МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. И. ОСТРИК
РАСКРЫТИЕ КРАЕВОЙ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ С КЛИНОВИДНЫМ ВЫРЕЗОМ В УСЛОВИЯХ КОНТАКТА СО ШТАМПОМ
Равновесие упругой плоскости с клиновидным вырезом и внутренней или краевой трещиной на оси симметрии рассматривалось в работе [1] в случае вдавливания штампа в боковые грани выреза на некотором расстоянии от вершины выреза. В [1] система сингулярных интегральных уравнений задачи решена численно с применением метода механических квадратур.
В данной работе обобщенным методом Винера—Хопфа [2] находится аналитическое решение аналогичной задачи в случае краевой трещины и давления штампа на частях боковых граней выреза, примыкающих к его вершине. Частные случаи этой задачи были рассмотрены ранее при отсутствии трещины [3, 4] или штампа [5, 6].
Ключевые слова: упругий клин, трещина, штамп, напряжения, метод Ви-нера—Хопфа, факторизация.
1. Постановка задачи. Рассмотрим упругий клин 0 < г < да, -а < -9 < а с углом 2а при вершине (п < 2а < 2п), который на оси симметрии 9 = 0 имеет краевую трещину 0 < г < / длины I (фиг. 1, а). Пусть в клиновидный вырез а < |9| < п вбит трапециевидный штамп, боковые грани которого параллельны боковым граням 9 = ±а упругого клина и имеют размер !х. Положение штампа фиксируется таким образом, чтобы его боковые грани контактировали с боковыми гранями клина на отрезках 0 < Г < /у, прилежащих к его вершине (фиг. 1, Ь). При этом максимальное раскрытие трещины 2к на ее левом конце (г = 0) задано и совпадает с размером меньшего основания штампа. Сила Р, которая направлена вдоль оси симметрии штампа и удерживает его в заданном положении, подлежит определению. Главный вектор напряжений, действующих на бесконечности в упругом клине, равен Р и направлен вдоль оси клина к его вершине.
Ввиду симметрии задачи ограничимся рассмотрением верхнего полуклина 0 < г < да, 0 < -9 < а. Считаем, что в процессе деформации упругого клина полюс О полярной системы координат остается совмещенным с вершиной верхнего полуклина, а полярная ось Ор — параллельной оси симметрии клина так, чтобы окружные перемещения в вершине полуклина были равны нулю. Граничные условия задачи без учета сил трения в области контакта 0 < г < /х, 9 = а имеют такой вид:
°э|э=о = 0 (0 < г < I), ив|в=0 = -к (I < г < да)
«3|3=а = 0 (0 < г < /х), о3|3=а = 0 (Ь < г < ю)
Тгэ|в=0,а = 0 (0 < г <« ) (1.1)
(a)
(b)
<4. (г, 0) X h
\ a гу .л ~ о i , Р
/А---- i <
/о i Р P /Л— h
Фиг. 1
Сила P определяется из условия равновесия
2sin a - J а 0|0=а dr = -P
(1.2)
2. Система интегральных уравнений и ее сведение к системе функциональных уравнений Винера—Хопфа. Вводя неизвестные функции
/ ч
gi(r) = af
3=0
(0 < r < I), g2 (r) = 2Ga^ (0 < r < /!)
(2.1)
где О — модуль сдвига, с помощью интегрального преобразования Меллина при отсутствии касательных напряжений на гранях О = 0, О = а получим
1
2Gаз1о=о = 2п Í Mii(s)ai(s) + Mi2(s)a2(s)\r s lds
c-ix
c
ы^0=а =-2П1 J 1 [[(s)ai(s) + M22(s)a2(s)]r Sds
дщ dr
c-1Ю
c
0=0
= 2nl Í ai(s)r_s-ids' 2G^ = 2Ь Í a2(s)r_s-ids
2G
2ni
(2.2)
Xvj (s)
Mvj(s) = . , ч (v, j = i, 2), A(s) = sin 2as + s sin 2a J A(s)
A,n(s) = —(sin2 as - s2 sin2 a), X22(s) = 2 m -i (cos 2as - cos 2a) m -1 m
Xi2(s) = X2i(s) = 2(cos a sin as + s sin a cos as)
где m — число Пуассона; -si < c < 0, s1 — наименьший по модулю корень уравнения A(s) = 0 из полуплоскости Re s > 0.
