АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 10, с. 857-868
УДК 521.131
РАСПАД ТРОЙНЫХ СИСТЕМ
© 2014 г. А. И. Мартынова1, В. В. Орлов2-3*
'Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет,
С.-Петербург, Россия
2Санкт-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия
3Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук,
С.-Петербург, Россия Поступила в редакцию 12.07.2013 г.; принята в печать 17.03.2014 г.
В общей задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями выполнено численно-экспериментальное исследование распределения времени распада Т на представительной выборке начальных условий. Показано, что на больших временах распределение имеет степенной характер ](Т) ж Т-а с а = 1.74. При малых временах Т < 30ТСГ (Тсг — среднее время пересечения компонентом тройной системы) в распределении времени распада наблюдается серия локальных максимумов с интервалом между ними, равным приблизительно 1.0ТСГ. Эти локальные пики соответствуют зонам распада после одного или нескольких тройных сближений. Представлены графики расположения этих зон в области начальных условий.
001: 10.7868/80004629914100089
1. ВВЕДЕНИЕ
Тройные системы широко представлены в мире звезд и галактик. Ближайшая к Солнцу звездная система а Центавра является тройной звездой, а наша Галактика образует триплет вместе с Большим и Малым Магеллановыми Облаками. Следовательно, исследование динамики тройных систем важно для понимания эволюции реальных наблюдаемых объектов. В ряде работ рассматривалась динамика изолированных тройных систем точечных масс (см., например, книги Маршала [ 1], Валтонена и Карттунена [2], Мартыновой и др. [3]). Эта сильно упрощенная задача тем не менее содержит ряд нетривиальных свойств, которые могут быть полезны для исследования динамики реальных тройных звезд и триплетов галактик.
Уже первые численные эксперименты в задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями, выполненные Агекяном и Аносовой [4] в 1967 г., показали, что эволюция таких систем завершается распадом системы — один из компонентов уходит по гиперболической орбите от финальной двойной, которую формируют два других тела. В дальнейшем этот фундаментальный результат был подтвержден в ряде работ и обобщен на случаи различных масс компонентов и отличного от нуля момента вращения (см. ссылки в книгах [2, 3]).
E-mail: vorvor1956@yandex.ru
В работе Агекяна и др. [5] было показано аналитически, что для изолированных неустойчивых тройных систем среднее время распада не существует — оно бесконечно велико. Это связано с тем, что с увеличением возраста тройной системы вероятность ее распада в течение фиксированного интервала времени AT убывает — тройные системы испытывают процесс, противоположный старению. Этим явление распада тройных систем принципиально отличается от явления радиоактивного распада, для которого соответствующая вероятность не зависит от времени (система не стареет). Тогда можно ожидать, что на больших временах распада функция распределения времени распада будет иметь степенной (а не экспоненциальный, как для радиоактивного распада) характер. Эта гипотеза проверялась в работах ряда авторов (см., например, [6—10]) при разных способах задания начальных условий в задаче трех тел. В этих работах показано, что дифференциальное распределение времени распада на больших временах хорошо аппроксимируется степенными законами f (T) ж ж T-а с параметром а, лежащим в пределах от 1.4 до 2.2.
В настоящей работе исследован процесс распада тройных систем с телами равных масс, неподвижными в начальный момент времени (так называемая "free-fall three-body problem"), и построено распределение времен распада для неустойчивых
Рис. 1. Начальные условия (£, п) для тройных систем, нераспавшихся за время Ь = Ьсти = 10 000 000ТС,
п 100
80
60
40
20
200000 400000 600000 800000 1000000
Т1ТСГ
Рис. 2. Распределение времени распада для тройных систем с больши м временем жизни 100 000ХСг <Т < 1 000 000ТСг. Сплошной линией показана аппроксимация показательной функцией /(Т) гс е-вт (в = 3.76 х 10-6), штриховая линия соответствует степенной аппроксимации вида /(Т) гс Т-а (а = 1.74).
0
Рис. 3. Распределение времени распада для тройных систем с временем жизни Т < 10Тс
0.0005
20
Т
Рис. 4. Распределение времени распада для тройных систем с временем жизни 10Тсг <Т < 20Тс
тройных систем. Исследована зависимость време- 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ни распада от начальных условий. Представлены „
Рассмотрим тройную систему с компонентами
примеры тр^торш движения тел в зонах быстрых равных масс и нулевыми начальными скоростями. распадов тройных систем. Используем способ задания начальных условий,
0.010
0.008
0.006
20 22 24 26 28 30
Т
Рис. 5. Распределение времени распада для тройных систем с временем жизни 20ТСГ <Т < 30Тсг.
