КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 77, № 5, с. 582-587
УДК 532.64
РАСКЛИНИВАЮЩЕЕ ДАВЛЕНИЕ МЕЖДУ ДИСКАМИ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ С ДИСПЕРСИОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
© 2015 г. Е. Н. Бродская, А. И. Русанов
Санкт-Петербургский государственный университет, Менделеевский центр 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 E-mail: elena_brodskaya@mail.ru Поступила в редакцию 17.03.2015 г.
Для дисперсионных сил проведены расчеты локального нормального давления в круглой конечной щели между двумя одинаковыми цилиндрическими дисками. Получены оценки относительной поправки в расклинивающее давление от толщины взаимодействующих дисков по сравнению с бесконечно протяженными цилиндрами. Показано, что эти поправки наиболее существенны, если толщина дисков меньше размеров щели.
БО1: 10.7868/80023291215050031
В серии предыдущих статей [1—6] мы изучали тензор давления на стенках пустой конечной плоскопараллельной щели цилиндрической конфигурации двух типов: (1) между торцом цилиндра и бесконечной твердой поверхностью, (2) между торцами двух одинаковых соосных цилиндров. Круглая щель имела конечный радиус, однако тела, ее образующие, были бесконечно протяженными в направлении, перпендикулярном стенкам щели. Для заданного радиуса щели исследовалась зависимость компонент тензора давления как от ширины щели, так и от положения рассматриваемой точки относительно оси симмет-
рии системы. Были рассчитаны поправки на конечный радиус щели по отношению к бесконечной щели той же ширины. Из-за сложности вычислений рассмотрение цилиндров конечной высоты (при малой высоте цилиндр превращается в диск) откладывалось, но сейчас пришло время закрыть и этот пробел. Решение данной задачи представляется особенно важным для коллоидной науки, имеющей дело именно с такими телами.
Начнем со случая пустой щели между параллельными цилиндрическими дисками 1 и 2 с толщиной dи радиусом основания а (рис. 1). Как и в
Рис. 1. Схематическое изображение конечной щели между двумя цилиндрическими дисками толщиной d (а); (б) и (в) — две вспомогательные системы для расчета интеграла по объему нижнего диска.
предыдущих работах, ограничимся случаем дисперсионных сил с межмолекулярным потенциалом
Ф (12) = -АгГп, (1)
где А12 — постоянная молекулярного взаимодействия.
При расчете тензора давления будем исходить из определения Ирвинга—Кирквуда [7] и будем искать выражение для нормальной компоненты тензора давления. Выберем точку на поверхности диска 2 (обращенной к диску 1) и поместим туда начало координат с осью г, перпендикулярной поверхности щели и направленной в сторону диска 1 (рис. 1а). Опуская часть процедуры преобразования выражения для тензора давления р, с учетом симметрии системы и ограничения на выбор пары взаимодействующих молекул в дисках 1 и 2, обратимся к формуле (1) работы [3], где рассматривалась щель между торцами бесконечных цилиндров,
p = - 3A12qc2 J dry J dz
Zi
2 (Zl - Z2)5'
(2)
V V-
где У1 и У2 обозначают объемы тел 1 и 2 , а с1 и с2 —
их частичные плотности, величина г х г представляет собой тензор. Здесь также начало координат помещено в расчетную точку на нижней поверхности щели. При использовании цилиндрической системы координат р, ф, г для интересующей нас нормальной компоненты рм тензора р формула (2) преобразуется к виду
2п
Pla
pN (H, r, a) = -6A12c1c2 Jdф Jdzy J pdp x
H
(3)
J dz2Ti—-5
WP (p + Zl)(Z1 - Z2)
где величины
Pla
4
2 2 • 2 a - r sin ф- r cos ф;
V (рис. 1в) двух бесконечных цилиндров. Каждый из интегралов отвечает взаимодействию частиц в диске 1 с бесконечными цилиндрами, отделенными от него щелью шириной Н или Н + ё, соответственно. Вклад первого из них записывается в виде
2п И+й
(г, И, а, й) = -6А12с1с21йф | х
о н
Pla
J
(4)
pdp
dZ2
( + Z?)1,p(Zl - Z2)
в котором пределы для г2 будут такими же, как и в случае двух бесконечных цилиндров в формуле (2). После интегрирования по г2 и частичного по р этот вклад представляется в виде
pN (r, H, a, d) =
6
H3 (H + d)3 _
Al2clc2
2n H+d
J d^ J
Zl2dZl
о
H
(pla + Zl2)
■ +
(5)
3Al2clc2 2
2n Pla
J ^ J
p dp
H+d
J
Zl2dZl
(P + P2a) H (p2 + Zl2)
где оставшееся интегрирование по р и г1 можно выполнить аналитически, хотя выражения будут очень громоздкими. Однако последующее интегрирование по полярному углу придется выполнить численно. Очевидно, что при ё ^ да формула (5) переходит в выражение для нормального давления в конечной щели между двумя бесконечными цилиндрами [3]
p2a = -\]a2 - r2 sin2 ф - r cos (ф + п)
представляют собой расстояния от начала координат до граничной окружности щели.