Обратив третье и четвертое соотношения (2.2) с учетом (2.1), а также второго и четвертого условий (1.1), найдем
0
l h
ai(s) = ¡gi(y)ysdy, a2(s) = jg2(y)ysdy (2.3)
0 0
Подставим выражения для ai(s), ^(S) из (2.3) в первые два соотношения (2.2) и удовлетворим последними первому и продифференцированному третьему граничным условиям (1.1). Выполнив замены
s = -i т, r = ley = le (2.4)
относительно новых неизвестных функций
Ф1(П) = gi(le">(0 < П < да), Ф2(п) = g2(le(a < n < *) a = ln(l/ly) (2.5)
получим однородную систему интегральных уравнений
да да
Lj© - Jkn(& - П)Ф1(П)^П + J- n)<P20l)dn = 0 ((j - 1)a < $ < ю, j = 1,2) (2.6)
0 a
разностные ядра которой имеют вид
<n+ic
kvj(£, - n) = 2П 1 Mvj(-iT)e^т (V, j = 1, 2) (2.7)
В интегралах из (2.7) контур интегрирования т = x + ic (-да < x < да) сместим на действительную ось, взяв c = 0. Мероморфные функции Mn(—ii), M^(—ix) = M2i(—ix) не имеют полюсов в полосе —Sy < Im т < sy, а функция M22(—ix) имеет в этой полосе лишь один простой полюс т = 0. Учитывая полувычет функции M22(—ix) в точке т = 0, в результате указанного преобразования имеем
да
kVj(Е - П) = 2П i Kvj(T)e'^dx (2.8)
—да
Kvj(т) = Mvj(-'т) = (v + j < 4>
k22&-n) = -1 ^22(0) + k2*2(^-n), = .Л j^e^dx
2 2n J — IT
K22(T) = -iT M22(-iT) = -iTM-iT)
A(-ix)
а второе уравнение (2.6) (при j = 2) принимает вид
да да да
¿2© - J^ - П)Ф1(П¥П - 1 ^22(0) JФ2(П)^П + J^ - П)<Р2(ПМП = 0 (a < ^ < ® )
0 a a
Дифференцированием последнего уравнения систему интегральных уравнений (2.6) преобразуем к виду
да да
А© - Jknfé - П)Ф1(П)^П + J- П)Ф2(П)^П = 0 (0 < % < ®) (2.9)
- d í^ - n)9i(n)dn + d| J^ - n)92(n)dn = 0 (a < i; < да)
0
a
Для решения системы интегральных уравнений (2.9) обобщенным методом Вине-ра—Хопфа [2] распространим эти уравнения на всю числовую ось, положив ф^п) = 0 при -да < n ^ 0 и ф2(п) = 0 при -<» < n < a, и применим к ним интегральное преобразование Фурье. Введем функции комплексной переменной
да _ да
Ф+(г) = -j= Ф+(z) = g j<P2©elz^ (2.10)
0 a
0
ф-(z) J ^^
—да
a a
-iza f. & — za . &
Ф—(z) = V J z2(^)elz5d% = -iz^ í d%
—да
Функции Ф++ (г) являются аналитическими в верхней полуплоскости 1шг > о+ (c+ < 0), а функции Ф- (г) — в нижней 1шг < е~ (c- > 0; ] = 1, 2). Для интеграла, который представляет в (2.10) функцию Ф-(г) и является расходящимся ввиду неограниченности радиальной производной окружных перемещений Х2(^)е^ = <Эи3/<Эг|3=а при г ^ ^ + 0, использовано его регуляризованное значение в классе обобщенных функций [7, 8].
Таким образом, относительно функций Ф±(г), Ф±(г) приходим к однородной системе функциональных уравнений Винера—Хопфа:
Кп(г)Ф+(г) + ега^12(г)Ф+(г) -Ф-(г) = 0 (2.11)
-гК21(г)Ф+(г) + е1гаК22(г)Ф+(г) - е1гаФ-(г) = 0 (с+ < 1т г < с")
3. Решение системы функциональных уравнений. Решение зависит от знака параметра а = 1п(///1). В связи с этим отдельно рассмотрим два случая.
