СЕНСОРНЫЕ СИСТЕМЫ, 2011, том 25, № 2, с. 99-118
_ ЗРИТЕЛЬНАЯ _
СИСТЕМA
УДК 004.932.2
РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКТИВНО ПРЕОБРАЗОВАННЫХ
ПЛОСКИХ ФИГУР. I. АНАЛИЗ И ИНВАРИАНТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СОСТАВНЫХ ОВАЛОВ
© 2011 г. П. П. Николаев
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН 127994, Москва, пер. Б. Каретный, 19 E-mail: nikol@iitp.ru
Поступила в редакцию 1.07.2010 г.
Рассмотрена задача проективно инвариантного распознавания плоских гладких фигур (овалов), не имеющих явно выраженных опорных элементов (таких как традиционно используемые точки излома, двойного касания и так далее, с присущим им свойством инвариантности к проективному преобразованию фигуры), но обладающих в силу механизма их генерации характерным качеством гладкого сопряжения нескольких фрагментов, каждый из которых аналитически описывается собственным ансамблем коэффициентов формы, порядок которой может быть единым для овала, разным для разных его фрагментов, либо вообще отсутствовать (в случае, если фрагмент не является алгебраической кривой). В работе предложены оригинальные методы детекции точек сопряжения фрагментов, показана их роль в построении глобального либо локального инвариантного базиса фигуры, что и обеспечивает ее распознавание, не зависящее от перспективных трансформаций овала на сенсорной плоскости регистрирующей оптической системы в зависимости от смены ракурса наблюдения (в приближении плоской центральной проекции).
Ключевые слова: овал, проективное преобразование, квадратичная форма, вурф, касательная, проективно инвариантное отображение, точка сопряжения.
ВВЕДЕНИЕ
В области технического зрения в связи с прогрессом вычислительных средств и возрастающей потребностью в создании систем автоматического распознавания объектов техноиндустрии (автомобильный транспорт, автоматические сборочные линии и пр.) "чисто теоретическая" тема этой работы имеет реальный шанс оказаться востребованной для разработки алгоритмической базы сенсорных систем, основным информационным источником опознания объекта в которых избраны не цветовые его характеристики, а те, что порождены трехмерной геометрией его контрастных элементов и представлены на центральной проекции сенсора набором "точек и линий", подлежащих анализу. И если в отношении прямолинейных фрагментов проекции тела, разделяемых "точками излома", давно выяснено и апробировано в многочисленных теоретических исследованиях и прикладных разработках,
какими методами приводить к эталонному ЪВ представлению проективно преобразованный трехмерный объект-многогранник, то обработка объектов с криволинейными границами с помощью монокулярных систем (в статическом режиме) и ныне представляет собой проблемное поле подзадач, не поддающихся стандартизации либо требующих для однозначного анализа слишком большого вычислительного ресурса, что препятствует созданию систем быстрого и надежного распознавания.
Данная статья продолжает развитие темы, отраженной в цикле авторских работ по распознаванию формы объекта по плоской центральной его проекции инвариантно к группе дробно линейных (проективных) преобразований картинной плоскости в ЪБ пространстве (Николаев, 1990; Николаев, 1995, а, б). Объектами исследования были и остаются плоские гладкие фигуры с минимумом особенностей либо плоские (или "почти плоские") участки тел трехмерных с криволиней-
ными границами участка. Поскольку дисциплина "Обработка изображений" давно приобрела статус фундаментальной науки с мощной алгоритмической базой методов обнаружения, подчеркивания и сглаживания границ, нет необходимости в обсуждении приемов получения "продукта анализа" для данного исследования: собственно границы овала, как геометрической характеристики объекта, поставляемого "практической задачей опознания". В рамках этой работы нас будет интересовать исключительно теоретический аспект соотнесения аналитического описания кривой, задающей (либо приближающей) границу овала, с теми способами его обработки, что в конечном итоге должны вывести к инвариантному его представлению, т.е. к возможности классифицировать разнообразные фигуры, относя их к проективно эквивалентным семействам, либо к формированию "эталонного образа" данного овала для последующих нужд в задачах распознавания. В упомянутой серии работ были предложены приемы анализа контура, приводящие к детекции и четкой локализации опорных его элементов, одним из основных процедурных аспектов которых фигурировало вычисление вурфа - безразмерного инварианта проективных преобразований (его развернутое наименование "ангармоническое отношение коллинеарного ряда четырех точек"), а в числе опорных точек и линий были привлечены неявные элементы, выражающие свойства симметрии фигуры - ось и центр симметрии овала, в связи с чем были разработаны методы обнаружения этих элементов (что является д о статочно сложной задачей, поскольку в результате проективного преобразования овала "классические" признаки оси и центра оказываются непригодными для использования, равно как и аффинные их аналоги, и приходится с помощью