Для случая двух конечных тел в качестве исходной можно использовать формулу (2), но следует учесть, что интегрирование проводится по ограниченным объемам V1 и V2. В нашем случае двух дисков при интегрировании по z1 верхний предел будет равен H + d. Несколько большие преобразования потребует интеграл по объему V2 нижнего диска. Этот интеграл можно представить в виде разницы интегралов по объемам V3 (рис. 1б) и
_ nAl2ClC2
6H
. 2п Pl
pN (r, H, a, да) _
2п да
l - fJ
Zl2dZl
H
(pla + Zl2 )
(6)
- J d^ J T^ J'
n J J(p + p) Ji
ZldZl
(P + P2a ) H (p2+ Zl2 )
При рассмотрении второго вклада р$ (г, И,а, й) необходимо учитывать, что рассматриваемая точка находится не на поверхности цилиндра и должно выполняться неравенство й < z1р2a|р. Это накладывает дополнительные условия на преде-
х
о
4
x
о
да
(а)
4
0.8
0.6
0.4
0.2
0 5
2 2
0.2 (б)
0.4 0.2
(в)
0
Рис. 2. Поправка в локальное нормальное давление в круглой конечной щели радиуса а: (а) — для двух дисков толщиной 0.25а, (б) — для двух бесконечных цилиндров, (в) — разность вкладов в нормальное давление АN при d = 0.25а.
лы изменения р и ф при последующем интегрировании. Как и при получении формулы (5), выполнив ряд интегрирований по 12, р и z1 с учетом ограничений на пределы интегрирования, получим следующее выражение для второго вклада:
п (2)
р N
н'
/1-
ЛА12С1С2
6Н3
__ н3
(Н + Л)3 (Н + 2Л)3 _
+ Щ- X
2п
Н+й
йг1
н
(¿1+Л)4
Ф(Р1« < Р) + ^ ЛФ(Р1« > Р)
] / 2 , ,2,3
' (р^ + Л ) _
Г:
] / 2 , 2,3 . (Р1а + ¿1)
■ +
+ (7)
. Н+й
+ 9Н- [ ^
П 1
Н
р
(Р1а > р)
р1а
рф (р >Р1а ) | Лр
/ 2 , 2,4,, ч4' (р + ¿1 ) (Р + р2а)
где р = р(ф, г1) = 1]Р2а1Л. При d ^ да величина стремится к нулю.
Суммируя вклады (5) и (7), получим окончательную формулу для нормального давления на стенке конечной щели между двумя дисками толщиной d
РN (г, Н, а, Л) = {1 - fN (г, Н, а, Л)}, (8)
где величина fN (г, Н, а, Л)
6Н
2Н3 _ 2Н3 3Н_ (Н + Л)3 (Н + 2Л)3 2п
Н+й
Н+й
3Н3
Н
(¿1 + Л) 2п I & + Л)
Н
(9)
Р
¿1 Лф<Р1а < р) + [Л Лф(р1а > р)
/ 2 2,3 (Р1а + ¿1)
Я
/ 2 , (Р2а + Л )
+
Н
9Н3
| рф ((5 > рха) |
Р5^Р
/ 2 , 2,4. , ч 4
(Р + ¿1 ) (Р + Р2а)
дает относительную поправку в нормальное давление бесконечной щели за счет конечных размеров как самой щели, так и образующих ее дисков.
