроскопической скорости из линеаризованного интегродифференциального уравнения БГК дан в [3]. Оно имеет следующий вид:
1 2п . .
- У0 (5 |г - Г') (11)
|г - г '|
и(г) = П |г ' йг ' | йф
и(г') + —
. 25J
0 0
Здесь и(г) — макроскопическая скорость газа в капилляре, отнесенная к наиболее вероятной скорости молекулы ит = (2кТ/т)1/2 и абсолютной величине малого безразмерного градиента давления ^ 1
^ = айЕ
рйг
Константа а — радиус сечения капилляра, р — давление в произвольном сечении, (г', ф, z) — цилиндрическая система координат (расстояние г', как и г, отнесено к а), 5 — параметр разреженности (обратное число Кнудсена)
5 _ ар _4п 1
Здесь ^ — динамический коэффициент вязкости, |г - г'| = (г2 + г'2- 2гг'сс^ф)12,
2 Кп
;сь ^ — дин 10 (г) — функция Абрамовица нулевого порядка [16]
да
(г) = |с" ехР (-с2 - йс
0
Приведенный расход определяется через размерный расход Q* следующим образом:
1
е = У 2 = 4 Ги(г)гйг (1.2)
vт \Чпа 0
Фиг. 1. Поперечное сечение капилляра — г и г' — радиусы-векторы в плоскости сечения; с — характеристика, проходящая через точки г и г', имеющие координаты я и 5' вдоль характеристики; ф, 0 — углы между векторами г, г' и г, с
Из фиг. 1 видно, что бесконечно малый элемент площади dS в точке г' может выражаться двумя способами:
dS = r' dr' dф = (s - s ')d0ds'
2 1/2 i i
где s(r, 9) = r cos 9 + (1 - (r sin 9) ) , | r - r '| = s - s'. С учетом (1.3) уравнение (1.1) преобразуется к виду
2п s
5
(1.3)
u(r) =5 f d9Íds' п
0 0
u(r') +
10 (5(s - s •))
(1.4)
Подставим (1.1) в (1.2), поменяем местами г и г', воспользуемся (1.3), а затем проинтегрируем по ds':
1 2п
Q = П J rdr J d 9
u(r) + —
. 25.
(1 - 2/1(5я>) (1.5)
20_
0 0
Свободный член уравнения (1.1) можно преобразовать аналогичным образом:
2п
(1.6)
1 2п
5 Г... л... Г лu(r')
u(r) = f J rdr • f • 2I о (5 |r - r 1) + -L Г d 9 (1 - H^s))
In r — r 4n5
о 0 1 1 0
r — r ,
Известно [16], что при t < 1
1 - 2I1(t) = 4ñt + t2 ln t - 3(1 - v)t2 - — t3 - — t4 ln t + O(t4) ^^ 3 12
2I0(t) = d [1 - 2I1(t)] = 4n + 2t ln t + O(t) dt
(1.7)
(1.8)
где у — постоянная Эйлера—Маскерони: у = -1 1пхexp(-x>dx « 0.57722.
0
Получим первые четыре члена разложения скорости из уравнения (1.6), используя (1.7) и (1.8):
да
Таблица 1
Qo q!1' q1 q2() q2 q32) q31'
1.5045 1.0000 1.9100 3.0090 1.4999 1.0000 5.9168
u(r, S) = uo(r) + ufa)(r)S ln 8 + uf(r)S + u2f)(r)S2 ln 8 + 0(S2) (1.9)
n/2
uo(r) = -f J (1 - (rsine)2)1/2de, uff)(r) = f
Гп o
1 2n 2n
uo(r') , 1
u( (r) = [r'dr' f dm+1 f dQs2 ln s - 3(1 - y)u,(1)(r) 2л/ПJ J r - r' 4n J 2 1
o
1 2n (1)/
u21)(r) = Q + 1 J^dr' Jdф
2 24п " " |г - г' I
0 0 1 1
Нижний индекс коэффициентов разложения соответствует степени 8, верхний — степени натурального логарифма.
