СЕНСОРНЫЕ СИСТЕМЫ, 2014, том 28, № 1, с. 43-71
_ зрительная _
система
УДК 004.932.2
распознавание проективно преобразованных плоских фигур. vi. инвариантное представление
и методы поиска образа центра овалов с неявно выраженной центральной симметрией
© 2014 г. П. П. николаев
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН 127994Москва, пер. Б. Каретный, 19 E-mail: nikol@iitp.ru
Поступила в редакцию 23.12.2012 г.
Для задачи распознавания плоских гладких фигур рассмотрены новые численные методы поиска особой точки перепроецированного центральносимметричного овала, являющейся образом его центра (ОЦ) в условиях, когда декартовы признаки симметрии оказываются утраченными в результате проективного преобразования формы фигуры. Описаны идеи процедур, которые, привлекая найденную позицию ОЦ овала, обеспечивают проективно инвариантную его репрезентацию: в виде двупараметрического вурф-отображения либо посредством проекции на четырехточечный эталон. Получение эталонного описания овала осуществимо благодаря обнаружению на его контуре точек соприкосновения с особой (впервые вводимой) проективно инвариантной кривой, свойства которой изучены, а метод ее вычисления рассмотрен на примере модельных экспериментов. Описаны и теоретически обоснованы методы поиска ОЦ в вариантах схем, ведущих вычисление по стартовому набору тестовых полюсов как внутреннего так и внешнего их расположения. Проведенные численные эксперименты показали перспективность предложенных методов анализа фигур, не обладающих, кроме свойств центральной симметрии, никакими иными особенностями.
Ключевые слова: овал, проективное преобразование, поляра, полюс, вурф, касательная, инвариантное отображение, гармоническое соответствие.
ВВЕДЕНИЕ
Являясь очередной частью цикла исследований задачи распознавания проективно трансформированных плоских фигур (конкретно, - семейства овалов), предлагаемая статья содержит изложение теоретических положений и результатов численного моделирования для класса кривых, обладающих в одной из "простейших" геометрических конфигураций (в так называемой ортоформе, в границах аффинной эквивалентности) свойством центральной симметрии. Под воздействием проективного преобразования плоскости фигуры все явные признаки симметрии оказываются утраченными, в силу чего ее инвариантное описание для целей распознавания становится полностью зависимым от возможности выявить искомые геометрические свойства симметрии, что достигается привлечением для этой цели уже не декартовых признаков (язык, использующий понятия "парал-
лельность" и "равенство длин"; при том, что ни то, ни другое не принадлежит списку проективно инвариантных свойств), ставших в итоге "неявными", а свойств формы кривой - в категориях ее проективных инвариантов. Методы анализа кривой, использующие эти инвариантные ее характеристики для вычисления позиции "неявного" центра (точки, именуемой далее как "образ центра" - ОЦ), были описаны в предшествующей части цикла (Николаев, 2013), вкупе с уведомлением, что они не составляют полного перечня разработанных приемов детекции ОЦ, а завершение подтемы "овалы центральной симметрии" с добавлением новых схем их численного анализа и рассмотрением процедур, обеспечивающих (при безошибочно найденном ОЦ) финальное инвариантное описание фигуры, достаточное для ее индексации в неком классе проективной эквивалентности, планируется в следующей (а именно, -в данной) статье цикла. Однако продолжавшееся
(в интервале между последними публикациями по теме "овал и его ОЦ") исследование этой подтемы внесло "свои коррективы" в авторские планы членения цикла. "Завершение" описания теоретических и процедурных аспектов обработки фигур неявной центральной симметрии в рамках предлагаемого текста стало нецелесообразным по причине разработки автором нового метода анализа для семейства "овалов с элементами симметрии", согласно которому привлечение нового типа поляр (они названы "дуальными" - D-polar) обеспечивает детекцию опорных элементов симметрии двух типов (точки ОЦ и хорды ОО, как Образа Оси симметрии) единой "теоретически универсальной" процедурой. Детекция позиции того или другого "образа" (либо их совместное обнаружение, как это требуется для перепроецированных суперэллипсов, в ортоформе имеющих центр и две ортогональные оси) безотносительно к типу симметрии фигуры оказывается возможной благодаря свойству D-поляры - внешней ветвью (для произвольной позиции тестового полюса, порождающего эту D-поляру) проходить через точку PS (в работе (Николаев, 2011 б) она названа "полюсом оси", так как прямая ОО является для PS "полярой в традиционном смысле"), а ветвью внутренней - пересекая точку ОЦ (если они наличествуют - порознь либо совместно). Таким образом, появился весьма важный дополнительный материал, обсуждению которого будет посвящена следующая статья цикла. Планируется рассмотреть теорию и процедуры нового подхода к решению стоящей задачи распознавания, сопоставив ранее описанные и вновь предложенные методы "раздельной" и "совместной" обработки (численного анализа) фигур. Иными словами, определена цель части цикла с номером "VII": не только сообщить о работе с новым проективно инвариантным объектом - D-полярой, но и дать шкалу рейтинга для рассмотренных точных и эвристических методов по материалам частей с третьей по шестую.
