ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1391-1404
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРЫВА В КВАЗИОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
© 2015 г. М. В. Абакумов*, Ю. П. Попов**, П. В. Родионов*
(* 119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК; ** 125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: vmabk@cs.msu.su;popov@keldysh.ru; rodionov.cs@gmail.com Поступила в редакцию 26.02.2015 г.
Проведено обобщение решения классической одномерной задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва на квазиодномерный случай. Рассматривается плоский щеле-видный канал с разрывом сечения. Полученное точное автомодельное решение сопоставлено с результатами численных расчетов системы квазиодномерных и двумерных уравнений. Продемонстрировано их хорошее качественное, а по ряду параметров и количественное соответствие. Библ. 14. Фиг. 11.
Ключевые слова: распад произвольного газодинамического разрыва, квазиодномерное приближение, течение в каналах переменного сечения, автомодельное решение, вычислительная газовая динамика.
Б01: 10.7868/80044466915080025
1. ВВЕДЕНИЕ
Математические задачи, возникающие в современных прикладных исследованиях, являются, как правило, пространственно многомерными, что затрудняет их решение. Поэтому при построении математических моделей на начальном этапе стремятся упростить задачу, переходя к меньшей размерности, в частности рассматривают одномерные модели. Конечно, возможности одномерных задач по сравнению с общим случаем ограничены, однако сравнительная простота их решения и отсутствие больших требований к вычислительным ресурсам позволяют оперативно получить информацию, необходимую для дальнейших исследований.
На основе решения одномерных задач были получены важные результаты в различных областях науки и техники: физике плазмы, астрофизике, управляемом термоядерном синтезе и др. (см., например, [1]).
Некоторой разновидностью одномерного подхода в газодинамике является квазиодномерное описание. Оно используется при математическом моделировании течений газа и плазмы в каналах переменного сечения. В качестве примеров можно указать [2], где рассматриваются МГД-те-чения плотной плазмы, [3], где решаются задачи гемодинамики, [4], где исследуется течение вязкой несжимаемой жидкости в гибком трубопроводе, находящемся под поверхностью воды.
При исследовании качества алгоритмов численного решения задач, а также при отладке компьютерных программ важную роль играют точные решения, которые строятся для частных вариантов исходной задачи и могут быть представлены, например, в аналитическом виде. Для одномерных газодинамических течений в качестве таких тестов часто используют автомодельные задачи, например задачу о поршне, движущемся с постоянной скоростью, где в зависимости от знака скорости поршня рождается ударная волна или центрированная волна разрежения Рима-на, а также задачу о распаде произвольного разрыва. Указанные задачи подробно рассматриваются, например, в [1].
В настоящей работе строится обобщение на квазиодномерный случай газодинамической задачи о распаде произвольного разрыва. Рассмотрение ведется для плоского щелевидного канала
с разрывом сечения. Указанная задача является автомодельной, но в отличие от классического случая течение здесь обладает более сложной структурой. Помимо ударных волн и простых волн разрежения, разбегающихся от места постановки исходного разрыва, а также контактного разрыва, дополнительно возникает разрыв нового типа, который привязан к точке разрыва сечения канала, так что его фронт остается неподвижным в эйлеровых координатах. Усложняется и процедура построения такого автомодельного аналитического решения.
В работе получены точные решения указанного типа, исследована зависимость от параметров исходной задачи. Проведена численная реализация построенных точных решений в рамках полной квазиодномерной задачи.
Предложено обобщение известных для одномерных течений лагранжевых массовых координат на случай каналов с переменным сечением и выведена соответствующая система дифференциальных уравнений. Следует отметить, что расчет течений в каналах естественно проводить в эйлеровых координатах, в которых положение входного и выходного сечений канала фиксировано. Рассмотрение подобных задач в массовых координатах неудобно, так как входные и выходные сечения в этом случае перемещаются по массе по, вообще говоря, неизвестному закону, который необходимо определять в процессе решения задачи. Однако для простого случая распада произвольного разрыва постановка задачи в массовых координатах и ее численное решение не вызывает затруднений. В работе представлены результаты расчета рассматриваемой задачи о распаде произвольного разрыва с использованием указанного подхода. Эти результаты хорошо соответствуют аналитическому решению. В частности, рассмотрен вариант задачи о распаде разрыва, соответствующий набеганию ударной волны, распространяющейся в плоском щелевид-ном канале, на уступ.
В работе приведены также результаты расчетов о набегании ударной волны на уступ в двумерной постановке. Сравнение результатов расчетов в двумерном и квазиодномерном приближении показало их хорошее соответствие друг другу по ряду параметров. Это позволяет сделать вывод о физической содержательности квазиодномерного приближения даже в критическом случае разрыва сечения канала. Кроме того, становится более наглядной роль эффекта двумерности в рассматриваемой задаче.