3.1. Случай l > ^ ^ > 0) относительно длинной трещины. Исключив из второго уравнения (2.11) функцию ф+(г), на основании тождества
- = -Д2(*) (3.1)
систему функциональных уравнений (2.11) запишем таким образом:
Кп(г)Ф+(г) + егаК12(г)Ф+(г) - Ф-(г) = 0 (3.2)
4- Кп(г)Ф-(г) - е-гаК21(г)Ф-(г) + Ф+(г) = 0 (с+ < 1тг < с") —г
Выполнив факторизацию коэффициента K11(z):
К,1(г) = к1гКп(г)Кп(г), к. К;,(0). ^¿^Пй (
К+1(г) * К"(-г) = П(1 X1 -*)
п=1
где Zn, sn (n = 1,2,...) — корни уравнений ln(s) = 0 (Zi = 1), A(s) = 0 соответственно из полуплоскости Res > 0, перепишем уравнения (3.2) в виде
щгК^гУФ+Лг) + е«а Ф+(г) - ^ = 0 (3.4)
Кп(г) Кп(г)
/к1Кп(г)Ф-(г) - еФ-(г) + = 0
Вторые слагаемые уравнений (3.4) представим разницей аналитических в верхней и нижней полуплоскости функций, используя формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши вдоль действительной оси. Раскладывая соответствующие интегралы в ряды по теории вычетов, имеем
ега Ый ф+(г) = х+(г) - х-(г), -е Ф-(г) = Х2+(г) - х-(г) (3.5)
Кп(г) К+1(г)
ад ад
Х-(г) = I ^От Ф № к )е4 ка, х+(г) = Е ^ ФГ(-С к )е<ка
а к =«1 К^ к) (к = 1,2,...) Л11(Ц к)
Тогда из (3.4) получим
К1гК1+1(г)Ф+(г) + х+(г) = ФГ(г)/Кп(г) + хГ(г) = С1 (3.6)
/к1Кп(г)Ф -(г) - х -(г) = -Ф2+(г)/К+1(г) - х+(г) = С2
В (3.6) обе части каждого уравнения аналитически продолжают друг друга на всю комплексную плоскость и представляют собой постоянные С1 и С2, что следует из условий на бесконечности
К±1(г) = 0(г_1/2), Ф+(г) = о(1), Ф-(г) = о(г), х+(г) = 0(г -1) X-(г) = 0(г-1), |г|
Таким образом, из (3.6) находим
Ф+(г) = С -Х1(г), Ф-(г) = Кп(г)[С1 -х-(г)], С1 = х++(0) (3.7)
к1гКп(г)
Ф-(г) = С2 + Х2(г), Ф+(г) = -К+1(г)[С2 + х+(г)] ;к1Кп(г)
При этом постоянная С: определена из условия аналитичности функции Ф+(г) в точке z = 0.
Постоянную С2 выразим через максимальное раскрытие трещины 2к. Имеем
к = -|й(г)аГ = -I |ф^ = Ф+(0) = Кл/2Л 4 х2(г)
0 0
= ±4\х-(г) -екаКи(г)К^[С2 + х2(г)]
г=0
1_
К1
4г
Кц(г)
г=0
К,
= К [х1(г) -К12Х+(г)]
К12 = К12(0) =
г=0
2^п а + а со8 а) 2а + 2а
- ¿[С2 + х2 (0)]к12(а - 2Ь)
(3.8)
—^ = 1 + Ыг + 0(г2), г ^ 0, К+1(г)
Отсюда
С2 =-х+(0) + С С =
п у--+
, \4>п °п п=1
(3.9)
К0(а - 2Ь) 4г
^ - 4 [ХГ(г>-К12х+(г)]
г =0
Решение (3.7) системы функциональных уравнений (3.2) содержит неизвестные значения Фк), к) (к = 1,2,...) из (3.5), для определения которых в последнем и
втором равенствах (3.7) возьмем соответственно г = 'Сп и г = —Сп (п = 1,2,...). Введя, благодаря асимптотическому поведению корней ^к ~ пк/(2а), к ^ ®, малый параметр
х = е-Ч(2а) = щ 1)ад (0 < ^ < 1) и обозначая
ак
= акек-п^(2а»а (к = 1,2,...)
(3.10)
(3.11)
вп = СпКп('Сп). =-Г> Е- = -К12 Г (п = 1, 2, ...)
Ц п Ц п
относительно неизвестных
гк = С Ф+(¡С, к), г- = С к) (к = и^..)
получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:
ад _ ад +
г+ -впIтД+Ик = , г- -впI-а+Г^к = ё- (п = 1Д...)
к=1ц к п к=1ц к + ц п
(3.12)
(.13)
Решение этой системы уравнений находим в рядах по степеням параметра X [2].
Значение постоянной C, которая посредством первого равенства (3.9) входит в решение (3.7) системы функциональных уравнений (3.2), находим из второго равенства (3.9) с учетом (3.5), (3.10)—(3.12) в виде
С = Ск, = (К1 ] К12(а - 2Ь) + X ^ [гк + К12г^
I к=1
а к г„ +
(3.14)
от
ад
Из условия равновесия (1.2), преобразовав интеграл
¡i да
Ice|e=a dr = 2G¡ J= 2&42кФ+(0), Ф+(0) = -С2 - X+(0) = -С
0a
находим силу
P = 4G¡j2n С sin а (3.15)
3.2. Случай ¡ < ¡1 (a < 0) относительно короткой трещины. Систему функциональных уравнений (2.11) исключением с помощью тождества (3.1) из первого уравнения
функции Ф+(г) преобразуем к виду
*22(г)ФГ(г) - ^аК12(г)Ф-(г) - izФ+l(z) = 0 (3.16)
К22(г)Ф2+(г) - ize -í'zаK2l(z
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.