Получим первые семь членов разложения расхода из выражения (1.5), используя (1.7) и (1.9):
ß(5) = ßo + ßi1) 5 ln 5 + Qf5 + ßP 52 ln 5 + Q282 + + Q32)53 ln2 5 + Q31)53 ln 5 + 0(53)
(1.10)
1
Qo = 3L Q® = 1, Q1 = 8juo2(r)rdr + (2y-4)Q1W. Q21) = 2Qo • Qi®
1 1 2n 1 2n
q2 = 4 rrdr frdr' fd9uo(r')uo(r) + 4 \rdr f d9uo(r)s2lns - 3(1 -yQ4 -
ып r - r 1 nJ J 2
o o o 1 1 o o
- АQo(2Q1a) -1)
Q32) = 1, Q31) = 2Q1 + Qo2 -1/6
В табл. 1 приведены численные значения коэффициентов разложения расхода. На фиг. 2 асимптотическое разложение (1.10) сравнивается с численными данными [6, 7] (а) и [8] (б). Можно видеть, что разложение, ограниченное тремя членами, не позволяет контролировать погрешность численных результатов в диапазоне 8 > o.o1. Отклонение А семичленного разложения от численных данных не превышает 0.1% при 8 < o.1. Его величина определяется по следующей формуле:
д _ Qnum — Qasympt foo% Qnum
Фиг. 2. Отклонение асимптотического разложения (1.10) с различным числом членов от численных данных [6, 7] (а), [8] (б): число членов разложения — 7 (1), 5 (2), 3(3)
Таким образом, анализ численных данных, выполненный при помощи асимптотического разложения при больших значениях числа Кнудсена, указывает на отсутствие потери точности численных результатов в диапазоне 0.01 < 5 < 0.1.
2. Аппроксимация расхода. Будем искать зависимость приведенного расхода от обратного числа Кнудсена 5 в виде
«5) = Qst(5) + & + а;т (2.1)
1 + ф(5>
Здесь QSt(5) = 5/4 — расход в режиме Стокса; Qs1 = 1.0162 — расход, обусловленный граничным условием скольжения первого порядка (численно совпадает с коэффициентом скоростного скольжения); Qfm — расход в свободномолекулярном режиме; ф(8) — некоторая функция, стремящаяся к нулю при 5 ^ 0 и к бесконечности при 8 ^ да. Такое представление зависимости расхода от параметра разреженности (обратного числа Кнудсена) обеспечивает совпадение приближенной зависимости (2.1) со свободномолекулярным значением расхода (5 ^ 0) и с континуальным значением расхода (5 ^ да), учитывающим процесс скольжения газа вдоль поверхности.
Далее исследуется вид функции ф(8) при различных режимах разреженности газа. Важно заметить, что данная величина однозначно определяется приведенным расходом Q(5)
8> = —--1
Q(S) - Qst (5) - QÍ1
В то же время, хотя зависимость ф(8) окажется удобной для графического исследования, интерес представляют погрешности вычисления приведенного расхода по аппроксимации (2.1) относительно численных данных, поэтому всюду далее обсуждаются погрешности аппроксимации расхода, а не вспомогательной функции ф(5).
Рассмотрим континуальный режим течения (5 > 1). В [7] для этого случая получено асимптотическое разложение расхода
т = аз, (§) + о,1+^ (2 е! -1) - 06075+о(5-3) (2.2)
Если ограничиться требованием совпадения первых трех членов в разложении зависимости (2.1) по малому параметру 8 1 с тремя членами в (2.2), то достаточно положить
Ф(5) = Жс8 (2.3)
Шс = ^т - « 0.8895 301/2 -1
Коэффициент в четвертом члене разложения (2.1) при таком значении Wc равен —0.6172 в отличие от —0.6075 в (2.2).
Константу Wc можно определить также по численн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.