За исключением интеграла в третьем слагаемом, все остальные интегралы в правой части (8) из-за сложной зависимости р(ф, г1) приходится вычислять численно. Результат для случая d = = 0.25а приведен на рис. 2б в сравнении с аналогичной величиной для бесконечных цилиндров (рис. 2а) и их разностью в интервале Н < 5а (рис. 2в). Эта разность характеризует вклад в давление имен-
0
5
0
0
п
Н
р
(а)
(б)
0.8
(в)
(г)
0.04 0.03 / 0.02 0.01
0
4 з 0 60.4
Рис. 3. Разность вкладов А/м в нормальное давление в круглой конечной щели радиуса а для бесконечных цилиндров и дисков конечной толщины ¿1 = 0.1а (а), 0.25а (б), 1а (в), 2а (г).
но от конечного размера частиц. Из сравнения рис. 2а и 2б видно, что для бесконечных и ограниченных цилиндров зависимости поправок в нормальное давление от ширины щели и от положения в ней аналогичны. Величины поправок непрерывно растут при увеличении ширины щели, причем учет конечного размера дисков уменьшает нормальное давление в щели по сравнению с бесконечными цилиндрами.
При детальном анализе дополнительного вклада в поправочный член от конечных размеров дисков обнаруживается немонотонная зависимость этой величины от ширины щели (рис. 2в). Чем ближе к центру щели находится рассматрива-
емая область, тем сильнее выражена немонотонность в зависимости от Н. Такое поведение можно понять, основываясь на предельных значениях поправок для бесконечно узких и бесконечно широких щелей. Очевидно, что значения поправок для дисков и бесконечных цилиндров должны сближаться в этих предельных случаях, как следует из рис. 2а и 3б. В бесконечно узких щелях влияние обоих конечных эффектов должно быть слабым, а в широких, наоборот, в обоих случаях поправки стремятся к единице, так как давление будет исчезать. Поэтому для промежуточных значений ширины щели для отдельного эффекта от ограниченного размера частиц следует ожидать
Кп
(а)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 к
„ _ -
/ /'
- / / '
/ /.'
! ■' / ■ /
-: //./ -----1
¡ 7 1 , / ----2
-; ///
.... 4
* 1 - - 5 1 1 1 1
3
Н/а (б)
d
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
- / \ 1 2
-1 \ ---- 3 4
-1 ^ ** \ 1 ' N \ ' 4 \ J / ч\ 5
\ ; .
23 Н/а
Рис. 4. (а) - Зависимости относительного отклонения среднего значения расклинивающего давления от соответствующего значения для бесконечной щели, Кп(Н, а, й), от ширины круглой щели радиуса а между дисками конечной толщины й = 0.1а (1), й = 0.25а (2), й = 0.5а (3), й = 1а (4), й = 2а (5), й = да (б); (б) - зависимости отдельного вклада, связанного с конечным размером дисков, К?(Н, а, й), от ширины щели для дисков тол-щиной й= 0.1а (1), й = 0.25а (2), й = 0.5а (3), й = 1а (4), й= 2а (5).
появление максимума. Действительно, согласно формуле (8) при любых конечных значениях г, а и й имеем следующие предельные значения для/х: ^ 0 при Н ^ 0 и/н ^ 1 при Н ^ да. Согласно выражению (6), такие же предельные значения получим и для поправки в случае бесконечных цилиндров. Разность поправок для двух случаев определяет вклад только от конечного размера дисков в относительное отклонение давления от давления в бесконечной щели. Следовательно, будучи положительной величиной, этот вклад должен иметь максимальные значения в некото
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.