2. УРАВНЕНИЯ КВАЗИОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ПЛОСКОМ ЩЕЛЕВИДНОМ КАНАЛЕ
Рассмотрим течение газа в плоском щелевидном канале переменного сечения, который образован двумя поверхностями y = +/— S(x), расположенными симметрично относительно плоскости y = 0 и неограниченно продолжающимися вдоль оси г (фиг. 1). Рассмотрение ведется для единицы ширины канала в направлении оси г. Стенки канала непроницаемы для газа (нормальная компонента скорости газа на стенках равна нулю), трением газа о стенки будем пренебрегать.
Для описания течения газа введем функции: плотности р (x, y, t), давления p (x, y, t), удельной тепловой энергии s (x, y, t), температуры T (x, y, t), вектора скорости с компонентами vx (x, y, t), vy (x, y, t). Здесь t — время, x, y — эйлеровы координаты. Сделав естественное предположение о
Фиг. 1.
симметрии течения относительно оси у, определим средние по сечению канала значения этих функций:
ад ад
р(л 0 = 2ЯХ) 1р(х' у'0 ¿у = Щ 1р(х'у' 0
-Я(х) о
Я(х) Я(х)
V(х О = 22я(х) 1 (х у, О¿у = Ях- 1 ^х(х' У'^ *у,
(x)
S(x)
y(x t) = J vy(x' y>t) = 0'
-Я(х)
где 2^(х) — сечение канала. Средние значения для давления р (х, у, ?), удельной тепловой энергии
6 (х, у, ?) и температуры Т (х, у, ?) вводятся аналогично и обозначаются, соответственно, р(х, ?), б(х, ?) и Т(х, ?).
Используя далее общие интегральные уравнения газовой динамики в переменных Эйлера (см., например, [1]—[7]), выражающие основные законы сохранения (массы, импульса и полной энергии), и предполагая, что функция S(x) является достаточно гладкой, приходим к системе интегральных уравнений для средних по сечению параметров, описывающих квазиодномерное течение в канале переменного сечения:
Jp S|t;dx + JpvsiX; dt = о,
xi
x2 t2
Jp v S| t2 dx + Jv2 + p) S|X2 dt = ^pj dxdt, (2.1)
x2 2 t2 2
Jp(s + V) S^dx + Jp(s + v + p vSfcdt = 0.
Здесь x1 и x2 — два произвольных значения эйлеровой координаты в области течения, t1 и t2 — произвольные моменты времени, а через v обозначено среднее по сечению значение компоненты скорости vx.
Для замыкания системы (2.1) к ней следует добавить уравнения термодинамического состояния газа, например в форме
е = % (p, T), p = ^ (p, T).
Отметим, что при выводе уравнений (2.1) были сделаны предположения, что среднее значение произведения параметров равно произведению их средних значений и что давление на стенках канала равно среднему давлению.
Уравнения (2.1) принципиально отличаются от обычного одномерного случая наличием правой части во втором уравнении. С точки зрения физики это слагаемое отражает воздействие на поток газа силы со стороны стенок канала. В одномерном случае (S(x) = const) оно равно нулю. При этом S выпадает из всех уравнений и система (2.1) приобретает обычный одномерный вид.
Укажем, что наличие стенок канала в квазиодномерном приближении не оказывает влияния на уравнение энергии в (2.1). Действительно, при отсутствии трения сила, действующая на газ со стороны стенки, ортогональна ее поверхности, а следовательно, и вектору скорости, направленному по касательной к поверхности S(x). Тем самым работа этих сил (скалярное произведение силы и скорости) равна нулю.
о
x
tx
tx
x
ii
x
Если предположить, что функции, входящие в систему (2.1), являются достаточно гладкими, то интегральные уравнения с использованием стандартной процедуры могут быть преобразованы к дифференциальному виду:
dp Л + dp vS _ о
dt dx
д p v S + d_
dt dx
p Л v2 +
_ P
-dS
dx'
(2.2)
д dt
pS[e + v
+ L
dx
pvS e + v + 2
_ 0.
3. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА В КВАЗИОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Постановка классической задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва рассматривается в одномерном приближении и выглядит следующим образом (см. [1], [5], [7]). В начальный момент t = 0 неограниченное пространство —да < х < +да заполнено однородным газом, имеющим значения плотности, давления и скорости р1, р1, v1 при х > 0 и, соответственно, р2, р2, v2 при х < 0 (фиг. 2). Таким образом, в точке х = 0 задается разрыв параметров газа. Если параметры с индексами 1 и 2 не удовлетворяют соотношениям Гюгонио, то этот разрыв далее существовать не может. Нахождение возникающего при t > 0 течения газа и составляет содержание задачи о распаде произвольного разрыва.
На основании теории размерности и подобия (см. [8], [9]) можно показать, что решение описанной выше задачи будет автомодельным, т.е. любой параметр газа /(х, ^ будет функцией одной автомодельной переменной/(х, 0 = /(£,), = х/t. Таким образом, решение будет представлять собой комбинацию ударных волн, простых ц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.