Будет нелишним подчеркнуть, что по мере продвижения в этом, "оказавшемся весьма объемным", исследовании все больше внимания уделяется аспектам теоретическим (ясности трактовки которых помогают иллюстративные данные и манера апелляции к методически выразительным примерам сцен и идеям их анализа), в ущерб вопросам прикладного (процедурно технического) характера. Изменение весов пропорции "метод/ процедура" (в пользу "подхода", "концепции", "идеи") происходит благодаря продолжающемуся росту предложений в части вычислительных схем, не учитывающих ограничений дискретной природы - рода "шума квантования" и прочее.
Как показал опыт исследования вопросов, связанных с экспертной оценкой эффективности (на тот момент разработанных алгоритмов для той же, что и здесь, задачи распознавания овалов неявной центральной симметрии) аналогичных процедур - через асимптотическую оценку вычислительной сложности, изложение его результатов (Николаев, Николаев, 2009) требует привлечения специфического языка, что предполагает и иной круг читателей (инженеры и программисты, специалисты в области Распознавания образов). В согласии с этими соображениями автор декларирует допустимым в дальнейшем повествовании "убыль содержательно значимых моментов" -для профессиональных математиков (в области проективной геометрии) и программистов, что и происходит фактически при монополизации подачи материала языком "иллюстрированной синтетической геометрии (уровня ее популярного изложения)". В новом поле задач (новом и по постановкам проблем, и по выдвигаемым гипотезам их разрешения) самоценны и первые формальные шаги, а тривиально ясное для профессионалов имеет шанс - простимулировать становление пока не сложившейся связной аналитической модели (теорем существования и единственности, новых структурных элементов, границ экспликации свойств и прочее), а также и поспособствовать инженерной (сначала - алгоритмической) реализации "наиболее удачных" методов и вычислительных схем из числа рассмотренных в данном исследовании.
Та же самая цель (оправданная в работах междисциплинарного характера) - дать примеры решения задач для неблизких областей их возможного использования - побудила автора с первой же статьи цикла (Николаев, 2011а) следовать сформулированной там методической установке: для каждой из рассмотреных "сцен с фигурой распознавания" этап завершения процедуры обработки описывать в виде "альтернативного рецепта" получения выходного продукта - непременно в двух видах инвариантной репрезентации овала (в виде проекции фигуры на эталонный четырех-вершинник, плюс - в форме ее двупараметриче-ского вурф-отображения). Что было осуществлено для всех типов фигур, нами рассматривавшихся: для семейств составных овалов (Николаев, 2011а), для овалов в композиции с дуальным элементом плоскости (Николаев, 2011 б) и для разных их подсемейств с элементами неявной симметрии (Николаев, 2011в; 2012; 2013). Непреложное следование такому правилу (на первый взгляд, логически не обязательному, поскольку, уж если решение найдено, "зачем его строить для двух разновидностей представления?") несомненно
усложнило понимание текста. Представляется своевременным обозначить резонность двухуровневого подхода. Сопоставим ветви математики, важные для нашей задачи, - проективно дифференциальную геометрию (Овсиенко, Табачников, 2008; Фиников, 2010) и алгебру. Глубокие связи алгебры и геометрии обсуждаются, например, в работе (Бэр, 2004). Алгебра предлагает язык операций с образцом и его эталоном, где матрицы преобразования "образца в эталон" и связи "разных проекций данного образца" могут быть вычислены чисто алгебраическими методами, что позволяет решать задачи "динамической 30 реконструкции объекта по параллаксу его движения", далеко выходящие за рамки заявленных нами постановок, - рода статической проективной классификации кривых. Обе дисциплины предполагают для заявленной задачи во многом не совпадающие приемы обращения с гладкой 20 кривой: дискретные, что естественно при инженерных реализациях процедур методами матричной алгебры, и дифференциально непрерывные, если речь идет об изучении геометрических свойств объекта, методы анализа которого требуют скрупулезной оценки универсальности той или процедуры в соответствии со свойствами кривой в локальном либо распределенном базисе ее описания. именно, в этом смысле - этап формирования эталонной проекции овала может инициировать "навыки профессионального алгоритмиста" задачей оптимизации предлагаемых процедур. В то время как обнаружение и использование ранее не описанных теорией инвариантных свойств кривой, приведшее для стоящей задачи к систематическим попыткам привлечь при ее решении известный проективный инвариант - вурф (для проективной геометр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.