предложенный в [4]. В начальный момент времени динатами (+0.5,0), а третье тело С располагается первое тело А находится в точке с координатами в точке с координатами (%,ц) внутри области D, (—0.5,0), второе тело В находится в точке с коор- ограниченной осями координат и дугой окружности
П 1.0
П 1.0
0 0.04 0.08
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 6. Начальные координаты (£, п) для тройных систем с временем жизни 2ТСГ < Т < 3ТСГ.
Рис. 7. Начальные координаты (£, п) для тройных систем с временем жизни 3ТСГ < Т < 4.25ТСГ.
П 1.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 %
Рис. 8. Начальные координаты (£, п) для тройных систем с временем жизни 4.25Тсг < Т < 5.35Тсг.
единичного радиуса с центром в точке (—0.5,0). Как было показано в [4], предложенный способ задания начальных условий охватывает все возможные конфигурации тройных систем. Поскольку угловой момент тройной системы равен нулю, то движение будет происходить в плоскости конфигурационного треугольника.
В нашей работе использовалась следующая система динамических единиц:
1) единица расстояния — средний размер тройной системы
d —
\Е\
где С — гравитационная постоянная, т^(г = 1, 2, 3) — массы тел, Е — полная энергия тройной системы;
2) единица времени — среднее время пересечения компонентом тройной системы
T —
±сг
(2|£|)3/2
Мы полагаем, что С =1, массы тел также принимаем равными единице.
Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились до момента выполнения одного из двух условий:
1) выполняется условие распада тройной системы согласно критерию Стендиша [11];
2) время эволюции тройной системы до распада превышает критическое значение tcrit —
— 10 000 000Tcr.
Проводилось численное интегрирование уравнений движения общей задачи трех тел в барицентрической системе координат (начало координат находится в центре масс тройной системы). Применялся метод Булирша—Штера [12] численного решения системы дифференциальных уравнений. Для уменьшения ошибок при тесных двойных сближениях тел использовалась регуляризация Арсета—Заре [13]. Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной Арсетом [14]. При вычислениях использовался параметр точности г — 1 х 10-14. При построении отдельных траекторий бралось значение г — 3 х 10~16.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
Выполнялось сканирование внутренней части (границы не рассматривались) области D по обеим координатам с шагами — An — 0.001. Всего было рассмотрено 306 346 вариантов начальных условий. В 306 320 случаях динамическая эволюция тройной системы завершилась распадом за время T < tcrit — 10 000 000Tcr. В 26 оставшихся случаях распада не произошло за время t < tcrit —
— 10 000 000Tcr. Дополнительный анализ траекторий тел в этих тройных системах показал, что в них имели место очень далекие выбросы компонентов. На рис. 1 показаны начальные положения (£,n) для нераспавшихся тройных систем. Из рисунка видно, что точки примерно равномерно случайно распределены по области D, т.е. тройные системы с длительным временем жизни не показывают каких-то предпочтений в плане начальных условий, хотя заметна небольшая концентрация точек вблизи окружности (£ + 0.5)2 + n2 — 1, ограничивающей область D справа.
Рассмотрим распределение f (T) времени распада при больших временах 100 000Tcr <T< < 1000 000Tcr (рис. 2). На рисунке показаны также две аппроксимации распределения f (T): показательная (сплошная линия) и степенная (штриховая линия). Из рисунка видно, что степенная аппроксимация гораздо лучше, чем показательная. Этот результат согласуется с предыдущими работами [6— 10]. Показатель степени а — 1.74 также находится в пределах от 1.4 до 2.2, полученных в [6—10].
Рассмотрим теперь функцию распределения f (T) при небольших временах распада T < 30Tcr. Соответствующие фрагменты распределения показаны на рис. 3—5. На распределениях отчетливо видны отдельные пики (особенно они заметны
-0.2 -
-0.4
-0.8 -0.4 0 0.4 0.
х
Рис. 9. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£,,п) = (0.05, 0.8) в течение времени г = 1.0Тсг .
У 0.8 г
-0.4 -
-0.8
-0.8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
х
Рис. 10. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£, п) = (0.001, 0.5) в течение времени г = 1.0Тсг .
-0.2 -
-0.4
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
х
Рис. 11. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£,п) = (0.35, 0.4) в течение времени г — 1.зт Сг .
У
1.2 г
-0.4 -
-0.8
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2
х
Рис. 12. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£, п) = (0.3615, 0.4) в течение времени г = 10.0ТСТ .
-0.2 -
-0.4
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Рис. 13. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£, п) = (0.362, 0.4) в течение времени г — 1. зТсг .
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Рис. 14. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£, п) = (0.3625, 0.4) в течение времени г = 10.0ТсГ.
х
х
-0.1
-0.2
-0.4 0
х
Рис. 15. Траектории движения тел в тройной системе с начальными координатами (£,п) = (0.39, 0.4) в течение времени г — 1. зТсг.
.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
Т
Рис. 16. Распределение времени распада для тройных систем с временем жизни 2ТСГ <Т < 3ТСГ. Штриховая линия соотв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.