вурфов строить проек-тивно инвариантные обобщения этих признаков). В данной работе (она входит в запланированный цикл из нескольких частей) вычисление вурфов и анализ поведения касательных также останутся в числе используемых методов численной обработки, однако выбор в качестве опорных элементов точек сопряжения фрагментов у составных овалов - это новая тема, близких аналогов которой автору пока не удалось разыскать в современной литературе и в старых математических работах, где рассматривались аналитические свойства овалов с точки зрения проективной геометрии (Cremona, 1865; Lie, 1884; Lie, 1891; Cartan, 1935; Cartan, 1937). В последнее время в связи с актуальностью темы проективно инвариантного распознавания гладких фигур появилось несколько фундаментальных работ аналитического и при-
кладного характера (Calabi etc., 1998; Faugeras, 1994; Fels, Olver, 1998; Olver, 1993; Olver, 1995; Olver, 2000). Ряд математических аспектов этой обширной темы (устойчивость и быстродействие алгоритмов обработки центрально симметричных овалов) рассмотрены нами в отдельной публикации (Николаев, Николаев, 2009). Наконец, заметим, что данное исследование адресуется читателям, в том числе и с нематематическим образованием (психология, физиология сенсорных систем и пр.). Поэтому все авторские декларации (эвристической природы и теоремного характера) изложены в образной геометрической форме: понимание смысла приводимых далее формул вовсе не обязательно для уяснения содержательной логики выносимых на обсуждение тезисов. По этой же причине статья обильно иллюстрирована примерами результатов численных экспериментов с составными овалами всех типов, теоретически рассматриваемых в тексте.
1. Классификация опорных
элементов плоской кривой
Ввиду важности представления о числе и характере традиционно используемых и в качестве дополнения предлагаемых нами новых опорных элементов (ОЭ - точек и прямых), инвариантных к группе проективных преобразований, целесообразно сделать краткий обзор свойств ОЭ для пополненного их списка, предварив это описание рядом необходимых вводных замечаний. Важно отметить методическую разницу в преподнесении результатов данного исследования при помощи аппаратных предложений дискретной математики (здесь - на языке численного анализа в машинном эксперименте с "моделью овала") и более приемлемой для математика манерой постановки задачи и описания этапов ее решения, "не выходя за пределы" чисто аналитического рассмотрения объекта исследования в рамках сложившейся (и доныне успешно углубляемой (Овсиенко, Табачников, 2008)) науки, именуемой "дифференциальная проективная геометрия". Это различие в подходах выражается в том, что для нас является обязательным условием показать практическую реализуемость того или иного алгоритма численной обработки изображения, что, как правило, не входит "в число забот" математика. По этой причине аналитические свойства объекта "овал" (гладкая выпуклая и замкнутая плоская кривая) переносятся нами на модель такового, состоящую из упорядоченной цепочки интерполирующих кривую точек, т.е. математическая абстракция "непрерывная гладкая кривая" трансформируется
Явные проективно инвариантные элементы
Топологически Неявные проективно
инвариантные точки инвариантные элементы
Рис. 1. Типы явных и неявных проективно инвариантных элементов (точек и прямых) плоских фигур. Пояснения в тексте.
в нашем случае до дискретного ансамбля занумерованных точек, превращаясь в замкнутую ломаную. Подобная утеря гладкости влечет за собой весьма специфические (но давно отработанные) приемы численной обработки. Например, операция построения касательной в некой фиксированной точке овала может быть реализована многими способами в зависимости от конкретных условий задачи (связанных с количеством представляющих кривую точек и точностью "задания" либо "считывания" их координат).
Обратимся теперь к списку ОЭ (рис. 1). Группу явных ОЭ составляют типы опорных точек (ОТ), которые можно детектировать, а затем и классифицировать (сообразно типу) исключительно посредством манипуляций с касательными, не привлекая аппарат вурфов, а именно - проективно инвариантные ОЭ (типы 1-6) и ОТ, инвариантные топологически (типы 7-9). Таковыми являются соответственно: ОТ излома (тип 1,
разрыв по параметру кривизны); ОТ спрямления (тип 2, касательная в ней совпадает с прямолинейным фрагментом); две разновидности ОТ возврата (тип 3 "острие", кривизна меняет знак и тип 4 "клюв", знак кривизны неизменен); ОТ перегиба и касательная в ней (тип 5, кривизна меняет знак); наконец, пара ОТ двойного касания и двойная касательная к ним (тип 6, касательная замыкает участок вогнутости на кривой). Триаду топологически инвариантных ОТ образуют: ОТ ветвления (тип 7), пересечения (тип 8) и концевая ОТ (тип 9); их свойства не нуждаются в комментариях. К числу явных ОЭ добавлен тип 0 - ОТ пигментации, чья природа не связана с геометрией кривой, а вводится посредством некой уникальной метки, например цветовой. Девятью геометрическими типами ОЭ список явны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.